立體幾何之內(nèi)切球外接球習(xí)題講義教師版

1、liiI夢(mèng)敦育中心立體幾何中的"AT與"外接"問題的探究 1球與柱體觀則的柱體，如正方依、長(zhǎng)方體、正棱柱等能昵和球進(jìn)行充分的組合，以外接和切 兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和梭柱的様產(chǎn)生聯(lián)系，然后考査幾何休的體枳或者 表面枳等相關(guān)問題.1.1球與正方體如圖1所示，正方體ABCQ A£C4,設(shè)正方休的校長(zhǎng)為a, E,F,H,G為校的中點(diǎn)，0 為球的球心。常見組合方武有三類：一是球?yàn)檎襟w的切球，截面圖為正方形EFHG和其切圓， !iN|OJ| = r = |;二是與正方體各棱相切的球，戡面圖為正方形EFHG其外接圓，9OG = R = a；三是球?yàn)檎叫莸?/p>

2、外接球，截面圖為長(zhǎng)方形ACC內(nèi)和其外接圓，州A0 = R=竿.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合間題，常用工具是截面圖，即根 據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方依 的校與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間間題轉(zhuǎn)化為平面問題OAB圖1例1棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AC的8個(gè)頂點(diǎn)那在球O的表面上，E, F分別是様 側(cè),的中點(diǎn)，呱直線EF被球。截得的線段長(zhǎng)為（）A.返B. 1 C. 1 +返 D. >/22 2簫：由題意可知，球?yàn)檎襟w的外接球平而肚四截面為得圓面的豐徑R = =,-：SFc面就站,:.M EF麴0濮艦段為魁範(fàn)甌直徑2R = .2 21.

3、2球與長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體各頂自可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外切球.但是不一定存在切球.設(shè)長(zhǎng)方 休的棱長(zhǎng)為其體對(duì)角線為/.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面 和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑R =；宀八F .2 2例2在長(zhǎng)、寬、高分別為2, 2, 4的長(zhǎng)方體有一個(gè)半徑為1的球，任意瞿動(dòng)此長(zhǎng)方體, 呱球經(jīng)過的空間部分的休枳為（）10u8 IT7ITAB.4” C D 解：利用運(yùn)審的視點(diǎn)分析在小球移瓦I的過程中，進(jìn)過部分的幾何肚.因半徑為1的小球恰奸為械怏為2的正方兔的內(nèi)切球.抜4、跋經(jīng)過空間由上往TWXj：半個(gè)小瓏、高為2的同柱和半個(gè)小瓏.三部分的他積為：xlSxix2

4、+7TKl；!x2= 7T.3231.3球與正祓柱球與一般的正様柱的組合休，常以外接形態(tài)居多。下面以正三様柱為例，介紹本類題目的解法一構(gòu)造直角三角形法。設(shè)正三様柱ABC ABC的高為力，底面邊長(zhǎng)為"，如 圖2所示，D和卩分別為上下底面的中心。根據(jù)幾何依的特自，球心必落在高D卩的中點(diǎn)。，OD=AO = R,AD = a ,借助直角三角形AOD的勾股定理，可求例3正皿棱柱ABCD 的各項(xiàng)點(diǎn)都在半徑為R的球面上,則正皿棱柱的側(cè)面枳有 最值，為.解，如圖3,戡面圖為長(zhǎng)方形ACC和其外接國(guó)球心EEX的中點(diǎn)6 則R = OA.設(shè)正四棱枉的側(cè)棱長(zhǎng)溝& ,底瓦辺長(zhǎng)為”，則 蟲C =、伍 a,

5、4E =匹 a,OE = ?,爐=(2 2 2 2:.4R2 = 2/ +護(hù),則正四枝柱的側(cè)面積:S=4Q= a/2 2a 旋心旋 3+ 2夕）=4 旋" 古艾側(cè)面積有戰(zhàn):AQ, 湘4、f疋，當(dāng)且僅當(dāng)心=旋0時(shí)等號(hào)感B .2球與錐體觀則的錐體，如正呱面體、正棱推、特殊的一些棱推等能筋和球進(jìn)行充分的組合， 以外接和切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和梭推的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考査幾 何休的體枳或者表面枳等相關(guān)間題.2.1球與正四面體正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它撕存在外接球，也存在切球，并且兩血合一，利 用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的梭長(zhǎng)關(guān)系。如圖4,按正四面體$-ABC的稜長(zhǎng)為

6、。，切球半徑為廠，外接球的半徑為心取A3的 中點(diǎn)為D, E為S在底面的射影，連接CDSDSE為正四面體的高。在截面三角形SDC, 作一個(gè)與jjlSD和DC相切，圓心在髙SE上的圓，妙為幼球的截面。因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性可知，外接球和切球的球心同為。此時(shí)，CO = OS = R,OE = r, SE = a,CE =耳“，JH 有 R + r =R2 -r2 =|CE|2 =» 解得："孚片和這個(gè)解法是通ii利用兩心合-的思路,建立含有兩f球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心。為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些 數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便.

