【KS5U解析】全國(guó)大聯(lián)考2020屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、全國(guó)大聯(lián)考2020屆高三4月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.考試前，請(qǐng)務(wù)必將考生的個(gè)人信息準(zhǔn)確的輸入在正確的位置.2.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.3.本次考試為在線聯(lián)考，為了自己及他人，請(qǐng)獨(dú)立完成此試卷，切勿翻閱或查找資料.4.考試結(jié)束后，本次考試原卷及參考答案將在網(wǎng)上公布.5.本卷考查內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.不等式成立的充分不必要條件是（ ）a. b. c. 或d. 或【答案】a【解析】【分析】求解不等式的解集，其充分不必要條件即該解集的真子集即可.【詳解】解，得，其充分不必要條件即該解

2、集的真子集，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)a符合題意.故選：a【點(diǎn)睛】此題考查充分不必要條件的辨析，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解分式不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的集合關(guān)系判定.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)，寫出其共軛復(fù)數(shù)，即可求解.【詳解】由題，其共軛復(fù)數(shù)，.故選：c【點(diǎn)睛】此題考查共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算.3.已知隨機(jī)變量，若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì).【詳解】由題：隨機(jī)變量，若，則.故選：b【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)求解概率，關(guān)鍵在于熟練掌握正態(tài)分布密度

3、曲線的相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合對(duì)稱性求解.4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，由下列四個(gè)命題，其中正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則.d. 若，則.【答案】c【解析】【分析】a選項(xiàng)可能，b選項(xiàng)兩條直線位置關(guān)系不能確定，c選項(xiàng)正確，d選項(xiàng)兩個(gè)平面相交也能滿足，.【詳解】a選項(xiàng)，當(dāng)可能，所以該選項(xiàng)不正確；b選項(xiàng)，平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能相交，可能異面，所以該選項(xiàng)不正確；c選項(xiàng)，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，說(shuō)法正確；d選項(xiàng)，當(dāng)兩個(gè)平面相交，且平行于交線，也滿足，所以不能推出面面平行.故選：c【點(diǎn)睛】此題考查空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的辨析，根據(jù)已知條件判斷線面平行，線線平行和面面平行，關(guān)鍵

4、在于熟練掌握相關(guān)定理公理.5.已知，則（ ）a. b. c. d. -【答案】c【解析】因?yàn)?，所?，故選c.6.右圖是計(jì)算某年級(jí)500名學(xué)生期末考試（滿分為100分）及格率的程序框圖，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】試題分析：程序執(zhí)行的過(guò)程是如果 輸入的成績(jī)不小于60分即及格，就把變量的值增加1，即變量為成績(jī)及格的人數(shù)，否則，由變量統(tǒng)計(jì)不及格的人數(shù)，但總?cè)藬?shù)由變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，不超過(guò)500就繼續(xù)輸入成績(jī)，直到輸入完500個(gè)成績(jī)停止循環(huán)，輸出變量，變量代表的含義為及格詳細(xì)地址，也就是考點(diǎn)：程序框圖.7.下圖是某幾何體的三視圖，該幾何體的體積為（ ）a. b. c

5、. d. 【答案】b【解析】【分析】借助正方體，根據(jù)三視圖還原幾何體，根據(jù)體積公式求解體積.【詳解】根據(jù)三視圖，借助棱長(zhǎng)為1的正方體，還原其幾何體為圖中，其中平面即為觀察正面：所以該幾何體的體積故選：b【點(diǎn)睛】此題考查三視圖，根據(jù)三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確還原幾何體，常借助正方體還原幾何體.8.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，則（ ）a. 的面積是b. 內(nèi)的點(diǎn)到軸的距離有最大值c. 點(diǎn)在內(nèi)時(shí)，d. 若點(diǎn)，則【答案】c【解析】【分析】畫出可行域，通過(guò)求出可行域的面積、可行域內(nèi)點(diǎn)到軸的距離、可行域內(nèi)點(diǎn)和連線的斜率的范圍、通過(guò)特殊點(diǎn)判斷的值是否為，根據(jù)四個(gè)結(jié)果判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】畫出可行

