一維方勢壘中量子摩擦力的研究論文

1、忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計）目 錄引言11 量子摩擦力的定義11.1經(jīng)典摩擦力的定義11.2 量子摩擦力的定義22 量子力學(xué)中自由粒子的運動規(guī)律23 一維方勢壘中的量子摩擦力53.1 一維對稱方勢壘模型53.2 量子摩擦力5結(jié)論9參考文獻(xiàn)9致謝10一維對稱方勢壘中量子摩擦力的研究 物理系物本1201班 學(xué) 生 孟 亮 指導(dǎo)老師 任恒峰 摘 要：在量子力學(xué)中，依據(jù)經(jīng)典力學(xué)中摩擦力的定義給出了量子摩擦力的定義，在此基礎(chǔ)上賦予了量子摩擦力的一般物理意義，并進(jìn)一步根據(jù)經(jīng)典力學(xué)中摩擦力的計算方式討論了量子摩擦力一般的計算公式。結(jié)合量子力學(xué)中動量為p、能量為E的自由粒子的運動規(guī)律，引入一維的方形

2、對稱勢壘。當(dāng)粒子在一維對稱方勢壘中運動時，分別從奇宇稱和偶宇稱兩個宇稱性的角度研究了該模型中勢壘左壁和勢壘右壁量子摩擦力的具體形式，并進(jìn)一步研究了勢壘為無限高的極限情形。 關(guān)鍵詞：量子摩擦力；自由粒子；一維勢壘引言 摩擦力在經(jīng)典力學(xué)領(lǐng)域是一個非常重要而基礎(chǔ)的力，它廣泛存在于生活和生產(chǎn)中，到目前為止有許多關(guān)于摩擦力的產(chǎn)生機理及計算方法的研究。量子理論是上世紀(jì)初開始誕生的一個極為重要的物理理論，將經(jīng)典摩擦力的概念引入到量子領(lǐng)域?qū)τ诂F(xiàn)代納米材料的研究具有較為基礎(chǔ)的研究意義，近年來物理學(xué)家已經(jīng)研究了以普通介電材料為襯底的石墨烯之間量子摩擦的產(chǎn)生機理。而研究通過設(shè)置適當(dāng)?shù)膭輬鰪亩a(chǎn)生量子摩擦力，進(jìn)而討論

3、粒子運動規(guī)律的文章到目前為止還比較少地見諸報道。在此背景下，本文給自由粒子設(shè)置適當(dāng)?shù)膭輬?，研究勢場中的量子摩擦力，并進(jìn)一步討論量子摩擦力對自由粒子的影響。1量子摩擦力的定義1.1經(jīng)典摩擦力的定義在經(jīng)典力學(xué)中，摩擦力的定義為阻礙物體相對運動（或相對運動趨勢）的力。摩擦力分為靜摩擦力、滑動摩擦和滾動摩擦力，摩擦力與接觸面的粗糙程度有關(guān)。對于滑動摩擦力而言其定義式為： （1.1）其中是摩擦系數(shù)，與兩個物體接觸面的粗糙程度有關(guān)。為正壓力，即相互擠壓的兩個物體間的彈力。 我們可以先測量出兩個物體間的摩擦系數(shù)，再通過受力分析求出正壓力，代入到摩擦力公式中即可得出兩相對運動物體之間的摩擦力；而對于靜摩擦力我

4、們可以通過受力分析求得；對于滾動摩擦，我們也可以根據(jù)理論力學(xué)中的相關(guān)知識求得。1.2量子摩擦力的定義量子力學(xué)中描述粒子運動規(guī)律的是幾率波，幾率波刻畫了粒子在空間的幾率分布3-5。由于微觀粒子波粒二象性的限制，一個粒子的運動軌跡是沒有辦法確定的，于是研究阻礙其運動（或相對運動趨勢）的嚴(yán)格意義上的摩擦力就失去了意義。波函數(shù)所描述的微觀粒子，其力學(xué)量的可能取值具有確定的幾率分布，因而可以具有確定的平均值，進(jìn)而我們可以定義量子摩擦力為：在粒子運動過程中，受到的阻礙粒子運動相互作用的平均效果，結(jié)合經(jīng)典摩擦力的具體形式及作用效果，我們可以將量子摩擦力的定義式寫為： （1.2）其中，為粒子運動的波函數(shù)。2量

