《信號與系統(tǒng)》講義教案-第2章 信號與系統(tǒng)的時域分析

1、第2章 信號與系統(tǒng)的時域分析 29第2章 信號與系統(tǒng)的時域分析2.0 引言由于LTI系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有時不變性的特點，因而為建立信號與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。如果能夠把任意的輸入信號都分解成基本信號的線性組合，那么只要得到LTI系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)的輸出響應(yīng)表示成系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)的線性組合。問題的實質(zhì)：1、 信號的分解：即以什么樣的信號作為構(gòu)成任意信號的基本信號單元，以及如何用基本信號單元的線性組合來構(gòu)成任意信號；2、如何得到LTI系統(tǒng)對基本單元信號的響應(yīng)。 作為基本單元的信號應(yīng)滿足以下要求：1、盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示

2、（構(gòu)成）盡可能廣泛的其他信號；2、LTI系統(tǒng)對這種信號的響應(yīng)易于求得。如果解決了信號分解問題，即若   ，    當(dāng)輸入時,系統(tǒng)輸出為,記為:，則   2.1 信號的時域分解2.1.1 用表示連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系： （2.1）對一般信號，可以分成很多寬度的區(qū)段，用一個階梯信號近似表示。當(dāng)時，。如圖2.1所示。圖2.1 階梯信號近似表示引用，即： 則有： 第k個矩形可表示為：。這些矩形迭加起來就成為階梯形信號，即： 。 （2.2

3、）當(dāng)時，于是： (2.3)表明：任何連續(xù)時間信號都可以被分解為移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。2.1.2用表示離散時間信號 離散時間信號中,最簡單的是，可以由它的線性組合構(gòu)成，即： (2.4)對任何離散時間信號 ,如果每次從其中取出一個點，就可以將整個信號拆開來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖: (2.5)圖2.2 一個離散時間信號分解為一組加權(quán)的移位脈沖之和于是有：表明：任何信號 都可以被分解成移位加權(quán)的單位脈沖信號的線性組合。如圖2.2所示。2.2 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析我們已經(jīng)討論過LTI系統(tǒng)的兩個重要性質(zhì)：線性和時不變性。利用這兩個性質(zhì)，同時由于任意一

4、個連續(xù)信號都可以分解為單位沖激信號的移位加權(quán)的積分，我們就可以根據(jù)系統(tǒng)單位沖激信號的響應(yīng)（即單位沖激響應(yīng)）來確定在任意信號作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。 2.2.1 卷積積分如果一個LTI系統(tǒng)對的響應(yīng)為，根據(jù)系統(tǒng)的時不變性，當(dāng)輸入為時，其輸出為。又根據(jù)系統(tǒng)的齊次性，如果輸入沖激的強(qiáng)度為，則輸出也乘以，即 再根據(jù)系統(tǒng)的疊加性，將不同延時和強(qiáng)度的沖激信號加起來再輸入系統(tǒng)，則系統(tǒng)的輸出也就是各種不同延時和強(qiáng)度的沖激響應(yīng)的疊加。對于連續(xù)時間信號與系統(tǒng)而言，疊加就變成了積分，于是有 （2.6）上式表明，當(dāng)系統(tǒng)的輸入為時，系統(tǒng)的輸出為，輸入和輸出的關(guān)系記為下式： （2.7）這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運算關(guān)系稱為卷積積分。上式

5、表明，LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位沖激響應(yīng)來表征。因此，單位沖激響應(yīng)也能夠表示一個線性時不變系統(tǒng)，如圖2.3所示。 圖2.3線性時不變系統(tǒng)的圖示說明例2.1 已知一LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，系統(tǒng)的輸入為，求系統(tǒng)的輸出。解： 2.2.2 卷積積分的圖解機(jī)理連續(xù)時間信號的卷積由信號的反轉(zhuǎn)、平移、相乘、積分4種基本運算組成，它可以用卷積的定義直接進(jìn)行數(shù)學(xué)運算來求解，也可以借助圖解，分段進(jìn)行卷積。在大多數(shù)的情況下，圖解方法直觀、簡單，是一種值得推薦的方法。下面我們以具體的例子來說明卷積的運算及其需要注意的事項。例2.2 信號 x1( t ) 和 x2( t ) 的波形如圖2.4所示，試用圖解法計算與