6、域如下圖所示：有圖可知，可行域面積是無(wú)限大的，可行域內(nèi)的點(diǎn)到軸的距離也是沒(méi)有最大值的，故兩個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤.注意到在可行域內(nèi)，而，故d選項(xiàng)錯(cuò)誤.有圖可知，可行域內(nèi)的點(diǎn)和連線的斜率比的斜率要小，故c選項(xiàng)正確.所以選c.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃的問(wèn)題，考查方向有可行域的面積，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)連線的斜率還有特殊點(diǎn)等幾個(gè)方向.屬于基礎(chǔ)題.9.已知，則，的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，的大小關(guān)系為.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小比較，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.1

7、0.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意，在上是增函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】對(duì)于四個(gè)選項(xiàng)，舉出對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性驗(yàn)證是否在上遞增，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于a選項(xiàng)，取，則，由于，故，故為增函數(shù)，符合題意.對(duì)于b選項(xiàng)，取，則，由于，故為減函數(shù)，不符合題意.對(duì)于c選項(xiàng)，取，則，這是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，在對(duì)稱軸兩側(cè)單調(diào)性相反，不符合題意.對(duì)于d選項(xiàng)，取，則，是常數(shù)函數(shù)，不符合題意.綜上所述，選a.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查利用特殊值法解選擇題，考查了函數(shù)單調(diào)性.屬于中檔題.11.雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作一條直

8、線與兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. 2d. 3【答案】c【解析】【詳解】如圖所示，連接，又由，且為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以a為線段的中點(diǎn)，又由于為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，又由直線oa與ob是雙曲線的兩條漸近線，則，所以，則，所以雙曲線的離心率為，故選c. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答本題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題的幾何要素進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，得到的關(guān)系式，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.12.已知函數(shù)，在函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)，若直線的斜率的絕對(duì)值都不小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【

9、解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)得該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞減求參數(shù)的取值范圍.【詳解】，在單調(diào)遞減設(shè)，則設(shè)，則在上單調(diào)遞減則對(duì)恒成立則對(duì)恒成立，因?yàn)椋瑒t，即解得或，又，所以.故選：b【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于熟練掌握利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決恒成立問(wèn)題，涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.已知，則_【答案】【解析】【分析】設(shè)，即可得解.【詳解】由題：設(shè)，所以528故答案為：528【點(diǎn)睛】此題考查求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵在于整體考慮，利用特殊值處理求解系數(shù)之和.14.已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到軸的距離

10、為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)到的距離為，即可求得最小值的情況.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)到的距離為，所以，其最小值為，當(dāng)為與拋物線交點(diǎn)時(shí)取得最小值.故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的幾何性質(zhì)，根據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系求解拋物線相關(guān)的距離之和的最值問(wèn)題，關(guān)鍵在于熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.15.已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為_（結(jié)果用區(qū)間表示）【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后利用已知條件得到函數(shù)的單調(diào)性，由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故不等式可

11、變?yōu)?，即，解?【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解不等式，考查構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題.在閱讀題目過(guò)程中，提供一個(gè)函數(shù)值，給的是函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于零，這個(gè)可以說(shuō)明一個(gè)函數(shù)是遞減函數(shù)，由此可以考慮構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，就可以把已知和求串?lián)起來(lái)了.16.如圖點(diǎn)是正方體外的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，記直線與直線的夾角分別為，若，則滿足條件的直線有_條.【答案】【解析】【分析】求出，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求過(guò)某點(diǎn)作直線與已知兩直線夾角相等的直線條數(shù).【詳解】由題直線與直線的夾角分別為，所以直線的夾角等于記為，將直線平移至過(guò)p，如圖所示，則過(guò)點(diǎn)p作兩條角平分線與兩條直線的夾角均小于80°，所以滿足題意的直線共四條，在經(jīng)過(guò)

12、角平分線且垂直于該平面內(nèi)的兩個(gè)平面內(nèi)各兩條.故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查異面直線夾角問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求出，通過(guò)平移直線求滿足夾角關(guān)系的直線數(shù).三.解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：（共60分）17.在中，角，對(duì)邊分別為，且（1）求角的值（2）若，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理原式化為，即可得解；（2）根據(jù)面積公式得，結(jié)合余弦定理變形即可求解.【詳解】（1）在中，結(jié)合正弦定理得又，又【點(diǎn)睛】此題考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形面積

