多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分

1、整理課件一、一、 偏導數(shù)的概念偏導數(shù)的概念二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)三、可微與偏導數(shù)的關系三、可微與偏導數(shù)的關系* *3.43.4 多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分四、全微分四、全微分整理課件在二元函數(shù)在二元函數(shù) z = f (x, y)中中, 有兩個自變量有兩個自變量 x, y, 但但若固定其中一個自變量若固定其中一個自變量, 比如比如, 令令y = y0, 而讓而讓 x 變化變化.則則 z 成為一元函數(shù)成為一元函數(shù) z = f (x, y0), 我們可用討論一元我們可用討論一元函數(shù)的方法來討論它的導數(shù)函數(shù)的方法來討論它的導數(shù), 稱為稱為偏導數(shù)偏導數(shù).一、偏導數(shù)的定義一、偏

2、導數(shù)的定義整理課件設設 z = f (X) = f (x, y) 在在 X0 = (x0, y0) 的的某鄰域某鄰域 U(X0)內(nèi)有定義內(nèi)有定義. 固定固定 y = y0, 在在 x0 給給 x 以增量以增量 x . 相應函數(shù)增量記作相應函數(shù)增量記作),(),(0000yxfyxxfzx稱為稱為 z 在點在點 X0 處關于處關于 x 的的偏增量偏增量.定定義義整理課件.),(),(limlim存在如果極限xyxfyxxfxzxxx000000則稱這個極限值為 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 處對對 x 的偏的偏導數(shù)導數(shù). ),( 00yxfx記作即xyxfyxxfyxfxx),

3、(),(lim),(0000000此時也稱 f (x, y)在(x0, y0) 處對x 的偏導數(shù)存在. 否則稱f (x, y)在(x0, y0) 處對x的偏導數(shù)不存在. ,00yyxxxzxyxfxfyyxx),( 0000或整理課件稱為稱為z = f (x, y) 在在 (x0, y0) 處處對對 y 的偏導數(shù)的偏導數(shù).yyxfyfyzyxfyyyxxyyxxy),( , ),( 00000000或記作yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000整理課件稱為稱為z 對對自變量自變量 x 的偏導函數(shù)的偏導函數(shù)(簡稱簡稱偏導數(shù)偏導數(shù)).),( , , ),( xyxfxzxz

4、yxfxx記作xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),( 0整理課件1.由偏導數(shù)定義知由偏導數(shù)定義知, 所謂所謂 f (x, y) 對對x 的偏的偏導數(shù)導數(shù), 就是將就是將 y 看作常數(shù)看作常數(shù), 將將 f (x, y) 看看 作作 一一元函數(shù)來定義的元函數(shù)來定義的.因此因此,在實際計算時在實際計算時, 注注求求 f x (x, y)時時, 只須將只須將 y 看作常數(shù)看作常數(shù),用一元用一元函數(shù)求導公式求即可函數(shù)求導公式求即可. 求求 f y (x, y)時時, 只須將只須將 x 看作常數(shù)看作常數(shù),用一元用一元函數(shù)求導公式求即可函數(shù)求導公式求即可.整理課件2.計算計算三種方法：三種方法：

5、(1) 用定義計算用定義計算.(2) 先計算先計算 再代值得再代值得 (3) 先計算先計算 再再計算計算 再再 計算計算 00, yxfx , yxfx 00, yxfx ,0yxf 00, yxfx ,0yxfx 整理課件例例1.)2 , 1(322處處的的偏偏導導數(shù)數(shù)在在求求yxyxz 解解或或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4,f x(x, 2) = 2x + 6故故 f x(1, 2) = 2+ 6 = 8.yxxz32 86221 yxxzyxyz23 74321 yxyz整理課件練習練習.),()ln(),(arctan的偏導數(shù)處對在設xyxeyxfxy2 122解解，

6、但如果先求偏導數(shù)本題實質(zhì)上是求),(),(yxffxx01，則固定在是我們先把運算是比較麻煩的。于0yy。，則xxfxxfx2020),(ln),(.),(201xf于是整理課件例例2.2sin2的的偏偏導導數(shù)數(shù)求求yxz 解解yxxz2sin2 22cos2 yxyzyx2cos22 例例3. ),1, 0( 求求偏偏導導數(shù)數(shù)設設 xxxzy解解1 yyxxzxxyzyln 整理課件偏導數(shù)的概念可推廣到三元以上函數(shù)中去偏導數(shù)的概念可推廣到三元以上函數(shù)中去.比如比如, 設設 u = f (x, y, z) .xzyxfzyxxfuxx ),(),(lim0 它的求法它的求法, 就是將就是將 y

