2020-2021學年高二數(shù)學人教A版必修5學案：2.2 第1課時　等差數(shù)列的定義及通項公式 Word版含解析

1、22等差數(shù)列第1課時等差數(shù)列的定義及通項公式目標 1.會用等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是等差數(shù)列；2.記住等差數(shù)列的通項公式，并能進行相關(guān)的運算；3.記住等差中項的概念，并能進行簡單的應用重點 等差數(shù)列的定義、通項公式、等差中項及應用難點 等差數(shù)列概念的理解，歸納法推導通項公式知識點一等差數(shù)列的定義 填一填一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示答一答1怎樣判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列？提示：判斷數(shù)列an是等差數(shù)列，只需判定an1an(nn*)是一個常數(shù)即可2下列數(shù)列是等差數(shù)列的是.an 3nan1a

2、nn2an3n1解析：根據(jù)等差數(shù)列的定義來判斷對于，an1an3(n1)(3n)3，是常數(shù)，故為等差數(shù)列；對于，an1an0，是常數(shù)，故為等差數(shù)列；對于，an1an(n1)2n22n1,2n1是依賴于n的變量，不是常數(shù)，故不是等差數(shù)列，另外，我們也可以寫出此數(shù)列的前幾項：1,4,9,16，觀察并依據(jù)定義易知其不是等差數(shù)列；對于，an1an(3n11)(3n1)2×3n,2×3n是依賴于n的變量，不是常數(shù)，故不是等差數(shù)列我們也可以寫出此數(shù)列的前幾項來判斷知識點二等差中項 填一填在由三個數(shù)a，a，b組成的等差數(shù)列中，a叫做a與b的等差中項這三個數(shù)滿足關(guān)系式2aab.答一答3能否

3、由2anan1an1(n2)來證明an是等差數(shù)列？提示：能由等差中項的定義知，等差數(shù)列從第2項起的每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它前一項與后一項的等差中項反之，若數(shù)列an中任意相鄰三項an1，an，an1(n2)滿足an，則該數(shù)列是等差數(shù)列知識點三等差數(shù)列的通項公式 填一填如果等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，那么通項公式ana1(n1)d遞推公式an1and(或anan1d(n2)答一答4在等差數(shù)列an中，公差為d.若m，nn*，且mn，則am與an的關(guān)系是怎樣的？提示：由等差數(shù)列的通項公式得ana1(n1)d，ama1(m1)d，以上兩式左、右兩邊分別相減得anam(nm)d，即ana

4、m(nm)d(mn)5若數(shù)列an的通項公式anpnq，nn*，那么該數(shù)列an一定為等差數(shù)列嗎？為什么？提示：該數(shù)列一定為等差數(shù)列因為an1anp(n1)q(pnq)p(p為常數(shù))，滿足等差數(shù)列的定義類型一等差數(shù)列的通項公式及其應用例1(1)在等差數(shù)列an中，首項a11，公差d3，則當an2 018時，n等于()a671 b672c673 d674(2)在等差數(shù)列40,37,34，中，第一個負數(shù)項是()a第13項 b第14項c第15項 d第16項(3)在等差數(shù)列an中，若a312，a627，則其通項公式為_分析(1)與(2)均可先求通項公式，再利用通項公式解決相應問題；(3)可根據(jù)已知條件建立關(guān)

5、于a1和d的方程組，求得a1和d即可得到通項公式解析(1)因為ana1(n1)d，所以13(n1)2 018，解得n674，故選d.(2)首項a140，公差d3，所以an403(n1)433n.令an433n<0，解得n>.因為nn*，所以n15，即第一個負數(shù)項是第15項(3)設首項為a1，公差為d，則解得故an25(n1)5n3.答案(1)d(2)c(3)an5n3在等差數(shù)列an中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素；有關(guān)等差數(shù)列的問題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)a1，d的關(guān)系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量.變式訓練1(1)在等差數(shù)