13、公式的應(yīng)用，關(guān)鍵在于熟練掌握定理公式及其變形的應(yīng)用.18.現(xiàn)有甲、乙兩種不同規(guī)格產(chǎn)品，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)分?jǐn)?shù)進(jìn)行劃分，其中分?jǐn)?shù)不小于分的為合格品，否則為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取兩種產(chǎn)品各件進(jìn)行檢測(cè)，其結(jié)果如下：測(cè)試指數(shù)分?jǐn)?shù)甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成下邊的列聯(lián)表，并判斷是否有的有把握認(rèn)為兩種產(chǎn)品的質(zhì)量有明顯差異？甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品合計(jì)合格品次品（2）已知生產(chǎn)件甲產(chǎn)品，若為合格品，則可盈利元，若為次品，則虧損元；生產(chǎn)件乙產(chǎn)品，若為合格品，則可盈利元，若為次品，則虧損元.記為生產(chǎn)件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（將產(chǎn)品的合格率作為抽檢一件這種產(chǎn)品為合格品的概率）參考公式：【答案

14、】（1）填表見解析；沒(méi)有的有把握認(rèn)為兩種產(chǎn)品的質(zhì)量有明顯差異（2）詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出加甲乙產(chǎn)品數(shù)和合格品與次品數(shù)，根據(jù)公式計(jì)算并下結(jié)論；（2）隨機(jī)變量可能取值，分別計(jì)算概率并寫出分布列，計(jì)算相關(guān)期望.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品合計(jì)合格品次品合計(jì)沒(méi)有的有把握認(rèn)為兩種產(chǎn)品的質(zhì)量有明顯差異依題意，生產(chǎn)一件甲，乙產(chǎn)品為合格品的概率分別為隨機(jī)變量可能取值的分布列為：【點(diǎn)睛】此題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和隨機(jī)變量及其分布，根據(jù)已知數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算，離散型隨機(jī)變量及其分布列的問(wèn)題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出隨機(jī)變量可能的取值，并準(zhǔn)確求出其概率，根據(jù)公式計(jì)算期望.19.如圖所示的多面體中

15、，底面為正方形，為等邊三角形，平面，點(diǎn)是線段上除兩端點(diǎn)外的一點(diǎn).（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若二面角的余弦值為，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)的位置.【答案】（1）證明見解析（2）為線段的中點(diǎn)，詳見解析【解析】【分析】（1）通過(guò)證明，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量解決二面角相關(guān)探索問(wèn)題.【詳解】（1）因?yàn)槭堑冗吶切危c(diǎn)為線段中點(diǎn)，故因?yàn)椋?，故平面又平面，故又，故平?取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則故設(shè)故又故，設(shè)為平面的法向量，則故令，故故為平面的一個(gè)法向量.由可知，為平面的一個(gè)法向量，故，即，令則，解得，

16、經(jīng)檢驗(yàn)知，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)【點(diǎn)睛】此題考查證明線面垂直，根據(jù)二面角的大小求點(diǎn)的位置，關(guān)鍵在于熟練掌握判定定理，合理使用向量法求解二面角相關(guān)問(wèn)題.20.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）由標(biāo)準(zhǔn)方程可得，設(shè)，則可得，結(jié)合有最大值1，得，解得，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，由得，根據(jù)平面向量數(shù)量積公式結(jié)合為銳角，利用韋達(dá)定理可得，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）易知，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1

17、，即，解得故所求的橢圓方程為.（2）設(shè)，由得，故，.又為銳角，又，解得的取值范圍是.【點(diǎn)睛】點(diǎn)睛：求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，可列出相應(yīng)的不等式組，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍;分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決.21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值并判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且時(shí)，總有成立，求的取值范圍【答案】（），極大值點(diǎn)（）.【解析】【分析】（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可；（）求出函數(shù)極值點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2lnx10，根據(jù)0x11時(shí)，0.1x12時(shí)，

18、0即h（x）2lnx（0x2），通過(guò)討論t的范圍求出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定t的范圍即可【詳解】（），則從而，所以時(shí)，為增函數(shù)；時(shí)，為減函數(shù)，所以為極大值點(diǎn).（）函數(shù)的定義域?yàn)?，有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)不等的正實(shí)根，所以，由可得從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在，且時(shí)成立.即證成立.即證 即證亦即證 . 令則1)當(dāng)時(shí)，則在上增函數(shù)且，式在上不成立.2)當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，所以在上為減函數(shù)且，、在區(qū)間及上同號(hào)，故式成立.若，即時(shí)，的對(duì)稱軸，令，則時(shí)，不合題意.綜上可知：滿足題意.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做，則按所做的第一題記分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為判斷直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；若圓與直線交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度【答案】【解析】【分析】（1）先求出直線的普通方程，再求出圓的直角坐標(biāo)方程，由于圓心在直