淮陰工學院《概率論與數理統(tǒng)計》模擬試卷

1、概率論與數理統(tǒng)計模擬試卷、填空題1 .三只考簽由三個學生輪流放回抽取一次，每次取一只，設A表示第i只考簽被抽到(i 1,2,3)，則“至少有一只考簽沒自被抽到”這一事件可表示為 .2 .設 P(A) 0.4,P(B) 0,3,P(aJb) 0.6，則 P(AB) .3 .已知一袋中裝有10個球，其中3個黑球，7個白球，先后兩次不放回從袋中各取一球，則第二次取到的是黑 球的概率為0, x 04 .已知隨機變量 X的分布函數為F(x) 0.4, 0 x 1,則PX 11, x 15 .設隨機變量 X N( ,25)，且PX 5 0.5，則 Ax, 0 x 16 .設隨機變量 X的概率密度函數為 f

2、(x)，則常數A0,其它一7 .設隨機變量 X服從參數為n,p的二項分布，且n 16,D(X) 4 ,則p8.設二維隨機變量(X,Y)的分布律為三01200.10.10.110.10.20.120.10.10.1則 PX Y .9 .設隨機變量 X服從參數為1的泊松分布，則PX E(X2) .10 .設隨機變量 XN(1,1),Y N( 1,1)，且X與Y相互獨立，則E(X Y)2 .11 .已知 D(X) 1,D(Y) 9, XY 0.5，則 D(3X 2Y 1) :12 .設X和Y的方差DX和DY都存在，且滿足D(X Y) D(X Y),則X與Y的相關系數XY .13 .設X1,X2,|,

3、X10是來自總體X M N(0,1)的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量X； X2 Ml X20服從自由度 n 的 2分布.14 .設來自總體X N( ,1)的容量為16的樣本的樣本均值 x 5.11，其未知參數的置信水平為1 的置信區(qū)間為(4.62,5.60)，則 .15 .設正態(tài)總體 X N( , 2)淇中，2均未知，X1,X2,|,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，記_1 n _ 2 n2X - Xi ,Q (Xi X),則檢驗假設H0:0, H1：0的t檢驗方法使用統(tǒng)計量n i 1i 1t .二、計算題x, 0 x 11 .設隨機變量 X的概率密度函數 f(x) 2 x, 1 x 2，求PX 1;分

4、布函數F(x).0, 其他1, 0 x 1X2 .設隨機變量 X的概率密度函數 fX(x)，求Y e的概率密度函數 fY(y);求Y的數0,其他學期望E(Y).x y,0 x 1,0 y 13 .設X ,Y的聯(lián)合概率密度函數為f (x, y),求X和Y的邊緣概率密度函數0,其他fx(x)和fY(y);判斷X與Y的是否獨立？4 .將兩封信隨意投入 3個郵筒，設X和Y分別表示投入第1和2號郵筒中彳t的數目，求X和Y的聯(lián)合分布 律;求X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y).2x八 ,0 x5 .設總體X的概率密度函數f(x )2淇中0為未知參數，Xi,X2, ,Xn是來自總體0,其他X的樣本.求未知參數的矩

5、估計量？;判斷所求的估計量？是否為的無偏估計量.1收6 .設總體X的概率密度函數 f (x; ) e ( x )淇中0為未知參2數，6, 3, 1,2,4,7,8,9為來自總體的X樣本值，求 的極大似然估計值.參考答案一、填空題1 . AA2A36. 211 . 272. 0.37. 0.512 . 03. 0.34.8. 0.49.13. 10140.65. 510. 62e_X0.0515 . Jn(n 1)Q三、計算下列概率問題1 .解： PX 1 1 PX當x 0時，F(x) 0;當01當 1 x 2 時，F (x) 0 xdx11 1 xdx0x 1 時，F (x)x1 (2 x)d

6、x 2x0.5xxdt01;當x2 時，F(x) 1 ;0, x 02,0 x 1所以 F(x)22.x2x 1,1 x 221,x 21, 0 x 1,x2.解： f x c 甘.FY(y) PY y Pe y當 y 0時，FY(y) 0;0, 其他當 y 0,時，FY(y)PX lnyFX(ln y),1 y e其他1, fY(y) FyW),于是 fY(y) y0,一_ X 1 x E(Y) E(eX) Qexdx e 13.解：當0x 1時,fx(X)f(x,y)dy10(xy)dyfx(X)1,0 x20,其他1 時，fY（y）1f (x, y)dx0(x y)dxfY(y)1y -

