向量中的三角形四“心”探究

1、向量中的三角形四“心”探究三角形的四“心”與平面向量有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，對(duì)這兩者進(jìn)行一定的探究，有助于我們更準(zhǔn)確把握向量的本質(zhì)在10年全國(guó)卷里有這樣一道高考題：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（ ）XA圖1.AMOYCPQNBA外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心簡(jiǎn)析：本題通過(guò)考察平面向量中的單位向量與相關(guān)運(yùn)算相關(guān)知識(shí)，來(lái)探究三角形中的四“心”問(wèn)題 取 ， ，則、是單位向量，如圖1，四邊形AMQN是菱形，且AQ是的角平分線 ， 即，點(diǎn)的軌跡就是射線，點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，故選B.這里我們很自然地會(huì)聯(lián)想：滿足條件的點(diǎn)P的軌跡通過(guò)的內(nèi)心，那么能不能構(gòu)

2、造一個(gè)類似的向量式子，使點(diǎn)P的軌跡通過(guò)的外心，重心或垂心？變題1：O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C 是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的 （ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心簡(jiǎn)析：如圖2，取BC邊上的中點(diǎn)D，連接AD.BX.ACDOY.P圖2P，圖2點(diǎn)的軌跡就是射線.點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，故選C.其實(shí)眾所周知，在平面向量中，三角形的重心還有一個(gè)非常重要的結(jié)論：點(diǎn)G為的重心的充要條件是：證明：若點(diǎn)G是的重心，O是任意一點(diǎn)，易得，當(dāng)O與G重合時(shí)得；另一方面，以GC、GB為邊作平行四邊形GBEC，則，A、G、E三點(diǎn)共線，可知G必為的重心應(yīng)用1：（2010年全國(guó)聯(lián)賽）的三邊長(zhǎng)，G為

3、的重心，若滿足，則的形狀是 （ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等邊三角形 D鈍角三角形簡(jiǎn)析：G為重心，則有代入，得，故，所以應(yīng)選C應(yīng)用2：（2010年全國(guó)聯(lián)賽） 設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則 的面積與的面積比為（ ）A2 B C3 DBOCFE圖3簡(jiǎn)析：如圖3，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使， 由題意知，可知O是的重心有，而同理得，所以，故有，所以選C.變題2：O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C 是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的 （ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心Y圖4B.ACXOP.簡(jiǎn)析：在式子的兩邊點(diǎn)乘，=0， （如圖4） 點(diǎn)的軌跡過(guò)點(diǎn)A且垂直于邊BC，點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心，故

4、選D.變題3：O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C 是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的 （ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心圖5P.BACDXOY.簡(jiǎn)析：如圖5，取BC邊上的中點(diǎn)D，如圖4所以式子可化簡(jiǎn)成在式子的兩邊點(diǎn)乘， = 0 ， 點(diǎn)的軌跡過(guò)邊BC的中點(diǎn)D且垂直于邊BC點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的外心，故選A.通過(guò)前面幾個(gè)變題的探究，我們看到了平面向量與三角形四“心”的內(nèi)在聯(lián)系，當(dāng)然三角形四“心”在向量中的表現(xiàn)形式不是唯一的，我們?cè)賮?lái)欣賞其它的向量等式：1已知O是所在平面上的一點(diǎn)，若有，則O是 的內(nèi)心簡(jiǎn)證：，所以題中可變?yōu)椋?，可知，與共線，即：是的角平分線，同理可得：分別為的角平分線，所以O(shè)是的內(nèi)心2已知O是所在平面上的一點(diǎn)，若有，則O是的內(nèi)心簡(jiǎn)證：由題知，所以點(diǎn)O是的三條角平分線的交點(diǎn)，即O是的內(nèi)心3設(shè)O為所在平面上的一點(diǎn)，若 ，則點(diǎn)O為的垂心 簡(jiǎn)證：由題得，即，同理可證、，所以O(shè)為的垂心4設(shè)外心為O，若點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M為垂心簡(jiǎn)證：， 而，故，所以有，同理，所以點(diǎn)M為垂心.5設(shè)O為所在平面上的一點(diǎn)，若，點(diǎn)O為的外心 簡(jiǎn)證：由題可得所以：，故，可得點(diǎn)O為的外心向量的內(nèi)涵是十分豐富的，本文從向量這個(gè)角度對(duì)三角形的四“心”進(jìn)行一定的總結(jié)歸納，使我們對(duì)三角形的四“心”在向量中的表現(xiàn)形式有了進(jìn)一步的