7、, z 均看作常數(shù)來求即可均看作常數(shù)來求即可.整理課件例例4. 222的的偏偏導導數(shù)數(shù)求求zyxu 解解22222 zyxxux ux 22222 zyxyuy uy 22222 zyxzuz uz 整理課件例例5 已知已知,)1(),(yxyyxf 求求) 1 , 1 (, ) 1 , 1 (yxff解解yxyyyxfyx 1)1(),(12)1( yxyy1)1 , 1( xfyeyxfyxyy )1ln(),(yxy)1( xyxy1)1ln(xy 2ln21)1 , 1( yf整理課件15. 的偏導數(shù)求zyxu xuyuzu1zyzxy1)(lnzyzyxxzyyxxzyzln)(ln

8、整理課件在一元函數(shù)中在一元函數(shù)中, 可導必連續(xù)可導必連續(xù), 但對多元函數(shù)但對多元函數(shù)不適用不適用.即即, 對多元函數(shù)對多元函數(shù) f (X)而言而言, 即使它在即使它在 X0 的對各個自變量的偏導數(shù)都存在的對各個自變量的偏導數(shù)都存在, 也不能保證也不能保證 f (X)在在 X0 連續(xù)連續(xù).偏導與連續(xù)的關系偏導與連續(xù)的關系整理課件例例 設設 ),(yxfz,0 ,2222時時當當 yxyxxy,0 , 022時時當當 yx證明證明：z = f (x, y)在在(0, 0)的兩個偏導都存在的兩個偏導都存在, 但但 它在它在 (0, 0)不連續(xù)不連續(xù).整理課件xfxffxx )0 , 0()0 ,0(

9、lim)0 , 0(0 xxxx 000lim220 = 0yfyffyy )0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0 yyyy 000lim220 = 0故故 z = f (x, y)在在(0, 0)的兩個偏導都存在的兩個偏導都存在 z = f (x, y)在在(0, 0)的兩個偏導都存在的兩個偏導都存在.證證 整理課件),(lim0yxfkxyx 21kk 當當 k 不同時不同時, 極限也不同極限也不同. f (x, y) 在在 (0, 0)的極限不存在的極限不存在 .)1(lim2220kxkxx z = f (x, y)在在(0, 0)的極限不存在的極限不存在, 因此它因此它在

10、在 (0, 0)不連續(xù)不連續(xù).整理課件從幾何上看從幾何上看, f x (x0, y0)存在存在. 只保證了一只保證了一元函數(shù)元函數(shù) f (x, y0)在在 x0 連續(xù)連續(xù).也即也即 y = y0 與與 z = f (x, y)的截線的截線 1 在在 M0= (x0, y0 , z0)是連續(xù)的是連續(xù)的.同理同理, f y (x0, y0)存在存在. 只保證了只保證了x = x0 與與 z = f (x, y)的截線的截線 2 在在 M0連續(xù)連續(xù).但都不能保證曲面但都不能保證曲面 z = f (x, y)在在 M0連續(xù)連續(xù).整理課件21在二元函數(shù)中，連續(xù)不一定能保證偏導數(shù)存在，有時某些在二元函數(shù)中

11、，連續(xù)不一定能保證偏導數(shù)存在，有時某些不連續(xù)的點，偏導數(shù)卻存在不連續(xù)的點，偏導數(shù)卻存在.例例:函數(shù)函數(shù)22yxz在點（在點（0,0)連續(xù)，但其偏導數(shù)不存在連續(xù)，但其偏導數(shù)不存在.00yxxzxfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 xxx00)0(lim220 xxx20limxxx0lim(不存在不存在)同理同理00yxyz(不存在不存在)整理課件連連續(xù)續(xù)曲曲面面在在0M當當 X 從任何方向從任何方向, 沿任何曲線趨于沿任何曲線趨于X0時時, f (X)的極限都是的極限都是 f (X0). )()(lim00XfXfXX 連連續(xù)續(xù)曲曲面面在在0M偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在不不連連續(xù)續(xù)曲曲面面在