7、,0 y20,其他 f (x, y)fX (x) fY(y)X與Y不是相互獨立的。4.解：X和Y各自的可能取值均為 0,1,2，由古典概型計算得聯(lián)合分布律、x y01201/92/91/912/92/9021/900 E(X) E(XY)2 0 19Cov(X,Y)49 10 192 1 0E(XY)4.9 2 19 2 3 ,0 1 2,9 0 2 1 92 2 0 2. 9, EXEY 2. 9 4.9E(Y) 0 4 9 11 0 2.9 1 149 2 19 232.9 1 2 0、求解統(tǒng)計問題（本大題E(X)15分)2x .x dx022.9以X代替得的矩估計量為23 ,3 - X

8、.2 E(?)3 -2E(X)2E(X)x2xdx是的無偏估計量.L(f(x;lnL()nln 2n Inn 11|xi|一ei 1 2n|x |i 1d ln L(d?1MLE|X| 0n|x |MLE18(1 6| |3|I 1| |2| |4|7| |8| |9|) 5試題一、選擇題（10小題，共30分)1 .設A,B為隨機事件，則A,B中至少有一個發(fā)生可表示為（)A. A|JBB. AHBC.D.2 .對于任意兩個事件 A與B，則必有P(A-B尸(A. P(A)-P(AB)B. P(A)-P(B)+P(AB)C.3 .設連續(xù)型隨機變量X的密度函數為f(x).P(A)-P(B)0 X其他

9、D. P(A)+P(B)A,則常A ().C.D. 44.設DXDY 2, X與Y相關系數 XYB. 4C.1，則 D(X5Y)()5.某人射擊中靶的概率為p(0p 1),則在第2次中靶之前已經失敗23A. 4P (1 p)B. 4p(1p)3C.6.設隨機變量X服從參數為1的泊松分布，則210p (1P Xp)3 D.EX2(3次的概率為(23p (1 p)B. 2C. e 1D.7.設總體X N( ,9),其中為未知參數,Xi, X2, X3為來自總體的容量為 3的樣本.下面四個關于的估計中，(21A. -X1-X2331 、，1 、，C-二 Xi X266)是無偏的.3X36X3B. X

10、141、，D . Xi6；X23X28.設Xi,X2,11(X8是來自總體N N(0,1)的樣本，則統(tǒng)計量Xi24X32x3x2 |x8A.2(8)B. t(8)C. F(1,8)9.設來自總體X N( ,1)的容量為25的樣本，樣本均值為D. N(0,8)X淇未知參數的置信水平為1 的置信區(qū)間為(X 0.392, X 0.392)，則A. 0.0510 .設總體X N N(,方差，欲檢驗假設H0 : 2B. 0.01222), 2均未知，220 , H 1 :).C. 0.025D. 0.1X1,X2,|Xn為來自總體X的樣本，X為樣本均值20,則檢驗統(tǒng)計量為()2,S2為樣本M XA. U

11、 一B.(n 1)S2C._22 (n 1)S2D.X-S n二、計算題(7小題，每題101.已知男子有5%是色盲患者,分，共70分)女子有2%是色盲患者,今從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少?2.設離散型隨機變量 X分布律為Xpk0.10.2 a40.42(1)求常數a ; (2)設Y X，求Y的分布律；3.設隨機變量(X,Y)分布律為101200.000.050.050.2010.100.100.150.050.100.150.000.05(1)求X和Y邊緣分布律；(2)求U max(X,Y)的分布律.4x3.0 x 14.設 X 服從 f x

12、，求(1)p 0.5<X 2 ; (2) DX0,其他5.已知隨機變量 X服從0,2上的均勻分布,Y 3X6.設X,Y的聯(lián)合概率密度函數為:f (x, y)4xy,0 x0,其它1的概率密度函數.1,0 y 1求(1) X,Y的邊緣概率密度函數;(2) COV(X,Y)7.設總體X的密度函數為f (x)0為未知參數，XhXzJUXn為來自總體的一組樣本，求：(1 ) 的矩估計量;(2)的最大似然估計量。、選擇題:AABDA,DDAAB二、計算題：1設B表示色盲，A1表示取自男性,A2表示取自女性。(1)P(B) P(B|A)P(A)P(A|B)富P(B |A2)P(A2)部)0.5 0.