6、 的卷積。圖2.4 例2.2解:借助圖解，分段卷積從卷積的定義式(2.7)可以看到，連續(xù)信號的卷積涉及到兩個變量：一個是積分變量；另一個是參考變量 t，t是卷積結(jié)果的觀察時刻，同時也表示反轉(zhuǎn)信號的移動距離和移動方向。整個卷積過程可分為下述幾步：第1步，反轉(zhuǎn)這里我們選擇進(jìn)行反轉(zhuǎn)而得反轉(zhuǎn)信號 。第2步，平移將反轉(zhuǎn)信號平移而得 x 2( t - )。根據(jù)信號運算的定義，反轉(zhuǎn)、平移都是對信號的獨立變量進(jìn)行變量置換，因此，對反轉(zhuǎn)信號 進(jìn)行平移時，是用變量- t 代替中的獨立變量，即 隨著移動變量t 值的不同， x 2( t - )將處在軸上的不同位置，圖2.5畫出了、以及 t = 4 、t = -1 以

7、及 t 為任意值時 x 2( t - )的波形圖。 (a) 自變量替換 (b) 信號反轉(zhuǎn) (c) t = 4時 (d) (e) t 為任意值圖2.5 、以及 t = 4 、t =- 1 以及 t 為任意值時 x 2( t - )的波形圖在圖2.5中， |t|表示的移動距離，t > 0表示右移；t < 0 表示左移。這里請讀者注意 t 為任意值時 x 2( t - ) 波形的邊界點坐標(biāo)值，這些邊界點值將直接影響式(2.7)中積分的上、下限，進(jìn)而直接影響卷積結(jié)果的正確性。因此，正確地確定邊界點值是卷積的關(guān)鍵之處。這些邊界點值可通過變量置換來確定，例如，在圖2.5中，的邊界點坐標(biāo)分別為=

8、 - 5 和= - 2，故而在 x 2( t -) 的波形中，相應(yīng)的邊界點坐標(biāo)應(yīng)分別為-t = -5 和-t = -2，即=t -5 和=t -2 。第3步，分區(qū)間相乘、積分根據(jù) t 值的不同，x 2( t -) 將在軸上移動到不同的位置，在移動過程中對x 1 (t) 和 x 2(t -)的重疊部分進(jìn)行相乘，并在重疊部分的區(qū)間內(nèi)對乘積進(jìn)行積分。本例各積分區(qū)間及卷積結(jié)果如下，具體求解過程請讀者自行完成。 t - 2 < 1，即 t < 3，見圖2.6 a t - 2 1 且 t - 5 1，即 3 t 6，見圖2.6 b t - 5 1 且 t - 2 7，即 6 t 9，見圖2.6

9、c t - 2 7 且 t - 5 7，即 9 t 12，見圖2.6d t - 5 7，即 t 12，見圖2.6e歸納上述結(jié)果可得:卷積結(jié)果如圖2.6f所示。 (a) (b) (c) (d) (e) (f)圖2.6卷積積分的求解過程2.2.3 卷積積分的性質(zhì)1. 卷積代數(shù)（1） 交換律 (2.8)（2） 結(jié)合律 (2.9)（3） 分配律 (2.10)2卷積的微分、積分及時移性（1）微分性 (2.11)（2）積分性 (2.12)（3）時移性 (2.13)3函數(shù)與、和的卷積 (2.14) (2.15)由卷積的微分性，對沖激偶有：由卷積的積分性，對階躍函數(shù)有：2.3 離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析2.

10、3.1 卷積和同連續(xù)時間系統(tǒng)的分析一樣，如果一個LTI系統(tǒng)對 的響應(yīng)為 ，根據(jù)系統(tǒng)的時不變性，當(dāng)輸入為時，其輸出為。又根據(jù)系統(tǒng)的奇次性，如果輸入脈沖的強(qiáng)度為，則輸出也乘以，即 再根據(jù)系統(tǒng)的疊加性，將不同延時和強(qiáng)度的脈沖信號加起來再輸入系統(tǒng)，則系統(tǒng)的輸出也就是各種不同延時和強(qiáng)度的脈沖響應(yīng)的疊加，于是有 (2.16) 上式表明，當(dāng)系統(tǒng)的輸入為時，系統(tǒng)的輸出為，輸入和輸出的關(guān)系記為下式： (2.17)這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運算關(guān)系稱為卷積和。上式表明，LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。因此，單位脈沖響應(yīng)也能夠表示一個線性時不變系統(tǒng)。2.3.2 卷積和的計算卷積和的計算主要有兩種方法：一種是按照