7、1;4將半徑那為1的四個(gè)銅球完全裝人形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正皿面依的高 的最小值為（）A /T + 2“b 2 | 2應(yīng) c 彳卜 2 Ad 4/J+ 2書'3 丁 31W. “容器四而悴”中的題四個(gè)小球，以四個(gè)小球溝球心沖頂點(diǎn)構(gòu)威了一個(gè)槪爆油2的“球心正四面悴”，這個(gè)四面體的高是“單位正四面體”高（竺）的2信即湘三竺.“球心正四面體”的底面到“容器正四 面體”的地面対小球半徑1,而“球心正四面體”頂點(diǎn)到“容器正四面體”的頂點(diǎn)的距離湘（小球半徑的3 15）.于是“密器正四面際"的鬲兩里十$十1,選捽C.這個(gè)“小球半徑旳3 （咅"是這樣想.的，敝一個(gè)小球的外M正

8、四面體，迪個(gè)小球球0與外切正四面g的中0車合，而正皿面體的中心月頂點(diǎn)的胞離是中0到地面距離的3倍.2.2球與三條值?；ハ啻怪钡娜﹀F球與三條側(cè)梭互相垂直的三梭錐組合冋題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿馔频耐饨忧?解決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三梭柱補(bǔ)形成正方體或者長(zhǎng)方體。常見兩種形式：是三棱推的三條?；ハ啻怪鼻蚁嗟龋瑒t可以補(bǔ)形為一個(gè)正方依，它的外接球的«-T球心就是三棱錐的外接球的球心。如圖5,三棱錐A.-AB.D.的外接球的球心和正方體ABCD-AC.D,的外接球的球心重合，設(shè)心產(chǎn)"二是如果三様推的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，呱可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，它的外接球的球心就是三校雉的外接球的

9、球心，rS：y 厶（/為長(zhǎng)方U的體對(duì)角線長(zhǎng)）。44例5在正三棱its ABC中，M、7V分別是H SC. BC的中點(diǎn)，冃AM丄MTV,若側(cè)校S4 = 2jJ,則正三様錐S ABC外接球的表面枳是。三棱錐S-ABU外接球的志頁積是.如圖6.正三梗錐對(duì)憐相互垂直即蟲C丄S3又S3/ MU.：. M科丄丄QM, 辺7丄平面SAC.于是S丄平面SAC.：.，曲丄Q4.S丄;從而金4丄SU.此時(shí)正三橙錐0-蟲左0的三務(wù)側(cè)悵互桐垂玄并且相等披將正三棱錐補(bǔ)形為正方體球的半徑2.3球與正棱錐球與正板維的組合，常見的有兩類,是球?yàn)槿饩S的外接球，此時(shí)三梭錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn), 可以構(gòu)造直角三角

10、形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎饩S的切球，例如正三様雉的切球，球與正三梭推皿個(gè)面相切，球心 到呱f面的距離相等，部為球半徑乩這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的扼離，故可采用等體枳法解決，即四個(gè)小三校錐的依枳和為正三校錐的依枳.例6在三棱錐P-ABC中，PA = PB=PC= >/3,IO PA與底面ABC所成的角為60°,則該三様錐外接球的體枳為（）解，如圖7所示，過P點(diǎn)作底面屈C的垂繞.垂.足為0,設(shè)左為外接球的球心，AH,A0,因ZPA0 = 6J,PA=書,故 A0 = ,P0=-t又 AHO 為 亙角三 角形，22圖？AH = PH = r,:. AH2 = A02 +0

11、0,2.4球與特殊的校錐球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合,-定要抓住梭錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ) 形法、等進(jìn)行求解。例如，呱面體部是直角三角形的三棱錐，可和用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定 球心位置。如圖&三棱iS-ABC,滿足SA丄面ABC, 丄BC,取SC的中點(diǎn)為0,由直角三角形的性 質(zhì)可得：OA = OS = OB = OC,所以O(shè)點(diǎn)為三梭推S-AB C的外接球的球心,則R = .ft 7矩形A3CD中，AB=4,8C = 3,油AC將矩形A3CD折成一 f直二面角B-AC-D, ffl 面ft ABCD tfj外接球的體枳是（）A.巴rB邏；rC.空兀D.邏；r12963f

12、t=曰題肯分析可知，四面體期CD的外捋球的球心落在4C的中點(diǎn)，此時(shí)満足OA = OD = OB = OC,22363球與球?qū)€(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體冋題，要求有豐富的空間想象能 力，解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)系， 或者肝借截面圖等方法,將空間間題轉(zhuǎn)化平面冋題求解.例8在半徑為的球放入大小相等的4個(gè)小球，則小球的半徑的最大值為（）A. (V?- 1)-?B (苗一2；蟲圖9C.yJ?D. yJ?輪.要傍:得小球的半徑骯大，需快得4個(gè)小球的球心育一個(gè)正四面體的 四個(gè)頂點(diǎn)，如圖9所示，此時(shí)正四面處A - BCD的外接球的球心為6 即因半徑肉R的