13、05 0.5 0.02 0.035|(5)2(1)a 0.3 1(5)(2)Y16(1)X(2)U4、0.20.40.4“I0.20.30.3 0.40.05(1)p(0.5EXDX0.2 0.3|(3 )0.30.42)4x4dxEX21|1 (2)0.55111(5)5體)0214x5dx0|)|(2)(EX)2 副(1)5 .fX (x)FY(y) PY y PX ? Fx(?) 1(4) 33y/ 1 111 y 5 .求導得到：fY(y) fx(2) 16y (5)330 其他6.(1) fx(x)2x, 0 x 1.0,其它 lll(3)，fY(y)2y, 0 y0,其它111(2

14、)90(1)Xi 0|(2 )(2) EX |(1) , EY |(1) , E(XY) 33Cov(X,Y) E(XY) EX EY 0|(2 )7. (1) EX 1|(2)，令 EX X|"(2)得?n(2) L()(i 1ln L( ) n In? n0 Xi i 1n Xi e xi)ne i1 |(2)n In L( ) nXi i 1X>) X模擬二參考數據：t0.05 151.7531,t0.025 152.1315,10.8413,20.9772一、填空題：(每空2分，共20分)1 .設 P A 0.6,P B 0.5, A 與 B 相互獨立，則 P A B

15、=2 .袋中有5個球，其中3個新球，2個舊球，每次取一個，無放回地取兩次，則兩次取到的均為新球的概率為_3 .設隨機變量 X N N(1,4),則 P( 1 X 3) 若 P(X a) 0.5,則 a 丁 r L, 0 x 44 .設X的密度函數f x /4，則分布函數 F x0, 其它 5 .設X B 10000,0.1 ,使用中心極限定理計算P X 1030 6 .設E X 1,E X2 =3,則 D 2X 1 7 .設隨機變量 X,Y相互獨立，且X N(0,1),Y N(1,4),則分布X Y 8. X1, X2是來自總體N( , 2)的樣本，當a,b滿足 時，aX1 bX?是 的無偏估

16、計.29. .設樣本均值和樣本萬差為X 20, S 16,樣本容量n 16,寫出正態(tài)總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間二、求解下列概率問題(2小題，共28分)1、(本題16分)已知離散型隨機變量X的分布律為：X-2101Pi16131316E(X),方差 D(X).求P 1.5 X 1.5; (2)求分布函數F(x); (3)求出期望2、(本題12分)設隨機變量 X的密度函數f(x)x, 02 x, 10,x其他求P X 0.5 ; (2)求出期望E(X),方差D(X) .三、求解下列各題(3小題，共28分)(本題8分)設隨機變量X的密度函數f(x)1,0,x 2甘心，求Y其他e2X的概率

17、密度.2、(本題8分)設隨機變量X,Y相互獨立，且E1, E Y 2,DX 2,D Y 4,求X2 ,相關系數3、(本題12分)設X, Y的聯(lián)合概率分布為Y12300. 10. 20. 110 . 20. 10. 3(2)判別X與Y是否相互獨立；(3)(1 )求邊緣分布律;求 Cov(X,Y).四、求解下列數理統(tǒng)計問題(3小題，共24分)1、(本題8分)設總體X的密度函數為 f (x)"x-1,0,0 x其他0為未知參數，Xi,X2J|,X是取自總體的樣本，求 的矩估計.2、(本題8分)設總體X的密度函數為f(x)0,0為未知參數，X1,X2,|",Xn,是取自總體的樣本，