11、式(2.17)的定義，直接代入信號的函數(shù)式進(jìn)行計算；另一種是借助圖解，分區(qū)間進(jìn)行卷積計算。相比之下，圖解的方法較為直觀、簡單，易于理解卷積的概念和掌握卷積的計算。下面以例說明這兩種方法。例2.3 已知一LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為，系統(tǒng)的輸入為，求系統(tǒng)的輸出。解： 例2.4 試計算 x1 n 和 x2 n 的卷積，其中，解：借助圖解，分段卷積這一方法是按照卷積運算的4個步驟，并利用信號的波形圖分段(區(qū)間)進(jìn)行卷積，具體求解過程如下，相應(yīng)的波形如圖2.7所示。圖2.7卷積和的求解過程圖示第1步，反轉(zhuǎn)：將 x 2 k 的波形反轉(zhuǎn)而得 x 2 -k 。第2步，平移：將 x 2 -k 在時間軸 k 上平

12、移 n 而得 x 2 n - k 。這一步是關(guān)鍵的一步，其重要性在于確定了移動信號 x 2 n -k 波形兩端的坐標(biāo)變量。對本例而言，根據(jù)x 2 -k 的波形，并通過變量置換，不難確定 x 2 n - k 兩端邊界的坐標(biāo)變量分別為 n - 6 和 n - 4。第3步，分區(qū)間相乘、求和：卷積是 x 1 k 和 x 2 n - k 的乘積之和，隨著x 2 n - k 的移動， x 1 k 和 x 2 n - k 的波形之間可能會出現(xiàn)以下幾種情況：和 x 2 n - k 的波形之間無重疊部分，此時卷積結(jié)果為0； x 1 k 和 x 2 n - k 的波形之間有重疊，此時卷積結(jié)果不等于0； 由于 x

13、1 k 和 x 2 n - k 波形邊界坐標(biāo)位置的限制，或者，由于信號移動后，重疊區(qū)間內(nèi)信號函數(shù)表達(dá)式的變化，從而導(dǎo)致求和運算的上限或和下限發(fā)生變化，這一變化將使得求和結(jié)果所存在的區(qū)間有所不同。正是由于上述幾種不同的情況，而使得在圖解方法中需要進(jìn)行分段卷積。上述幾種不同的情況也是劃分卷積區(qū)間的基本規(guī)則，根據(jù)這些規(guī)則以及圖2.7中的 x 1 k 和 x 2 n - k 的波形，本例的卷積可分為下述4個區(qū)間進(jìn)行計算：區(qū)間1，n - 4 < -1，即 n < 3 此時，x 1 k 和 x 2 n - k 的波形無重疊部分，卷積結(jié)果為0，即區(qū)間2，n - 4 - 1，且 n - 4 1，即

14、 3 n 5此時，x 1 k 和 x 2 n - k 的波形有重疊，重疊區(qū)間的下限由 x 1 k 波形的邊界點坐標(biāo) k = - 1 確定，上限由 x 2 n - k 的邊界點坐標(biāo) k = n - 4確定，且這兩個信號在重疊區(qū)間內(nèi)每一個樣點上的乘積為 1，故可求得:3n5區(qū)間3，6n7當(dāng) x 2 n k 繼續(xù)向右移動，以至 n - 4 2 且 n - 6 1，即 6n7時，x 2 n - k 的邊界點坐標(biāo) n - 4 移出了 x 1 k 的非零值范圍，從而使得卷積求和的上、下限發(fā)生了變化，此時求和下限為 k = n - 6，上限為 k = 1，這樣，在此區(qū)間內(nèi)的求和結(jié)果為:6n7區(qū)間4，n-6