5、子力學(xué)中自由粒子的運動規(guī)律 在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點的狀態(tài)用質(zhì)點的坐標(biāo)和速度來描寫，當(dāng)質(zhì)點在某一時刻的狀態(tài)為已知時，通過質(zhì)點的運動方程牛頓運動方程就可以得出以后任何時刻質(zhì)點的狀態(tài)。而在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描寫，當(dāng)粒子在某一時刻的狀態(tài)已知時，通過粒子狀態(tài)變化的方程薛定諤方程可以得出以后任何時刻粒子所處的狀態(tài)3-5。 在量子力學(xué)中，對于動量為的自由粒子，初始時刻即時的波函數(shù)為，由薛定諤方程可以求出任何時刻的波函數(shù)，由于是自由粒子，粒子沒有受到任何束縛，所以粒子的勢能函數(shù)，描述其波函數(shù)的薛定諤方程為： （2.1） 自由粒子的波函數(shù)在動量表象和坐標(biāo)表象中分別為： （2.2） （2.3）對于一維的情

6、況： （2.4） （2.5）若已知，則有： （2.6）對于自由粒子，動量守恒以致動量幾率分布也守恒，即c(p,0)=c(p,t),所以 （2.7）由此可知，若已知自由粒子在初始時刻的波函數(shù)，則可由（2.6）和（2.7）二式得出。 在這里我們討論一種簡單的具體情況。假設(shè)體系的初始狀態(tài)為，由（2.6）式得： （2.8）利用函數(shù)的性質(zhì)，得，再代入（2.7）式得： （2.9） 利用積分公式，可求得上式積分為： （2.10）因為，所以上式化為： （2.11） 對于動量為的自由粒子，時，可知： （2.12） 由（2.8）式可得： （2.13）上式代入（2.9）式中得： （2.14）當(dāng)時，得： （2.15）

7、此式即為動量為p，能量為E的自由粒子波函數(shù)得表達(dá)式。3一維方勢壘中的量子摩擦力3.1一維對稱方勢壘模型粒子在如圖3.1所示的一維有限高對稱方勢壘中運動，模型的勢能記為： （3.1） V(x)V0I IIIII 0x圖3.1一維有限對稱方勢壘3.2 量子摩擦力 粒子在如圖3.1所示的模型中運動時，將會受到勢壘壁的散射，這種散射中的反射效果可以視為是勢壘給予粒子的碰撞作用，根據(jù)上面我們所定義的量子摩擦力，我們可以將這種碰撞作用的平均效果視為粒子所受到的量子摩擦力。 量子力學(xué)中，力是一個力學(xué)量，可以用一個厄米算符來表示。在一維空間中，可寫為： （3.2）在某位置x處的力，由該點單值決定，它的平均值指

8、空間所有范圍內(nèi)的平均值： （3.3）在有限高勢壘中，勢壘內(nèi)部勢能恒定，外部也無變化，所以，只有勢能突變點x取 和處受力，且這兩點的力為無限大 （3.4）此外，在包括-（或）在內(nèi)的范圍內(nèi)力的積分為有限值 （3.5）而 （3.6）所以在此二點上的力滿足函數(shù)的三個主要性質(zhì)，每個點上的力就可以表示為一個函數(shù)： （3.7） 我們分別計算每一壁的平均力。在處的平均力： （3.8）這里的是歸一化的一維的有限深勢壘中粒子的波函數(shù)。令 （3.9） （3.10） 由于勢場關(guān)于中心是對稱的，所以，具有奇或偶的宇稱。 首先討論奇宇稱的情形，此時可設(shè)，三個區(qū)間的波函數(shù)依次為 : （3.11） : （3.12） : （3

