角平分線四大模型

1、角平分線四大模型模型1角平分線的點向兩邊作垂線如圖，P是/MON的平分線上一點，過點 P作PA丄0M于點A, PB丄ON于點B,_KU PB= PA模型分析利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口模型實例（1）如圖，在 ABC中，/ C= 90° AD平分/ CAB BC= 6,BD = 4,那么點D到直線AB的距離是 / CB= 6,BD= 4, DE= CD= 2，即點 D到直線 AB的距離是 2.（2）如圖，/ 1 = Z 2，/ 3=Z 4，求證：AP平分/ BAC證明：如圖，過點

2、 P作PD丄AB于點D, PE± BC于點E，PF丄AC于點F，VZ 1 = 2 2，二 PD= PE, vZ 3 =Z 4,/ PE= PF，. PD= PF 又t PDL AB, PF丄AC / AP平分Z BAC （角平分線的判定）練習如圖，在四邊形 ABCD中, BO AB, AD= DC,BD平分Z ABC，求證：Z BAD+Z BCD= 180/ BD平分/ ABC,. DF= DE 又：AD= DC, :. DFQ DEC/-Z FAD=Z C vZ FADZ BAD= 180° ：/ BADZ BCD= 180°2.如圖， ABC的外角Z ACK的

3、平分線 CP與內(nèi)角Z ABC的平分線BP相交于點P,若Z BPC= 40° ,貝UZ CAP解答：如圖所示，作 PN丄BD于N,作PF丄BA交BA延長線于F,作PMIL AC于M / BP、CP分另U是Z CBA和 Z DCA的角平分線,:-Z ABP=Z CBP,Z DCP=Z ACP, PF= PN= PM, vZ BAC=Z ACD-Z ABC, Z BPC=Z PCD-Z PBC外角性質(zhì)):.Z BAC= 2Z PCD-2Z PBC= 2( Z PCD-Z PBC)= 2Z BPC= 80°:.Z CAF= 180°-Z BAC= 100° ,

4、v PF= PM: AP是Z FAC的角平分線，： Z CAP=Z PAF= 50°模型2 截取構(gòu)造對稱全等如圖,P是Z MON勺平分線上的一點，點 A是射線OM上任意一點,在 ON上截取OB= OA,連接PB,則厶OPBOPA模型分析利用角平分線圖形的對稱性， 在鐵的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形， 可以得到對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等，利用對稱 性 把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧模型實例(1)如圖所示，在 ABC中，人。是厶BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較 PB+ PC與AB+ AC的大小，并說明理由解題：PB+PC >AB+AC證明：在BA的延長

5、線上取點 E,使AE = AB,連接PE，丁 AD平分/ CAE/Z CAD =Z EAD，在 AEP 與厶 ACP 中，/ AE = AB，/ CAD =Z EAD,AP = AP，/ AEP ACP ( SAS )，/ PE = PCt在 APBE 中：PB+PE > BE,BE = AB+AE = AB+AC，/ PB+PC > AB+AC(2)如圖所示，AD是厶ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變，試比較PC PB與AC- AB的大小，并說明理由AAAXAXBJ)CBDC解答：AC-AB>PC-PB證明:在 ABC 中，在 AC 上取一點 E,使 AE=AB，/ AC-A

6、E=AB-AC=BE/ AD 平分Z BAC，/z 1EAP= Z BAP5在厶AEP和厶ACP中/ AEPABP (SAS)，/ PE=PB5丁在厶CPE中CE>CP-PE ，/ AC-AB>PC-PB練習1. 已知，在 ABC中，Z A= 2Z B,CD是Z ACB的平分線，AC= 16,AD= 8,求線段BC的長解：如圖在 BC邊上截取 CE= AC,連結(jié)DE在厶ACDH ECD中'AC = EC«NACD = nECDCD = CD:. ACDA ECD(SAS)/ AD= DE , / A=Z 1，丁/ A= 2 / B,：Z 1 = 2 / B,vZ

7、1 = Z B+/ EDB ,：.Z B=Z EDB: EBB= ED ,: EB= DA= 8, BC= EC+ BE= AC+ DA= 16 + 8= 242. 在厶 ABC中, AB= AC,Z A= 108°,BD 平分Z ABC求證：BC= AB+ CD證明：在 BC上截取 BE= BA 連結(jié) DE, / BD平分Z ABC,BE= AB,BD= BD: ABDA EBD(SAS, :-Z DEB=Z A= 108° ° :-Z DEC= 180° 108° = 721/ AB= AC, :-Z C=Z ABC= 2(180。 108