15、> 1，即 n > 7此時，x 1 k 和 x 2 n - k 之間又沒有重疊部分，故卷積結(jié)果為0，即綜合上述各區(qū)間內(nèi)的卷積結(jié)果可得為便于讀者理解上述卷積過程，圖2.8給出了 x 2 n - k 在不同 n 值區(qū)間的波形，同時也給出了卷積結(jié)果 s n 的波形。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 圖2.8 x 2 n - k 在不同 n 值區(qū)間的波形和卷積結(jié)果 s n 的波形2.3.3 卷積和的性質(zhì) 1. 卷積代數(shù)(1)交換律 (2.18)(2)結(jié)合律 (2.19)(3)分配律 (2.20)2卷積的差分、求和與時移性(1) 差分性 (2.21)(2) 求和性 (2.22

16、)(3) 時移性 (2.23)3函數(shù)與或的卷積由卷積的性質(zhì)和單位脈沖信號以及單位階躍信號的性質(zhì)，可得： (2.24)2.4 線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)由于系統(tǒng)的輸入和輸出可以通過卷積運算來求解，所以可以使用卷積的一些性質(zhì)來分析系統(tǒng)和簡化運算。并且，由前面的討論我們得出了LTI系統(tǒng)可以完全由其單位沖激響應(yīng)或單位脈沖響應(yīng)來表征的結(jié)論，因此，就可以利用單位沖激響應(yīng)或單位脈沖響應(yīng)來來進(jìn)一步研究LTI系統(tǒng)的性質(zhì)。2.4.1 交換律性質(zhì)由卷積的交換律，可得(如圖2.9所示) (2.25) (2.26) 圖2.9卷積交換律圖示2.4.2 結(jié)合律性質(zhì)在圖2.10所示的兩個串聯(lián)系統(tǒng)中，如果一個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是 h1

17、( t ) ，另一個是h2 ( t ) ，那么，整個系統(tǒng)的響應(yīng) y ( t ) 將等于(2.27)根據(jù)卷積的結(jié)合律，可將式(2.27)改寫為(2.28)此式表明，如果兩個系統(tǒng)級聯(lián)，則整個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于這兩個系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即 (2.29) 圖2.10連續(xù)卷積結(jié)合律圖示同理，對離散時間系統(tǒng)的級，也有由于卷積滿足交換律，因此，系統(tǒng)級聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。即 (2.30) (2.31)如圖2.11所示，兩者等價。 圖2.11離散卷積結(jié)合律圖示2.4.3 分配律性質(zhì)同樣，對于圖2.12中所示的兩個并聯(lián)系統(tǒng)，如果一個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是 h1 ( t ) ，另一個是h2 ( t ) ，則整個系統(tǒng)的響

18、應(yīng) y ( t ) 將等于 (2.32)根據(jù)卷積的分配律，式(2.32)可寫為(2.33)因此，如果兩個系統(tǒng)并聯(lián)，則整個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于這兩個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)相加，即(2.34)圖2.12分配律圖示同理，對離散時間系統(tǒng)的并聯(lián)，也有 2.4.4 LTI系統(tǒng)的記憶和無記憶性對于離散時間系統(tǒng)，根據(jù)，如果系統(tǒng)是無記憶的，則在任何時刻n，都只能和n 時刻的輸入有關(guān)，即和式中只能有時的一項為非零，因此必須有： ，即：，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為： ，此時 (2.35) ，此時 (2.36)當(dāng)時系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是記憶的。2.4.5 LTI系統(tǒng)的可逆性如果LT

19、I系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個逆系統(tǒng)，且該逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個恒等系統(tǒng)。如圖2.13所示圖2.13可逆系統(tǒng)圖示因此有： ， (2.37)。 (2.38)例如：延時器是可逆的LTI系統(tǒng)，其， 則其逆系統(tǒng)是，顯然有：。累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其，其逆系統(tǒng)是，顯然也有： 。但差分器不可逆。2.4.6 LTI系統(tǒng)的因果性由，當(dāng)LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時，在任何時刻，都只能取決于時刻及其以前的輸入，即和式中所有的項都必須為零，即：，或，。對連續(xù)時間系統(tǒng)，這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。2.4.7 LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由，若有界，則,若系統(tǒng)穩(wěn)定，則必有界，由 (2