9、.13）在點處的連續(xù)條件里 （3.14） （3.15）利用歸一化條件： （3.16） 可設(shè) （3.17） （3.18）在處，波函數(shù)選或，則： （3.19） 在處波函數(shù)連續(xù)，其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)， （3.20） （3.21）將（3.20）和（3.21）兩式聯(lián)立可得： （3.22） （3.23） （3.24） （3.25）而 （3.26） （3.27）當(dāng)時, （3.28） 在一維無限方勢壘的右壁上，粒子作用于勢壘上的平均力 下面我們再來討論偶宇稱的情形。在有限深勢阱中，在、三個區(qū)間的波函數(shù)依次可設(shè)為： ： （3.29） ： （3.30） ： （3.31）在處，波函數(shù)連續(xù)，其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)有： （3.32）

10、 （3.33）將（3.32）和（3.33）兩式聯(lián)立可得： （3.34）歸一化條件： （3.35） （3.36） （3.37）由處的連續(xù)性條件可得： 則有 （3.38）而 （3.39）所以 （3.40） 從而可以得到 （3.41） 則有： （3.42） （3.43）當(dāng)時， （3.44） 將式（3.41）、（3.42）與式（3.27）、（3.28）進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)此結(jié)果與奇宇稱相同。 對于的勢壘壁上，由于對稱性，力的平均值是相同的也應(yīng)為，粒子在運動過程中，受到和兩壁的阻礙效果，阻礙效果表現(xiàn)為粒子對每一壁的力的平均值為。根據(jù)量子摩擦力的定義，就是粒子受到的摩擦力。結(jié)論 本文首先引入經(jīng)典力學(xué)中摩擦力的

11、定義以及其公式，然后結(jié)合經(jīng)典摩擦力給出量子摩擦力的定義及其一般公式。隨后回顧了能量為E,動量為p的一維自由粒子的運動規(guī)律，并進(jìn)一步研究了一維對稱方勢壘中粒子的量子摩擦力。通過本課題的研究，不僅理解了薛定諤方程在量子力學(xué)中的應(yīng)用，而且依據(jù)經(jīng)典摩擦力的定義給出了量子摩擦力的定義，并求解了粒子通過一維無限深勢壘時的量子摩擦力，使我們對量子理論有了一個更深的理解。參考文獻(xiàn)1 李連壽. 理論物理基礎(chǔ)教程M.北京：高等教育出版社，2003:367-377.2 黃昆固體物理學(xué)M北京：高等教育出版社，2001:135-1413 蔡建華.量子力學(xué)M.北京:高等教育出版社,1980:61-63.4 周世勛量子力學(xué)

12、教程M北京：高等教育出版社，1979：93-111.5 汪德新. 量子力學(xué)（第三版）M.北京：科學(xué)出版社，2008:126-131.6 王清亮，任恒峰，楊翀量子力學(xué)專題應(yīng)用研究M長春：吉林大學(xué)出版社，2013：31-417 曾謹(jǐn)言量子力學(xué)（卷I.第四版）M.北京：科學(xué)出版社，2007:41-42.8 喀興林.高等量子力學(xué)M.北京:高等教育出版社,2001:157-158.9 高廣君量子力學(xué)中力學(xué)量的平均值J高師理科學(xué)刊，1997(04)：44-47.10 何衛(wèi)中. Hilbert空間在量子力學(xué)中的應(yīng)用J.廣西工程學(xué)院報，1999（1）:5-8.Research on quantum frict

13、ion in 1-D square symmetrical potential barrierDepartment of physics 1201 Student Liang Meng Tutor Hengfeng Ren Abstract: In quantum mechanics, according to the definition of friction in classical mechanics, the definition of quantum friction and its general formulas are given. Based on these, give

14、quantum friction the general meaning and discuss the common formula. Combined with the movement rule of the particle with the energy E and the momentum p, introduce the 1-D square symmetrical potential barrier, and study the quantum friction of the right and left wall from the view of odd and even parity, and furthermore, study the situation when the barrier is infinite high. Key words: Quantum friction; Free particle; One dimensional barrier致謝在本次論文設(shè)計過程中，雖然偶爾會有無從下手的焦急，但更多的是與老師交流的喜悅，還有克服一個個難題逐漸到達(dá)成功彼