12、在0M也也可可能能偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在,整理課件).,(),(),(yxfyxfyxfzyx 的的偏偏導導數(shù)數(shù)為為設設由于它們還是由于它們還是 x, y 的函數(shù)的函數(shù). 因此因此, 可繼續(xù)討論可繼續(xù)討論.),(),(的的偏偏導導數(shù)數(shù)yxfyxfyx 二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)整理課件 xfyyxfyxzxy),(2 xfxyxfxzxx),(22設設),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可偏導內(nèi)可偏導,若若),(yxfx ),(yxfy 偏導偏導 yfyyxfyzyy),(22 yfxyxfxyzyx),(2整理課件注：注：（1）二元函數(shù)的二階導數(shù)一共有四個：）二元函數(shù)的二階導數(shù)一共有四個：2 2

13、2 2x xz zyxz2xyz222yz二階混合偏導數(shù)二階混合偏導數(shù)整理課件類似類似, 可得三階可得三階, 四階四階, , n 階偏導數(shù)階偏導數(shù).則記可偏導若如, :22xz,2233xzxxz.,2223等等xzyyxz整理課件例例1., 3sin3322xzyxyxz求全部二階偏導和設解解:122xyxzyyxyzcos222222yxzyxyzsin2222xyyxz42xyxyz42033xz有什么關系？與觀察xyzyxz22整理課件. ,122xyzyxz有中在例若不是若不是, 那么滿足什么條件時那么滿足什么條件時, 二階混合二階混合偏導數(shù)才相等呢偏導數(shù)才相等呢?問題問題: 是否任

14、何函數(shù)的二階混合偏導數(shù)都相等是否任何函數(shù)的二階混合偏導數(shù)都相等?整理課件定理定理1若二階混合偏導數(shù)連續(xù)，則它們與若二階混合偏導數(shù)連續(xù)，則它們與yxz2xyz2即即: :求導次序無關求導次序無關. .整理課件例例2 求)(sin2byaxz的二階偏導數(shù)xz解解:)sin(2byax)cos(byaxa)(2sinbyaxayz)sin(2byax)cos(byaxb)(2sinbyaxb22xz)(2cosbyaxaa2)(2cos22byaxayxz2)(2cosbyaxab2)(2cos2byaxabxyz2)(2cosbyaxba2)(2cos2byaxab22yz)(2cosbyaxbb

15、2)(2cos22byaxb整理課件三、全微分的概念三、全微分的概念復習一元函數(shù)的微分：復習一元函數(shù)的微分：)(xfy )()(00 xfxxfy )( xoxAy xAdy dyy xxfdy )(0 dxxfdy)(0 )(0 xfdxdy 可導可導微商微商可微可微整理課件一般說來一般說來, 算這算這個改變量較麻煩個改變量較麻煩, 希望找計算它的近似公式希望找計算它的近似公式.該近似公式應滿足：該近似公式應滿足：(1)好算；好算； (2)有一定的有一定的精確度精確度.在實際中在實際中,常需計算當兩個自變量都改常需計算當兩個自變量都改變時變時, 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (X) = f

16、(x, y)的改變量的改變量 f (x0+ x, y0 + y) f (x0, y0).整理課件類似一元函數(shù)的微分概念類似一元函數(shù)的微分概念, 引進記號和定義引進記號和定義.記記 z = f (x0+ x, y0 + y) f (x0, y0)= f ( X+ X ) f (X0).其中其中 X0 = (x0, y0). X = ( x, y) 稱為稱為 z = f (X) = f (x, y)在點在點X0 = (x0, y0) 的的全增量全增量.整理課件設設 z = f (X) = f (x, y)在在U(x0)內(nèi)有定義內(nèi)有定義.若若 z = f (x, y)在點在點(x0, y0) 的全增

17、量的全增量 z = f (x0+ x, y0 + y) f (x0, y0) z = A x +B y + o(| X |)(22yxoyBxA 其中其中A, B是只與是只與x0, y0有關有關, 而與而與 x, y無關的常數(shù)無關的常數(shù). ).0, 0( )(2222 yxyxyxo 的的高高階階無無窮窮小小表表示示定定義義整理課件稱稱 A x +B y 為為 z= f (x, y)在點在點(x0, y0)處的處的全微分全微分.則稱則稱 z = f (x, y)在點在點(x0, y0)可微可微. yBxAzzXXXX 00d .d 即即記作記作)(22yxoyBxAz dzz 整理課件1.按定

