f分布t分布與卡方分布

1、§ 1.4常用的分布及其分位數(shù)1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導生的分布, 它們與正態(tài)分布一起，是試驗統(tǒng)計中常用的分布。當X1、X2Xn相互獨立且都服從 N(0,1)時，Z=£ Xi2的i分布稱為自由度等于 n的/ 2分布，記作Z2 2(n),它的分布密度P(z 0其他,n'J ' 11.Gamma®數(shù)，且：1 =1,式中的r n =( u2 e du,稱為、2J °*j= «。z 2分布是非對稱分布，具有可加性，即當丫與Z相互獨立，且 Y2 2(n) , Z，2(n),貝U Y+Z2 2(n+m。證明：

2、先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互獨立且都服從N(°,1),再根據(jù) 獨立性，令2分布的定義以及上述隨機變量的相互y=x 2+X2+. +X3 z=x2/X2+2+xn+m，Y+Z= X 12+X2+X2+X2 +1+X2 +2+ - +Xn+m，即可得到Y(jié)+Z 2(n+mX N(°,1) , Y2. t 分布若X與Y相互獨立，且Y的分布稱為自由度等 n于n的t分布，記作Zt ( n),它的分布密度P(z尸產(chǎn))rz2 v，2 14 ”4)<請注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當 n>3°時，t分布與標準正態(tài)分布 N(°,1

3、)的密度曲線幾乎重疊為一。這時,t分布的分布函數(shù)值查N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。3. F分布若X與Y相互獨立，且 X- 7 2(n) , Y2(m),則2=%/工的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于 mn m的F分布，記作 ZF ( n, m ,它的分布密度P(z尸工m220,n1 z2n m,(m n z) 2z 0其他。請注意：F分布也是非對稱分布，它的分布密度與自由度的次序有關(guān)，當 ZF ( n, m時，工F ( m ,n)4. t分布與F分布的關(guān)系若 Xt( n),則 Y=X2 F(1,證：Xt( n) , X的分布密度n) op(x)=n+1'r f2 2 J

4、x21 -nY=X 2 的分布函數(shù) FY ( y) =PY< y=PX 2 <y。當 y«0 時,Fy”。, py(y)=0；當 y>0 時，F(xiàn)Y(y) =P- Vy<X<Jy 二1，p(x)dx=210y p(x)dx,Y=X 2的分布密度pY(y尸n二1 +n :n2r k 2 1Twny、2)山1-1y21 n(n y) 2與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度 相同，因此Y=X2F(1, n) o為應用方便起見，以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從各自 的函數(shù)值表中查由o 但是，解應用問題時，通常是查分位數(shù)表 有關(guān)分位數(shù)的概念如下:4

5、.常用分布的分位數(shù)1）分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機變量的分布函數(shù)有關(guān)，根據(jù)應用的需要，有三種不同的稱呼，即 a分位數(shù)、上側(cè)a分位數(shù)與雙側(cè)a 分位數(shù)，它們的定義如下：當隨機變量X的分布函數(shù)為F（ X）,實數(shù)a滿足0 < a <1時，a分位數(shù)是使PX< X & =F（ X a）= a的數(shù)X 口，上側(cè)a分位數(shù)是使PX >入=1 - F（入戶a的數(shù)人，雙側(cè)a分位數(shù)是使PX<入1=F（入1）=0.5 a的數(shù)人1、使PX> 入 2=1 - F（入 2）=0.5 a 的數(shù)入 2。因為1- F（入戶a , F（入）=1 - a ,所以上側(cè)a分位數(shù)人就是1-o分位

6、數(shù)X 1- % ；F（入1）=0.5 a , 1- F（入2）=0.5 a ,所以雙側(cè)a分位數(shù)入1就 是0.5a分位數(shù)X 0.5 口，雙側(cè)燈分位數(shù)入2就是1- 0.5民分位數(shù) X 1- 0.5 a。2）標準正態(tài)分布的a分位數(shù)記作U8 ,0.5 a分位數(shù)記作U 0.5PX<U 0.5 a = F 0,1 (U 0.5 a )=0.5 a ,PX<U 1- 0.5 a= F 0,1 (u 1- 0.5 a 尸1-。.5 a。根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當 5 =0.5 時，Ua =0;當 a <0.5 時，U” <0oua =- u 1- a。如果在標準正態(tài)分布的分布