13、球的球心，PJJlO = -r,X因O為蟲O的四分點(diǎn)、，故4HO】=（蟲一尸）多在RiKABOl中，AB = 2廠,旳=|屈,（去一刀胡2 =門廠）2 _（|屈尸，.廠=（龐一 2）尺4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條梭相切問題，關(guān)鍵要抓住梭與球相切的幾何性質(zhì),達(dá)到明確球心的 位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.，V2如與正呱面體各棱部相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：'4：« 8把一個(gè)皮球放人如圖10所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鉄絲接成的四棱推形骨架,使皮球的表面與8根鐵絲那有接験點(diǎn)，則皮球的半徑為（）A. 0l3cm B 10c？ C 0i2cm D 3

14、0cm圖IQW 如圖11所示，由題意球心在AP上，球心沖6 過0作BP的垂線ON垂足為N, ON=R, OM=R,因溝各個(gè)棱都次1 20,所以AM=1O. BP=20, BM=1O. AB= 1 02 ,設(shè) ABPA = G 在 AZA BPM 中，= BM2+PM2 ,所以 PM = 103 在 AzA PAM 中，PM2 = AM2+AF.所以PA = 10V2 在 RtA ABP 中，血絲=匹=翌,BP >:（）>在Rih ONP中圖11sin Cd =ON ROPOP，所以= (10/2-V2A)2 4-100,所OP = 42R 在 RtA CAM 中，QM2 = AO2

15、所以,OP 2 解得，慮=10或30（咅）.所以，R = Wcm.故選B綜合上面舸皿種類型，解決與球的外幼間題主要是指球外切多面依與旋轉(zhuǎn)體，解笞時(shí) 首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面 休過球心的對(duì)角面來作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的接IO.解決 這類|可題的關(guān)鍵是抓住接的特點(diǎn),即球心到多面體的碩點(diǎn)的距離等于球的半徑.發(fā)揮 好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)IE, IO即可得解.如果是一些特殊的幾何體, 如正方體、正呱面依等可以借血結(jié)論直接求解，此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.外接球切球IHJ題1（理）一個(gè)正三様錐的四個(gè)頂自部在半徑為1的球面上，其

16、中底面的三個(gè)碩點(diǎn)在 該球的一個(gè)大圓上，呱該正三校推的體枳是（）A.秀B.逼C.逼D.匣43412答案B2.直三様柱ABC-ABG的各頃點(diǎn)胡在同一球面上,若AB = AC = AAl=2,ZBAC = 120°1則 此球的表面枳等于。解:在AABC中AB = AC = 2,ZBAC = 120°,可得BC = 2羽,由正弦定理，可得AABC外接圓半徑匸2,設(shè)此圓圓心為O,球心為0,在R7SOBO中，易得球半徑/? = >/5 ,故此球的表面枳為4ttR = 20兀3.正三様柱ABCWG接于半徑為2的球,若禮B兩點(diǎn)的球面距離為江，則正三梭柱的 體枳為.笞案84 表面枳為2

17、的的正八面體的各個(gè)碩點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則此球的體枳為A. HB. 3C. JD. 土兀3333答案A【解析】此正八面休是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為。的正三角形，所以由8x學(xué)=2石知，d = l,4則此球的直徑為血,故選A。5 已知正方體外接球的依枳是爭(zhēng)，朋么正方體的棱長(zhǎng)等干（）A.2V2答案D6.（卷）正方體的切球與其外接球的體枳之比為（）A. 1 ： >/3 B. 1 ： 3C. 1 ： 373D. 1 ： 9答案C7.（、理科）一個(gè)穴棱柱的底面是正穴邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該穴棱柱的碩點(diǎn) 部在同一個(gè)球面上，且該穴様柱的體枳為?底面周長(zhǎng)為3, i g t球舸體枳為.答案¥&（天津理）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球舸球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條様?shù)拈L(zhǎng) 分別為1, 2, 3,則此球的表面枳為.答案14兀9.（全國(guó)II理）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)碩點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm的球面上。如果正四梭柱 的底面邊長(zhǎng)為1 cm,朋么該様柱的表面枳為cm2.答案2 + 4血10. （ ） im圖，半徑為2的半球有一接正穴P-ABCDEF,冊(cè)此正穴棱錐的側(cè)面枳是答案6" "（省一中）棱長(zhǎng)為2的正皿面體的皿個(gè)頂點(diǎn)那在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一 個(gè)截面如圖，呱圖中三角形（正四面休