18、義按定義, z = f (x, y)在點在點(x0, y0)可微可微 )(22yxoyBxAz 0)(lim 222200 yxyxoyx 其其中中注注整理課件2.若若 z 在點在點 X0 = (x0, y0)可微可微 . d 0zyBxAzXX 近近似似代代替替則則以以 . |22的的高高階階無無窮窮小小所所產(chǎn)產(chǎn)生生的的誤誤差差是是yxX 即即 z ( A x +B y ) = o (| X |)(22yxo 整理課件3.若若 z = f (x, y)在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微,則則稱稱 z = f (x, y)在在 D 內(nèi)可微內(nèi)可微. z 在在(x, y) D 處的處的全微分記

19、作全微分記作 dz.即即 dz = A (x, y) x + B (x, y) y它實際上是一個以它實際上是一個以 x, y , x , y為自變?yōu)樽宰兞康乃脑瘮?shù)量的四元函數(shù).整理課件一元函數(shù)一元函數(shù)z = f (x) : 若若 z = A x +o( x)(1)若若z = f (x, y)在點在點(x0, y0)可微可微, 微分式微分式 dz = A x +B y中系數(shù)中系數(shù) A, B 如何求如何求, 是否與是否與z的偏導有關的偏導有關?(2)在一元函數(shù)中在一元函數(shù)中, 可微與可導是等價的可微與可導是等價的. 在二在二元函數(shù)中元函數(shù)中, 可微與存在兩個偏導是否也等價可微與存在兩個偏導是否也

20、等價?(3)在一元函數(shù)中在一元函數(shù)中, 可微可微連續(xù)連續(xù), 對二元函數(shù)對二元函數(shù)是否也對是否也對?dz = A x = f (x) x . 整理課件結(jié)論結(jié)論: 對二元函數(shù)對二元函數(shù) z = f (x, y), z 在在(x0, y0)可微可微(不是存在兩個偏不是存在兩個偏導導) z 在在(x0, y0)連續(xù)連續(xù).整理課件若若 z = f (x, y)在點在點 X =(x, y)處可微處可微, 則則 z = f (x, y)在點在點(x, y)處兩個偏導處兩個偏導,存存在在yzxz dyyzdxxzz d且且 z 在在 (x, y)處的全微分為處的全微分為整理課件偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 可微可微d

21、yyzdxxzz d 且且可微可微 存在兩個偏導存在兩個偏導,偏導數(shù)存在且連續(xù)偏導數(shù)存在且連續(xù) 可微可微整理課件例例1 000,),(222222yxyxyxxyyxfz設設證明證明 z 在在 (0, 0)處的兩個偏導存在處的兩個偏導存在, 但但 z 在在 (0, 0)不可微不可微.證證 由偏導定義由偏導定義xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 = 0yfyffyy )0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0 = 0整理課件)0 , 0()0 , 0( yfxfzyx但而z22yxyx2322002200)(limlim yxyxyxzyxyx0故 z 在

22、(0, 0) 不可微.整理課件連續(xù)、可導與可微的關系連續(xù)、可導與可微的關系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導存在偏導存在 ) 0 , 0(),(, 0) 0 , 0(),(,1sin22yxyxyxxy 在在)0 , 0(. 定理定理定理定理可微的可微的定義定義 例例1(0,0)22在在yxz (0,0)22在在yxz 整理課件例例2 求 z = x2 cos xy 的全微分.解解 故 dz = (2xcosxy x2ysinxy)dx x3sinxydyxyxxzcos2yxyx)sin(2xxyxyz)sin(2整理課件例例3 求求 z = exy 在點在點(2, 1)處的全微分處的全微分.解解 , yexzxy xeyzxy 故故 dz = yexydx + xexydyyexezyxd2dd2212 整理課件例例4 求求 u = xyz 的全微分的全微分.解解 ,1 yzyzxxuxzxyuyzln 故故 du = yzxyz1 dx + zxy