卡普課件- 《信號(hào)與系統(tǒng)》-第2章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、信信 號(hào)號(hào) 與與 系系 統(tǒng)統(tǒng)第第2 2章章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析第第2章章 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解 從從 0- 到到 0+ 狀態(tài)的變化狀態(tài)的變化 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng) 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng) 卷積積分卷積積分 信號(hào)的時(shí)域分解和卷積信號(hào)的時(shí)域分解和卷積 卷積的圖解卷積的圖解 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 卷積代數(shù)卷積代數(shù) 奇異信號(hào)的卷積特性奇異信號(hào)的卷積特性 卷積的微積分性質(zhì)卷積的微積分性質(zhì) 卷積的時(shí)移特性卷積的時(shí)移特性 (t)

2、函數(shù)性質(zhì)歸納函數(shù)性質(zhì)歸納1. 微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：建立并求解線性微分方建立并求解線性微分方程程。由于在其分析過(guò)程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間。由于在其分析過(guò)程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間t，故稱(chēng)為，故稱(chēng)為時(shí)域時(shí)域分析法分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。域分析法的基礎(chǔ)。1.1 建立微分方程建立微分方程 對(duì)具體的物理系統(tǒng)，要按照對(duì)具體的物理系統(tǒng)，要按照元件的約束特性元件的約束特性和和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束特性束特性來(lái)建立對(duì)應(yīng)的微分方程。來(lái)建

3、立對(duì)應(yīng)的微分方程。一、一、LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)例例1：如圖所示為：如圖所示為RLC并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵(lì)源與激勵(lì)源 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。( )v t( )si t解解 根據(jù)元件的電路電壓關(guān)系有：根據(jù)元件的電路電壓關(guān)系有：1( )( )Ritv tR1( )( )tLi tvdL( )( )CditCv tdt根據(jù)基爾霍夫電流定律有根據(jù)基爾霍夫電流定律有( )( )( )( )RLCsiti titi t整理得到整理得到11( )( )( )( )sdCv tv tv ti tRLdt1.2 微分方程的經(jīng)典解微分方程的經(jīng)典解 如果構(gòu)成系

4、統(tǒng)的元件都是如果構(gòu)成系統(tǒng)的元件都是參數(shù)恒定的線性元件參數(shù)恒定的線性元件（無(wú)儲(chǔ)能無(wú)儲(chǔ)能），），則構(gòu)成線性時(shí)不變系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的方程形式為則構(gòu)成線性時(shí)不變系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的方程形式為線性常系數(shù)常微分線性常系數(shù)常微分方程方程。 方程的解由方程的解由齊次解齊次解和和特解特解組成。組成。例例2：求微分方程：求微分方程( )7( ) 16 ( ) 12 ( )13sin2rtr tr tr tt解解 特征方程為特征方程為32716120aaa特征根為特征根為1,2323aa 齊次解為齊次解為23123( )()tthr tAtA eA e根據(jù)方程，試選特解函數(shù)式根據(jù)方程，試選特解函數(shù)式( )cos2sin2pr t

5、AtBt代入原方程，可得代入原方程，可得32AB 所以，特解為所以，特解為原方程的解為原方程的解為( )3cos22sinpr ttst 23123( )()3cos22sin2ttr tAtA eA ett 齊次解表示的是系統(tǒng)的齊次解表示的是系統(tǒng)的自由響應(yīng)自由響應(yīng)，特征根稱(chēng)為系統(tǒng)的，特征根稱(chēng)為系統(tǒng)的“固有固有頻率頻率”，它決定了自由響應(yīng)的形式。特解稱(chēng)為系統(tǒng)的，它決定了自由響應(yīng)的形式。特解稱(chēng)為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)，只與激勵(lì)函數(shù)有關(guān)。整個(gè)系統(tǒng)的只與激勵(lì)函數(shù)有關(guān)。整個(gè)系統(tǒng)的完全響應(yīng)完全響應(yīng)是由系統(tǒng)自身特性決是由系統(tǒng)自身特性決定的自由響應(yīng)和與外部激勵(lì)信號(hào)有關(guān)的強(qiáng)迫響應(yīng)兩部分組成。定的自由響應(yīng)和與外