6、列an中，已知a1，a2a54，an33，則n(c)a48 b49c50 d51解析：設公差為d，則a1da14d4，又a1，d，an(n1)n，由an33得n33，n50.(2)a1，公差d>0，且從第10項開始每項都大于1，則此等差數(shù)列公差d的取值范圍是<d.解析：依題意應有即解得<d.類型二等差數(shù)列的判定例2(1)已知數(shù)列an的通項公式為an42n，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)在數(shù)列an中，a11，an11，bn，其中nn*.求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列分析根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明證明(1)an42n，an142(n1)22n.an1an(22n)(42n)2.an是

7、等差數(shù)列(2)bn1bn2(nn*)，且b12，數(shù)列bn是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列判斷數(shù)列an是否為等差數(shù)列，主要是利用等差數(shù)列的定義，即驗證其通項是否滿足an1and(nn*)具體步驟為(1)確定數(shù)列an的通項公式；(2)由an表示an1，即將an中的n替換為n1得an1；(3)作差：an1an，并判斷其結(jié)果是否為常數(shù)；(4)總結(jié)：若an1an是常數(shù)(即一個與n無關(guān)的數(shù))，則數(shù)列an是等差數(shù)列，否則數(shù)列an不是等差數(shù)列變式訓練2已知數(shù)列an滿足a12，an1.求證：數(shù)列是等差數(shù)列證明：a12，an1，.則數(shù)列是首項為，公差為d的等差數(shù)列類型三等差中項例3(1)三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和

8、為21，它們的平方和為155，求這三個數(shù)；(2)已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項的積為40，求這四個數(shù)分析若直接設所求的三個數(shù)或四個數(shù)列方程，未知數(shù)個數(shù)較多，且方程組難解可采用對稱設法，既減少了未知數(shù)的個數(shù)，又降低了計算量解(1)設這三個數(shù)分別為ad，a，ad.則解得或這三個數(shù)分別為5,7,9或9,7,5.(2)設這四個數(shù)分別為a3d，ad，ad，a3d，則解得或這四個數(shù)依次為2,4,10,16或16,10,4，2.名師點評(1)設未知數(shù)時，盡量減少未知數(shù)的個數(shù)(2)結(jié)果應給出由大到小和由小到大兩種情況若三個數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則ac2b，即b為a、c的等差中項，這個結(jié)論在已

9、知等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到變式訓練3已知三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，積為21，求這三個數(shù)解析：設這三個數(shù)為ad，a，ad.由題意可得：解得a3，d±4，當d4時，三個數(shù)分別為1,3,7；當d4時，三個數(shù)分別為7,3，1.1已知等差數(shù)列an的首項a12，公差d3，則數(shù)列an的通項公式為(a)aan3n1 ban2n1can2n3 dan3n2解析：ana1(n1)d2(n1)·33n1.2等差數(shù)列的前3項依次是x1，x1,2x3，則其通項公式為(b)aan2n5 ban2n3can2n1 dan2n1解析：x1，x1,2x3是等差數(shù)列的前3項，2(x1)x12x3，解得x0

10、.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.3等差數(shù)列的第3項是7，第11項是1，則它的第7項是3.解析：設首項為a1，公差為d，由a37，a111得，a12d7，a110d1，所以a19，d1，則a73.4已知：1，x，y,10構(gòu)成等差數(shù)列，則x，y的值分別為4,7.解析：由已知，x是1和y的等差中項，即2x1y，y是x和10的等差中項，即2yx10，由可解得x4，y7.5在等差數(shù)列an中，(1)已知a51，a82，求a1與d；(2)已知a1a612，a47，求a9.解：(1)由題意，知解得(2)由題意，知解得an12(n1)2n1.a92×9117.本課須掌握的兩大問題1在學習等差數(shù)列的定義時，應注意如下問題學習等差數(shù)列定義時需注意以下三點：(1)注意定義中“從第2項起”這一前提條件這一條件有兩層意義，其一，第一項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合；其二，必須從第2項起保證使數(shù)列中各項均與其前面一項作差如若不然，從第3項(或第4項，)起作差，則勢必遺漏前若干項(2)注意定義中“每一項與它的前一項的差”這一運算要求，它的含義也有兩個，其一是強調(diào)作差的順序，即后面的項減前面的項，其二是強調(diào)這兩項必須相鄰(3)注意定義中的“同一常數(shù)”這一要求這一要求可理解