8、° = 36° , :-Z EDC= 72° ,:.Z DEC=Z EDC : CE= CD , : BE+ CE= A聊 CD : BC= AB+ CD3.如圖所示，在厶 ABC中 , Z A= 100° Z ABC= 40°,BD是Z ABC的平分線，延長 BD至E,使DE= AD,求證:BC= AB+ CE證明：在 CB上取點F ,使得BF= AB,連結(jié)DF, v BD平分Z ABC BD= BD: ABDA FBD : DF= AD= DE, Z AD=Z FDB : BD平分Z ABC :.Z ABD= 20° 則Z AD=

9、 180° 20° 100 °= 60°=Z CDEZ CDF= 180° Z ADBZ FDB= 60 ° , :-Z CDF=Z CDE 在厶 CDEHA CDF中'DE = DF*NCDF = ZCDECDCD: CDE CDF, : CE= CF, : BC= BF+ FC= AB+ CE模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是/ MON的平分線上一點，AP丄0P于P點，延長AP交ON于點.B,則厶AOB是等腰三角形模型分析構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的 ”三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形 .進而得到對應(yīng)

10、邊.對應(yīng)角相等.這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來模型實例如圖.己知等腰直角三角形 ABC中，/ A=90° , AB=AC, BD平分/ ABC, C£± BD.垂足為E.求證：BD=2(£./ BAC=90，/Z BADZ CED./Z ABD=/ ACF.又 t AB=AC, / BAD藝 CAF=90 , / ABDA ACF. BD=CF./ BD平分Z ABC, /Z CBEZ FBE.又 BE=BE,/A BCEA BFE./CE=EF. / BD=2CE.練習1.如圖.在厶ABC中 .BE是角平分線.AD丄BE.垂足為D.求證：

11、Z 2=Z 1 + ZC.證明：延長 AD交 BC于 F, t ADL BE, /Z ADBZ BDF=90 , tZ ABDZ FBD, / Z 2=Z BFD. tZ BFD=/ 1+Z C, /Z 2=Z 1 + Z C.2.如圖.在厶ABC中. Z ABC=3/ C,AD是Z BAC的平分線，BE丄AD于點E.1求證：BE (AC -AB).2(2)證明：延長BE交AC于點F. t AD為Z BAC的角平分線，/ BADZ CAD.t AE=AE, /Z BAE=/ FAE,則厶 AEBA AEF, / AB=AF, BE=EF, Z 2= Z 3. / AC-AB=AC-AF=FC.

12、 tZ ABC=3/ C, /Z 2+Z 1 = Z 3+Z 1 = Z 1+Z C+Z 1=3Z C. / 2Z 1=2Z C11即Z 仁Z C / BF=F0=2BE/ BE FC AC - AB22模型4角平分線+平行線模型分析有角平分線時.常過角平分線上一點作角的一邊的平行線.構(gòu)造等腰三角形.為證明結(jié)論提供更多的條件 體現(xiàn)了用平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系.模型實例解答下列問題: 如圖. ABC中，EF/ BC,點D在EF上,BD、CD分別平分/ ABC / ACB.寫出線段 EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？如圖，BD平分/ ABC,CD平分外角/ ACG. DE/BC交AB于點E,

13、交AC于點F,線段EF與BE、CF有什 么數(shù)量關(guān)系？并說明理由. 如圖，BD CD為外角/ CBM Z BCN的平分線，DE/BC交AB延長線于點E.交AC延長線于點F,直接 寫出線段EF與BE CF有什么數(shù)關(guān)系？/Z EDBZ DBC；. BD平分Z EBC /-Z EBDZ DBC=EDB.EB=ED.同理：DF=FC. / EF=ED+DF=BE+CF.(2)圖中有 EF=BE=CF BD平分Z BAC,/Z ABDZ DBC又 DE/BC、./Z EDBZ DBC./ DE=EB同理可證：CF=DF / EF=DE-DF=BE-CF. EF=BE+CF.練習1.如圖.在厶ABC中，Z

14、ABC和Z ACB的平分線交于點 E.過點E作MN/ BC交AB于M點.交AC于N點.若 BM+CN=，則線段MN的長為 _解答:vZ ABC Z ACB的平分線相交于點 E, / MBEZ EBC Z ECNZ ECB.v MN/BC,/Z EBCZ MEB, Z NEC2 ECB. /-Z MBE-Z MEB, Z NEOZ ECN./ BM=ME, EN=CN./ MN=ME+EN卩 MN=BM+CN：BM+CN=9. MN=9.2.如圖.在厶ABC中,AD平分Z BAC.點E、F分別在 BD AD上,EF / AB.且DE=CD求證：EF=AC.證明：如圖，過點 C作CM/ AB交AD的延長線于點 M,v AB/ EF, / CM/ EF. /Z 3=Z 4./ DE=CD, Z 5=Z 6, / DEFA DCM/ EF=CM. v AB/CM, /Z 2=