6、部激勵(lì)信號(hào)有關(guān)的強(qiáng)迫響應(yīng)兩部分組成。 給定微分方程和激勵(lì)信號(hào)，方程有給定微分方程和激勵(lì)信號(hào)，方程有惟一解惟一解還必須給出一組求還必須給出一組求解區(qū)間的解區(qū)間的邊界條件邊界條件。 對(duì)對(duì)n階階微分方程，若微分方程，若 是是 時(shí)刻加入，則把求解區(qū)間定時(shí)刻加入，則把求解區(qū)間定為為 ，一組邊界條件，一組邊界條件(n個(gè)個(gè))可以給定為此區(qū)間任一時(shí)刻可以給定為此區(qū)間任一時(shí)刻 ，要求滿足要求滿足 的各值。通常取的各值。通常取 ，這時(shí)對(duì)應(yīng)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的一組邊界條件稱(chēng)為的一組邊界條件稱(chēng)為初始條件初始條件。( )e t0t 0t101( ),( ),( )nnddr tr tr tdtdt00t0t 若例若例2的方程給

7、定下列初始條件：的方程給定下列初始條件：則可以求出惟一解：則可以求出惟一解：(0)1, (0)1,(0)0rrr23( )(3)73cos22sin2ttr tteett( )( )( )hpr tr tr t2. 從從 0- 到到 0+ 狀態(tài)的變化狀態(tài)的變化 激勵(lì)在激勵(lì)在t = 0時(shí)刻加入，激勵(lì)加入之前瞬間系統(tǒng)的狀態(tài)，這時(shí)刻加入，激勵(lì)加入之前瞬間系統(tǒng)的狀態(tài)，這組狀態(tài)組狀態(tài) 反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)， 稱(chēng)為系統(tǒng)的稱(chēng)為系統(tǒng)的起始狀態(tài)起始狀態(tài)（0-狀態(tài)）。狀態(tài)）。 在激勵(lì)加入之后，確定待定系數(shù)在激勵(lì)加入之后，確定待定系數(shù) 需要用需要用 t =0+時(shí)刻的初時(shí)

8、刻的初始值，即始值，即iA11(0 ),(0 ),(0 )nnddrrrdtdt11(0 ),(0 ),(0 )nnddrrrdtdt 通常，對(duì)于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)（通常，對(duì)于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)（0-狀態(tài)）一般容易狀態(tài)）一般容易求得。為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)求得。為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài) 設(shè)法求得設(shè)法求得 。11(0 ),(0 ),(0 )nnddrrrdtdt11(0 ),(0 ),(0 )nnddrrrdtdt0 0：沖激函數(shù)匹配法：沖激函數(shù)匹配法原理：原理：根據(jù)根據(jù)t = 0時(shí)刻微分方程左右兩端時(shí)刻微分方程左右兩端 及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等

9、。平衡相等。例例3：描述某系統(tǒng)的方程為：描述某系統(tǒng)的方程為 已知已知 ， ， ，求，求 和和(0 )2r(0 )0r( )( )e tu t(0 )r(0 )r( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )r tr tr te te t解解 將將 代入方程得代入方程得 設(shè)設(shè) 則則 而而 在在t = 0處連續(xù)處連續(xù) 代入上面方程，得代入上面方程，得 所以所以( )( )e tu t( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )r tr tr ttu t( ) t( )( )( )r tatbu t( )( )r tau t20ab( )r t(0 )(0 )2rr(0 )(0 )2rr當(dāng)微分方程

10、等號(hào)右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，響應(yīng)r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。如果右端不含時(shí)，則不會(huì)躍變。練習(xí)練習(xí)：用沖激函數(shù)匹配法求解：用沖激函數(shù)匹配法求解 在在 時(shí)的變化時(shí)的變化( )i t0t( )7 ( ) 10 ( )( )6 ( )4 ( )i ti ti te te te t25128( )5tti tAeA e求解線性、常系數(shù)微分方程流程圖見(jiàn)書(shū)求解線性、常系數(shù)微分方程流程圖見(jiàn)書(shū)P52，圖，圖25(0 )0.8iA(0 )0/iA s(0 )2(0 )2.8iiA(0 )(0 )22/iiA s ( )7 ( ) 10 ( )2( ) 12 ( )8 ( )i t