7、函數(shù)值表中沒有負的分位數(shù)，則先查由U 1- a ,然后得到U =- U 1- / °論述如下：當 XN(0,1)時，PX< U 0= F 0,1 (U a 尸 a ,PX< U 1- a= F 0,1 (U 1- a )=1 - a ,PX> U 1- 口戶-F 0,1 (U 1- 口 尸。，故根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，Ua =- U1-例如， U 0.10 =- U 0.90 =- 1.282 ,U 0.05 =- U 0.95 =- 1.645 ,U 0.01 =- u 0.99 =- 2.326 ,U 0.025 =- U 0.975 =- 1.960

8、 ,U 0.005 =- U 0.995 =- 2.576 。又因為P|X|< U 1- 0.5/=1 - 口，所以標準正態(tài)分布的雙側(cè)民分位數(shù)分別是U 1- 0.5 a和-u 1- 0.5 a。標準正態(tài)分布常用的上側(cè) a分位數(shù)有：a =0.10 , U 0.90=1.282 ;a =0.05 , u 0.95=1.645 ;a =0.01 ,U 0.99 =2.326 ;a =0.025 ,U 0.975=1.960 ;a =0.005 ,U 0.995 =2.576 o3)卡平方分布的a分位數(shù)記作三2 (n) o C/v7 2 a (n)>0，當 X？ 2(n)時，PX<

9、/ 2 a (n)= a。例如，Z 2 0.005 =0.21 , 7 2 0.025 =0.48 ,2 2 0.05 =0.71 , 2 2 0.95 =9.49 ,Z 20.975 (4)=11.1 ,2 0.995 (4)=14.9。4) t分布的a分位數(shù)記作t a (n)。當Xt (n)時，PX<t a(n)=民,且與標準正態(tài)分布相類似，根據(jù)t分布密度曲線的對稱性，也有t a (n戶-t 1- a (n),論述同 ua =- u 1- a。例如，t 0.95 (4)=2.132 , t 0.975 (4)=2.776 ,t 0.995 =4.604 , t 0.005 (4)=

10、- 4.6。4 ,t 0.025 (4)= - 2.776 , t 0.05 (4)= - 2.132。另外，當n>30時，在比較簡略的表中查不到ta(n),可用ua作為t &的近似值。5) F分布的a分位數(shù)記作Fa ( n , m)。Fa (n , m>0 ,當 XF (n , m 時，PX<Fa (n , m)二 a。另外，當a較小時，在表中查不由 F0(n, m),須先查F1- a(m n),再求 Fa (n, m)=。論述如下：F1(m , n )當 XF(m n)時，PX< F 1- a(m n)=1 - a,P>1=1 - a , P <

11、1= a ,X F 1-： (m, n)X F 1一:(m, n)又根據(jù)F分布的定義， 。F(n, m, P-<Fa (n, m) = a, XX1因止匕F a (n, m=。Fi-： (m , n )例如，F(xiàn)o.95 (3,4)=6.59, F 0.975 (3,4)=9.98,F 0.99 (3,4)=16.7, F 0.95 (4,3)=9.12,19.12F 0.975 (4,3)=15.1, F 0.99 (4,3)=28.7,F 0.01 (3,4戶, F 0.025 (3,4戶 ，F(xiàn) 0.05 (3,4戶28.715.1【課內(nèi)練習】1. 求分位數(shù) /2 0.05 (8),

12、72 0.95 (12)。2. 求分位數(shù) t 0.05(8), t 0.95 (12)3. 求分位數(shù) F0.05 (7,5)， F0.95(10,12)4. 由u 0.975 =1.960寫生有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)5. 由t 0.95 (4)=2.132寫生有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)6. 若X”(4) , PX<0.711=0.05 , PX<9.49=0.95 ,試寫由有關(guān)的分位數(shù)。7. 若XF(5,3) , PX<9.01=0.95 , YF(3,5) , Y<5.41=0.95 ,試寫由有關(guān)的分位數(shù)。8. 設(shè)Xi、X2、X10相互獨立且都服從 N(0,0.09)分布， 試求 P £ Xi2>1.44。習題答案：1.2.73 , 21.0。2.-1.860 , 1.782。3.工，3.37。4. 1.960 為上側(cè)0.025分位數(shù)，-1.960與1.960