二維隨機(jī)變量及條件分布

1、圖示圖示e )(eY S)(eX ., ),(,)()(, ,或二維隨機(jī)變量叫作二維隨機(jī)向量由它們構(gòu)成的一個(gè)向量上的隨機(jī)變量是定義在和設(shè)它的樣本空間是是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)YXSeYYeXXeSE1.1.定義定義 將將n n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量X X1 1，X X2 2，.,X.,Xn n構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)n n維維向量向量 (X(X1,1,X X2 2,.,X,.,Xn n) )稱(chēng)為稱(chēng)為n n維隨機(jī)變量。維隨機(jī)變量。一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量XR1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)上

2、的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類(lèi)似，多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類(lèi)似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)例實(shí)例1 炮彈的彈著點(diǎn)的位置炮彈的彈著點(diǎn)的位置 ( X, Y ) 就是一個(gè)二維隨機(jī)變量就是一個(gè)二維隨機(jī)變量. 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與 X、Y 有有關(guān)關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.實(shí)例實(shí)例2 考查某一地考查某一地 區(qū)學(xué)前兒童的區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況發(fā)育情況 , 則兒童的身高則兒童的身高 H 和體重和體重 W 就構(gòu)成二維隨機(jī)變量就構(gòu)

3、成二維隨機(jī)變量 ( H, W ).說(shuō)明說(shuō)明 幾何意義幾何意義：分布函數(shù)：分布函數(shù)F( x0,y0)表示隨機(jī)點(diǎn)表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分：中的概率。如圖陰影部分： 設(shè)設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量，是二維隨機(jī)變量，(x, y) R2, 則稱(chēng)則稱(chēng) F(x,y)=PX x, Y y為為(X, Y)的的分布函數(shù)分布函數(shù)，或，或X與與Y的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。 00,yyxxyx 對(duì)于對(duì)于(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1x2，y1y2 ),則則Px1X x2，y1Y y2 F(x2, y2)F(x2, y1) F (x1, y2)F (x1, y

4、1).(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)分布函數(shù)分布函數(shù)F(x, y)具有如下具有如下性質(zhì)性質(zhì)：0),(lim),(,yxFFyx1),(lim),(,yxFFyx且且0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)歸一性歸一性 對(duì)任意對(duì)任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, (2)單調(diào)不減單調(diào)不減 對(duì)任意對(duì)任意y R, 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)， F(x1, y) F(x2 , y)； 對(duì)任意對(duì)任意x R, 當(dāng)當(dāng)y1y2時(shí)，時(shí)， F(x, y1) F(x , y2). );,(),(lim), 0(000yxFyxFyxFxx).,

5、(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy(3)右連續(xù)右連續(xù) 對(duì)任意對(duì)任意x R, y R, (4)矩形不等式矩形不等式對(duì)于任意對(duì)于任意(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1x2，y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1) 0.反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)F(x,y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。例例1.1.已知二維隨機(jī)變量已知二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)3()2(),(

6、yarctgCxarctgBAyxF1)求常數(shù)求常數(shù)A，B，C。 2)求求P0X2,0Y3解解: :122),(CBAF0)3(2),(yarctgCBAyF02)2(),(CxarctgBAxF212ACB161)0 , 2()3 , 0()3 , 2()0 , 0(30 , 20FFFFYXP 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X, Y)只能取至多可列對(duì)值只能取至多可列對(duì)值(xi, yj), (i, j1, 2, )，則稱(chēng)，則稱(chēng)(X, Y)為為二維離散型隨機(jī)變量。二維離散型隨機(jī)變量。稱(chēng)稱(chēng) PXxi, Y yj, pij , (i, j1, 2, )，為二維離，為二維離散型隨機(jī)變量散型隨機(jī)變量(