11、i ti tttu t25428( )03155tti teet信信 號(hào)號(hào) 與與 系系 統(tǒng)統(tǒng)第第2 2章章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析（續(xù)）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析（續(xù)）第第2章章 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解 從從 0- 到到 0+ 狀態(tài)的變化狀態(tài)的變化 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng) 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng) 卷積積分卷積積分 信號(hào)的時(shí)域分解和卷積信號(hào)的時(shí)域分解和卷積 卷積的圖解卷積的圖解 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 卷積代數(shù)卷積代數(shù) 奇異信號(hào)的卷積特性奇異信號(hào)的卷積

12、特性 卷積的微積分性質(zhì)卷積的微積分性質(zhì) 卷積的時(shí)移特性卷積的時(shí)移特性 (t)函數(shù)性質(zhì)歸納函數(shù)性質(zhì)歸納3. 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)還可以分解為線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)還可以分解為零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)和和零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)的疊加。的疊加。零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只有起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)，它沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只有起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)，它滿足的方程為滿足的方程為( )zir t1011( )( )( )0nnzizin zinnddCr tCr tC r tdtdt零輸入響應(yīng)的形式零輸入響應(yīng)的形式其中的常數(shù)可以由其中的常數(shù)可以由 確定

13、。確定。1( )kntzizikkr tA e( )(0 )(0,1,1)krkn零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)，它滿足的方程為統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)，它滿足的方程為( )zsrt10111011( )( )( )( )( )( )nnzszsn zsnnmmmmmddCrtCrtC rtdtdtddEe tEe tE e tdtdt零輸入響應(yīng)的形式零輸入響應(yīng)的形式其中其中 是特解，起始狀態(tài)是特解，起始狀態(tài) 。1( )( )kntzszskkrtA eB t( )(0

14、 )0kr( )B t例例1：描述某系統(tǒng)的方程為：描述某系統(tǒng)的方程為 已知已知 ， ， ，求零輸入響應(yīng)和零狀，求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。態(tài)響應(yīng)。(0 )2r(0 )0r( )( )e tu t( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )r tr tr te te t解解 1)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 的激勵(lì)為的激勵(lì)為0，故，故 滿足滿足( )zir t( )zir t( )3( )2( )0zizizir tr tr t(0 )(0 )(0 )2zizirrr(0 )(0 )(0 )0zizirrr該齊次方程的特征根為該齊次方程的特征根為 -1，-2，所以，所以代入初始值得代入初始值得212(

15、)ttzir tC eC e1242CC 2( )420ttzir teet例例2：描述某系統(tǒng)的方程為：描述某系統(tǒng)的方程為 已知已知 ， ， ，求零輸入響應(yīng)和零狀，求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。態(tài)響應(yīng)。(0 )2r(0 )0r( )( )e tu t( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )r tr tr te te t續(xù)續(xù) 2)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 滿足滿足( )zsrt( )3( )2( )2 ( )6 ( )zszszsrtrtrttu t(0 )(0 )0zszsrr上式右端包含上式右端包含 函數(shù)，設(shè)函數(shù)，設(shè)代入方程可得代入方程可得( ) t( )( )( )zsrtatbu t( )

16、( )zsrtau t20ab(0 )(0 )0zszsrr(0 )(0 )22zszsrr所以有所以有對(duì)對(duì)t 0有有( )3( )2( )6zszszsrtrtrt不難求得齊次解為不難求得齊次解為 特解為特解為 3212ttAeA e代入初始值可得代入初始值可得2( )430ttzsrteet 所以所以212( )30ttzsrtAeA et“自由響應(yīng)自由響應(yīng)”與與“強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)”V.S.“零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)”與與“零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)”二、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)二、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)1. 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)由單位沖激信號(hào)由單位沖激信號(hào) 引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為沖激響應(yīng)，記引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為沖

17、激響應(yīng)，記為為 。( ) t( )h t例例3：描述某系統(tǒng)的方程為：描述某系統(tǒng)的方程為 求其沖激求其沖激 響應(yīng)。響應(yīng)。解解 根據(jù)根據(jù) 的定義，有的定義，有( )5 ( )6 ( )( )r tr tr te t( )h t( )5 ( )6 ( )( )h th th tt(0 )(0 )0hh利用沖激函數(shù)匹配法，有利用沖激函數(shù)匹配法，有(0 )(0 )0hh(0 )(0 ) 11hh 對(duì)對(duì)t 0有有方程的特征根為方程的特征根為2和和3，故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為代入初始值可得代入初始值可得所以所以2312( )()0tth tAeA et( )5 ( )6 ( )0h th th