20、.39)可知，對連續(xù)時間系統(tǒng)， (2.40)這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。利用式(2.39)和式(2.40)可分別判斷或者是表征連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例如，對于一個無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，其沖激響應(yīng)為式中 K 為一常數(shù)。顯然，這個系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，因為其沖激響應(yīng)絕對可積，即從物理意義上也很容易解釋這個系統(tǒng)的穩(wěn)定特性，因為，這個系統(tǒng)只是將輸入信號進(jìn)行了的延時，并在幅度上進(jìn)行了一個有限倍數(shù) K 的放大和縮小，這樣，當(dāng)輸入信號有界時，其輸出信號也必然有界，故而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。2.4.8 LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)在工程實際中，也常用單位階躍響應(yīng)來描述LTI系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對或所產(chǎn)生的響應(yīng)。 (2

21、.41) (2.42) (2.43)LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。2.5 LTI系統(tǒng)的微分、差分方程描述線性時不變系統(tǒng)是本書的主要研究對象。在時域中，連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)可用微分方程描述，而離散時間線性時不變系統(tǒng)可用差分方程描述。本節(jié)將討論微分方程和差分方程的求解，并對求解方程所需要的初值作必要的說明。2.5.1 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)與線性常系數(shù)微分方程對連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，如果 x(t) 為輸入，y(t) 為輸出，則描述輸入和輸出之間的微分方程為      、均為常數(shù) (2.44)在數(shù)學(xué)課程中我們已經(jīng)知道，對于這個常系數(shù)線性

22、微分方程，其完全解由齊次解和特解兩部分組成，其中，齊次解是微分方程在輸入為0時的齊次方程的解，它由方程的特征根確定；而特解則是在輸入的作用下滿足微分方程式(2.44)的解。欲求得齊次解，可根據(jù)齊次方程建立一個特征方程：，求出其特征根。在特征根均為單階根時，可得出齊次解的形式為：，其中是待定系數(shù)。要確定系數(shù)，需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確定待定系數(shù)的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時刻都可以是任意的。當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須滿足系統(tǒng)零輸入零輸出的特性。系統(tǒng)在沒有輸入，即時，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必

23、須為零，即所有的都為零。這就要求確定待定系數(shù)所需的一組附加條件的值必須全部為零，即具有零附加條件，線性常系數(shù)微分方程才能描述線性系統(tǒng)。當(dāng)這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，線性常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時不變的。在信號加入時刻給出的零附加條件稱為零初始條件。結(jié)論：線性常系數(shù)微分方程具有一組全部為零的初始條件可以描述一個LTI因果系統(tǒng)。這組條件是：，如果一個因果的LTI系統(tǒng)由線性常系數(shù)微分方程描述（方程具有零初始條件），就稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的。如果線性常系數(shù)微分方程具有一組非零的初始條件，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。2.5.2 離散時間LTI系統(tǒng)

24、與線性常系數(shù)差分方程一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為： (2.45)與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個特解和一個通解，即齊次解來進(jìn)行，其過程與解微分方程一樣。要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加條件。同樣地，當(dāng)線性常系數(shù)差分方程具有一組全部為零的初始條件時，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時不變的。無論微分方程還是差分方程，由于其特解都是與輸入信號具有相同函數(shù)形式的，也就是說它是完全由輸入決定的，因而特解所對應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為受迫響應(yīng)或強(qiáng)迫響應(yīng)。齊次解所對應(yīng)的部分由于與輸入信號無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)。增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號無關(guān)，因此

25、它屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號有關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。線性常系數(shù)差分方程還可以采用迭代的方法求解，將方程改寫為： (2.46)可以看出，要求出 y0，不僅要知道所有的，還要知道,，這就是一組初始條件，由此可以得出。進(jìn)而，又可以通過,，和求得，依次類推可求出所有時的解。若將方程改寫為：則可由,，求得,進(jìn)而由,，求得，依次推出時的解。由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程。當(dāng)，時，差分方程變?yōu)椋捍藭r，求解方程不再需要迭代運算，因而稱為非遞歸方程。顯然，此時方程就是一個卷積和的形式，相當(dāng)于 , (2.47)此時，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)是有限長的，因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為FIR系統(tǒng)（Finite Impulse Response）。將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIR系統(tǒng)（Infinite Impulse Response）,此時系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個無限長的序列。FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時間LTI系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)