7、X, Y)的的分布律分布律，或隨機(jī)變量，或隨機(jī)變量X與與Y的的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律.可記為可記為 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，X Y y1 y2 yj p11 p12 . p1j . p21 p22 . p2j . pi1 pi2 . pij . .聯(lián)合分布律的性質(zhì)聯(lián)合分布律的性質(zhì) (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2)111 ijijpx1 x2xi二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可列表表示如下二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可列表表示如下:例例2 2 袋中有袋中有2 2只黑球、只黑球、2 2只白球、只白球、3 3只紅球，在其中任取只紅球

8、，在其中任取2 2只球只球. .以以X表示取到黑球的只數(shù)，以表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)表示取到白球的只數(shù). . (1) (1)求求( (X, ,Y) )的分布律的分布律. . (2) (2)求概率求概率.1,222 YXPYXP解解 (1)(1)X所有可能取的不同值為所有可能取的不同值為0,1,2;0,1,2;Y所有可能取的不同值為所有可能取的不同值為0,1,2. (0,1,2. (X, ,Y) )的分布律為的分布律為 ,jYiXP. 20, 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0,272322 jijijiji分布律也可寫(xiě)成以下表格的形式分布律也可寫(xiě)成以下表格的形式.(2)

9、(2)0, 21, 12, 0YXPYXPYXP0, 11, 00, 0YXPYXPYXP.75 2YXP.216 122YXP1、定義定義 對(duì)于二維隨機(jī)變量對(duì)于二維隨機(jī)變量(X, Y)，若存在一個(gè)非負(fù)，若存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)函數(shù)f (x, y)，使對(duì)，使對(duì) (x, y) R2，其分布函數(shù)其分布函數(shù) xydudvvufyxF,),(),(則稱(chēng)則稱(chēng) (X, Y)為為二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為為(X, Y)的密度函數(shù)的密度函數(shù)(概率密度概率密度)，或，或X與與Y的的聯(lián)合密度聯(lián)合密度函數(shù)函數(shù)，可記為，可記為 (X, Y) f (x, y)， (x, y) R22、聯(lián)合密度、聯(lián)合

10、密度f(wàn)(x, y)的性質(zhì)的性質(zhì) (1)非負(fù)性非負(fù)性： f (x, y) 0, (x, y) R2; (2)歸一性歸一性： 反之，具有以上兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)反之，具有以上兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)f (x, y)，必，必是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。( , )1;f x y dxdy GdxdyyxfGYXP.),(),(4)對(duì)于任意平面區(qū)域?qū)τ谌我馄矫鎱^(qū)域G R2, );,(),(2yxfyxyxF(3)若若f (x, y)在在(x, y) R2處連續(xù)，則有處連續(xù)，則有此外，此外，f (x, y)還有下述性質(zhì)還有下述性質(zhì)求：求：(1)(1)常數(shù)常數(shù)A A；(2

11、) F(1,1)(2) F(1,1)； (3)(X,Y) (3)(X,Y)落在三角形區(qū)域落在三角形區(qū)域 D:x D:x 0,y0,y 0,2x+3y0,2x+3y 6 6 內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。 其它, 00, 0,),(),()32(yxAeyxfYXyx例例3. 設(shè)設(shè)解解 (1) 由歸一性由歸一性6 A)1)(1 (6) 1 , 1 ()2(321010)32(eedydxeFyx -(2x+3y)0 0f(x, y)dxdy =Aedxdy = 1(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域落在三角形區(qū)域D：x 0, y 0, 2X+3y 6內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。解解dxdyeDYXPDyx)32(6

12、),(303220)32(6dyedxxyx671e3. 兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布二維均勻分布* 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱(chēng)則稱(chēng)(X, Y)在區(qū)域在區(qū)域D上上(內(nèi)內(nèi)) 服從服從均勻分布均勻分布。 其它，的面積,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP,(易見(jiàn)，若易見(jiàn)，若 (X, Y) 在區(qū)域在區(qū)域D上上(內(nèi)內(nèi)) 服從均勻分布服從均勻分布, 對(duì)對(duì)D內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)任意區(qū)域G, 有有例例4.4.設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域D D上的均勻分布，上的均勻分布，(1)(1)求求(X,Y)(X,