18、 t23( )0tth teet2. 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)由單位階躍信號(hào)由單位階躍信號(hào) 引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為階躍響應(yīng)，記引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為階躍響應(yīng)，記為為 。例例4：描述某系統(tǒng)的方程為：描述某系統(tǒng)的方程為 求其階躍響應(yīng)。求其階躍響應(yīng)。解解 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 滿足方程滿足方程( )7 ( ) 10 ( )( )6 ( )4 ( )r tr tr te te te t( )g t( )7( ) 10 ( )( )6 ( )4 ( )g tg tg tttu t(0 )(0 )0gg( )u t( )g t利用沖激函數(shù)匹配法，有利用沖激函數(shù)匹配法，有(0 )(0 ) 11gg (0 )(0

19、 ) 11gg 對(duì)對(duì)t 0有有方程的特征根為方程的特征根為-2和和-3，特解為，特解為 2/5 故系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為故系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為代入初始值可得代入初始值可得25122( )05ttg tAeA et( )7( ) 10 ( )4g tg tg t25212( )03155ttg teet( )( )( )( )tdh tg tdtg thd 由于由于 和和 為微積分關(guān)系，則階躍響應(yīng)為微積分關(guān)系，則階躍響應(yīng) 和沖激響應(yīng)和沖激響應(yīng) 也滿足：也滿足：( ) t( )u t( )g t( )h t例例4也可以先求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，再通過(guò)積分，求出也可以先求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，再通過(guò)積分，求出系統(tǒng)的階

20、躍響應(yīng)。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。三、卷積積分三、卷積積分知識(shí)回顧：知識(shí)回顧：w 信號(hào)分解成沖激函數(shù)的組合：信號(hào)分解成沖激函數(shù)的組合：111111111011110111 ()()( )lim( )lim( ) ()( ) ()( )* ( )ttttu ttu tttf tf tttf ttttf ttt dtf tt w 任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)：任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)：LTI系統(tǒng)零狀態(tài)系統(tǒng)零狀態(tài)( )e t( )r t( )( )th t()()th t( ) ()( ) ()eteh t ( ) ()( ) ()etdeh td (定義定義)(時(shí)不變性時(shí)不變性)(齊次性齊次性)(疊加性疊加

21、性)( )( ) ()r teh td(卷積積分卷積積分)1. 卷積的定義卷積的定義定義在定義在 上的兩個(gè)函數(shù)上的兩個(gè)函數(shù) 和和 ，則定義積分，則定義積分 為為 和和 的卷積積分，簡(jiǎn)稱(chēng)卷積，的卷積積分，簡(jiǎn)稱(chēng)卷積，記為記為1( )f t(,) 2( )f t1( )f t2( )f t12( )( )()f tff td12( )( )( )f tf tf t注意注意為積分變量，為積分變量，t t為參變量，結(jié)果是為參變量，結(jié)果是t t的函數(shù)的函數(shù)例例5：已知：已知 求求2( )(61) ( )th teu t( )()te tet 解解( )r t當(dāng)當(dāng) t t tt）時(shí)，）時(shí)，2()( )61t

22、r teed()0u t2()23232323( )61(6)(6)()2|2ttttttttttttttr teedeee deede deeeeeee2. 卷積的圖解法卷積的圖解法卷積過(guò)程可分為四步：卷積過(guò)程可分為四步：1. 換元：換元：t t換為換為2. 反褶平移：反褶平移：由由 反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) ，右移，右移t t 3. 乘積：乘積：4. 積分：積分：從從-到到對(duì)乘積項(xiàng)積分對(duì)乘積項(xiàng)積分1212( )( )( )()f tf tff td12( ),( )ff2( )f2()f2()f t12( )()ff t例例6：已知：已知 如圖所示，求如圖所示，求( )e t解解 圖形比較復(fù)雜，進(jìn)行換元圖