18、求 的最大似然估計.3、(本題8分)要求一種元件使用壽命不得低于1000小時，今從這批元件中隨機抽取命的平土值為950小時.已知該種元件壽命服從標準差為100小時的正態(tài)分布.25個，測得其壽 試在顯著性水平0.05下確定這批元件是否合格？設總體均值為,即檢驗假設Ho：1000 Hi：1000 .(參考值：U 0.051.645,Uo.o25 1.96 )、填空題：1. 0.7參考答案2.0.3 3.0.6826, 14. F (x)0,1-x, 0 x 441, x 45. 0.84136. 8_ 7. N( 1,5)二、求解下列概率問題1 . (1) P 1.5 x 1.58. a b 19

19、. (20 2.1315) (17.8685,22.1315)P X 1 P X 0 P X 156(2)F (x)2. (1) P(X0,16 ,%,Z6 ,1,0.5)1(2) E X 0xxdxE X2,III4 E27X -,6D(X)_2一E(X ) EX2 11 J J I 工讓4_2D(X) E(X )三、求解下列各題當y 0時,于是fY（y）22. E(X2)D(XY尸Ex 11 xdx0.52iX(2_ 2 (EX)1, 1 x0, 其他FY(y) 0;12y,0,21(2x) dx2.x xdx2,FY(y)x)dx2 21x(2P(Y0,時,x)dx 1y)P(e2xy)

20、11FY(y) P(X 1lny) F(-ln y),fY(y)FY(y).,D(X)2 XYothers _2(EX)2 (E(XY)22 2E(X2Y2)由于X,Y相互獨立，故 xy 02EXEY 3 8 4 20X01Pi0. 40. 63 .解(1):Y123Pj0. 30. 30. 4(2) P X 0,Y 1 P XY 1 ,故X ,Y不獨立（其他做法也可以） E(X) 0*0.41*0.60.6E(XY) 1.3, Cov(X,Y) E(XY),E(Y) 1*0.3 2*0.3EXEY 1.3 0.6*2.13*0.40.04四、求解下列數理統(tǒng)計問題1 .矩估計EX1dx2.12

21、. MLE: L(nnei 1XilnL()n lnE(X)_,E(X)nXi令 i 1從而3 .拒絕域R,1.645所以拒絕原假設H0,即認為這批元件不合格.dln L()d0,950 10001002.551.645模擬三可能用到的數據：(1) 0.8413, (2) 0.9772,卜.025(35) 1.99006,電.025(36) 1.98667、填空題（本題共 10空格，每空格3分，共30分） 拋一枚骰子，記錄其出現的點數，該隨機試驗的樣本空間為2.1設A,B為兩隨機事件，且 P（A） ,P（B）43.設連續(xù)型隨機變量 X的概率密度函數 f（x）11 一-,P(B A),則 P(A

22、 B)232cx ,x (0,1) 一 ,則常數c0,其它一_, P(AB)4.設隨機變量X的概率分布律為X-103pi0 . 250. 50. 25則 P X EX5.設隨機變量0.5 2X服從0,10上的均勻分布，則關于y的二次萬程y 4y X0有實根的概率為6 .設隨機變量X的期望為1,方差為4,隨機變量Y的期望為0,方差為1,且X,Y的相關系數 xy 0.2, 則Z X 2Y 1的數學期望為 方差為n7 .設總體X是（a,a 1）上的均勻分布，X1,X2,|,Xn是來自總體白樣本， X Xi為樣本均值，Irn i 1若X k為a的無偏估計量，則 k 228 .設總體X N（ , 2）

23、,2未知，抽取容量為 36的樣本，算得樣本均值為66. 5,樣本標準差為15, X統(tǒng)計假設為Ho :70, Hi :70,檢驗統(tǒng)1f量為T 言，則在顯著水平0.05下應（填接受或拒S/ . n一絕）Ho.二、（本題15分）某廠生產電子產品，其月產量 X N（20,252）（單位：萬件），在產量不超過18萬件 時，其產品的次品率為 0. 01 ,而當產量超過18萬件時，次品率則為 0.09 . （1）求該廠某月產量超過 18 萬件的概率；（2）現從該月生產的總產品中任取一件，求取出的這件產品是次品的概率.-,0x2三、（本題10分）設隨機變量 X的概率密度函數為 fX（x）2，求Y 3X 2的概率密度函0,其它數.四、（本題10分）設離散型隨機變量 X的概率分布律為X-2-101Pi0. 250. 10. 30. 35試求Y X2的期望和方差.五、（本題15分）設隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率分