13、Y)的概率密度；的概率密度；(2)(2)求求PY2X PY0, 20, | |0, 則稱(chēng)則稱(chēng)同理，同理，對(duì)固定的對(duì)固定的i, pi. 0, 稱(chēng)稱(chēng),.2 , 1,|.|jppxXyYPPiijijij為為X xi的條件下，的條件下，Y的條件分布律的條件分布律;XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000. 1iXP jYP :),(.,.2,3.,具有分布律據(jù)積累的資料知得不良的數(shù)目表示焊點(diǎn)

14、焊接以數(shù)目表示螺栓緊固得不良的以處焊點(diǎn)其二是焊接只螺栓其一是緊固人完成的由機(jī)器一輛汽車(chē)有兩道工序是在一汽車(chē)工廠中YXYX例例1.,0)2(;,1)1(的條件分布律的條件分布律的條件下的條件下求在求在的條件分布律的條件分布律的條件下的條件下求在求在XYYX 解解10, 110 XPYXPXYP,045. 0030. 0 11, 111 XPYXPXYP,045. 0010. 0 12, 112 XPYXPXYP,045. 0005. 0 由上述分布律的表格可得由上述分布律的表格可得的條件分布律為的條件分布律為的條件下的條件下即在即在YX,1 kY 1 XkYP210919296的條件分布律為的條

15、件分布律為的條件下的條件下同理可得在同理可得在XY,0 kX 0 YkXP32109019029039084例例2 一射手進(jìn)行射擊一射手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為擊中目標(biāo)的概率為p(0p0，極限，極限,lim|lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在，則稱(chēng)此極限為在條件下存在，則稱(chēng)此極限為在條件下X的的條件分布函數(shù)條件分布函數(shù).記作記作|)|(|yYxXPyxFYX可證當(dāng)可證當(dāng) 時(shí)時(shí) 0)(yfy)(),()|(|yfduvufyxFYxYX若記若記 fX|Y(x|y) 為在為在Y=y條件下條件下X的的條件概率密度條件概率密度，則，則當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 0)(yfY)(),()|()|(|yfy

16、xfxyxFyxfYYXYX類(lèi)似定義，當(dāng)類(lèi)似定義，當(dāng) 時(shí)時(shí)0)(xfX)(),()|()|(|xfyxfyxyFxyfXXYXY.)(,yYxXPyxFYX即另一個(gè)隨機(jī)變量的分布的條件下機(jī)變量取某個(gè)確定值條件分布是指在一個(gè)隨答答?)(yxFYX件分布函數(shù)的定義來(lái)直接定義條為什么不能用條件概率請(qǐng)同學(xué)們思考請(qǐng)同學(xué)們思考.,).(會(huì)出現(xiàn)分母為零用條件概率來(lái)定義時(shí)故直接連續(xù)型時(shí)一定為零可能為零由于yYP.,確定的數(shù)取值是作為條件的隨機(jī)變量的在條件分布中因此).(,1),(., 0,),(,1),(),(.,22yxfyxYXGyxAyxfYXAGYX件概率密度求條上服從均勻分布在圓域設(shè)其它具有概率密度

17、變量若二維隨機(jī)其面積為是平面上的有界區(qū)域設(shè)解解的概率密度為的概率密度為由題意知隨機(jī)變量由題意知隨機(jī)變量),(YX , 0, 1,1),(22其它其它yxyxf例例3又知邊緣概率密度為又知邊緣概率密度為 xyxfyfYd),()( ., 0, 11,12d121122其他其他yyxyy有有時(shí)時(shí)于于是是當(dāng)當(dāng),11 y ., 0,11,1211)2(1)(2222其其他他yxyyyyxfYX).(.) 1,(,) 10(,) 1 , 0(yfYxYxxXXY的概率密度求值上隨機(jī)地取在區(qū)間數(shù)時(shí)當(dāng)觀察到上隨機(jī)地取值在區(qū)間設(shè)數(shù)解解具具有有概概率率密密度度由由題題意意知知 X ., 0, 10, 1)(其它其它xxfX),10( xx對(duì)于任意給