23、形比較復(fù)雜，進(jìn)行換元 換元換元 ， 反褶平移反褶平移 ( )( )( )r te th t( )h t( )h t( )e t( )h( )e()e t t0,( )( )0e th t 0t1,2011( )24tr tdt 1t2，1111( )224ttr tdt0123h()2tt-1e(t-)0.50123 2t3，2211113( )2424tr tdtt t3，( )0r t 圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比較方便的。較方便的。確定積分的上下限是關(guān)鍵確定積分的上下限是關(guān)鍵。補(bǔ)充作業(yè)：補(bǔ)充作業(yè)： 已知已知 f1(t

24、)和和 f2(t)，f(t)= f1(t)*f2(t)，求，求f(2)（圖解法）（圖解法）信信 號(hào)號(hào) 與與 系系 統(tǒng)統(tǒng)第第2 2章章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析( (續(xù)續(xù)) )第第2章章 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解 從從 0- 到到 0+ 狀態(tài)的變化狀態(tài)的變化 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng) 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng) 卷積積分卷積積分 信號(hào)的時(shí)域分解和卷積信號(hào)的時(shí)域分解和卷積 卷積的圖解卷積的圖解 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 卷積代數(shù)卷積代數(shù) 奇

25、異信號(hào)的卷積特性奇異信號(hào)的卷積特性 卷積的微積分性質(zhì)卷積的微積分性質(zhì) 卷積的時(shí)移特性卷積的時(shí)移特性 (t)函數(shù)性質(zhì)歸納函數(shù)性質(zhì)歸納四、卷積積分的性質(zhì)四、卷積積分的性質(zhì)1. 卷積代數(shù)卷積代數(shù)滿足乘法三定律：滿足乘法三定律：交換律交換律：分配律分配律：1221( )*( )( )*( )f tf tf tf t1231213( )*( )( )( )*( )( )*( )f tf tf tf tf tf tf t123123( )*( )*( )( )*( )*( )f tf tf tf tf tf t結(jié)合律結(jié)合律：h1(t)h2(t)h1(t)h2(t)( )e t( )e t12( )( )*

26、 ( )( )r te th th t12( )( )* ( )*( )r te th th t2. 奇異信號(hào)的卷積特性奇異信號(hào)的卷積特性( )* ( )( )f ttf t00( )* ()()f tttf tt( )*( )( )f ttf t( )* ( )( )tf tu tfd( )( )00( )*()()kkf tttftt1.2.3.推廣：推廣：k取正整數(shù)表示導(dǎo)數(shù)階數(shù)，取正整數(shù)表示導(dǎo)數(shù)階數(shù)，k取負(fù)整數(shù)表示重積分次數(shù)取負(fù)整數(shù)表示重積分次數(shù)3. 卷積的微積分性質(zhì)卷積的微積分性質(zhì)211212( )( )( )*( )( )*( )df tdf tdf tf tf tf tdtdtdt

27、121212( )*( )( )*( )( )*( )tttffdf tfdfdf t12( )( )*( )S tf tf t( )( )()12( )( )*( )ijijStftft1.2.推廣：推廣：設(shè)設(shè)則有則有i，j取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次，取負(fù)整數(shù)數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù)。取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次，取負(fù)整數(shù)數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù)。如：如：121212( )*( )( )*( )( )*( )ttdf tf tf tfddtdfdf tdt1()0)f 2()0)f 4. 卷積的時(shí)移特性卷積的時(shí)移特性若若12( )( )*( )f tf tf t11221122121212()*()()*( )(

28、 )*()()f ttf ttf tttf tf tf tttf ttt則則例：例：f1(t)如圖，如圖，求求2( )( )tf te u t12( )*( )f tf t解：解：1( )( )(2)f tu tu t12221122( )*( )( )*( )(2)*( )( )(2)f tf tu tf tu tf tftft(2)12( )*( )(1) ( )1 (2)ttf tf teu teu t例：例：f1(t)和和f2(t)如圖，求如圖，求12( )*( )f tf t解：解：1( )2 ( )2 (1)f tu tu t12( )*( )2 ( )* (1)2 ( )* (1)2 (1)* (1)2 (1)* (1)f tf tu tu tu tu tu tu tu tu t( )* ( )( )u tu tt u t2( )(1)(1)f tu tu t因?yàn)橐驗(yàn)楦鶕?jù)時(shí)移特性根據(jù)時(shí)移特性12( )*( )2(1