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文檔簡介
1、向量中的三角形四“心”探究三角形的四“心”與平面向量有著千絲萬縷的關(guān)系,對這兩者進行一定的探究,有助于我們更準(zhǔn)確把握向量的本質(zhì)在10年全國卷里有這樣一道高考題:O是平面上一定點,A、B、C是平面上不共線的三點,動點P滿足 ,則P點的軌跡一定通過的( )XA圖1.AMOYCPQNBA外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心簡析:本題通過考察平面向量中的單位向量與相關(guān)運算相關(guān)知識,來探究三角形中的四“心”問題 取 , ,則、是單位向量,如圖1,四邊形AMQN是菱形,且AQ是的角平分線 , 即,點的軌跡就是射線,點的軌跡一定通過的內(nèi)心,故選B.這里我們很自然地會聯(lián)想:滿足條件的點P的軌跡通過的內(nèi)心,那么能不能構(gòu)
2、造一個類似的向量式子,使點P的軌跡通過的外心,重心或垂心?變題1:O是平面上一定點,A,B,C 是平面上不共線的三點,動點P滿足 ,則P點的軌跡一定通過的 ( )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心簡析:如圖2,取BC邊上的中點D,連接AD.BX.ACDOY.P圖2P,圖2點的軌跡就是射線.點的軌跡一定通過的重心,故選C.其實眾所周知,在平面向量中,三角形的重心還有一個非常重要的結(jié)論:點G為的重心的充要條件是:證明:若點G是的重心,O是任意一點,易得,當(dāng)O與G重合時得;另一方面,以GC、GB為邊作平行四邊形GBEC,則,A、G、E三點共線,可知G必為的重心應(yīng)用1:(2010年全國聯(lián)賽)的三邊長,G為
3、的重心,若滿足,則的形狀是 ( )A直角三角形 B等腰三角形 C等邊三角形 D鈍角三角形簡析:G為重心,則有代入,得,故,所以應(yīng)選C應(yīng)用2:(2010年全國聯(lián)賽) 設(shè)O點在內(nèi)部,且有,則 的面積與的面積比為( )A2 B C3 DBOCFE圖3簡析:如圖3,延長至,使;延長至,使, 由題意知,可知O是的重心有,而同理得,所以,故有,所以選C.變題2:O是平面上一定點,A,B,C 是平面上不共線的三點,動點P滿足 ,則P點的軌跡一定通過的 ( )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心Y圖4B.ACXOP.簡析:在式子的兩邊點乘,=0, (如圖4) 點的軌跡過點A且垂直于邊BC,點的軌跡一定通過的垂心,故
4、選D.變題3:O是平面上一定點,A,B,C 是平面上不共線的三點,動點P滿足 ,則P點的軌跡一定通過的 ( )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心圖5P.BACDXOY.簡析:如圖5,取BC邊上的中點D,如圖4所以式子可化簡成在式子的兩邊點乘, = 0 , 點的軌跡過邊BC的中點D且垂直于邊BC點的軌跡一定通過的外心,故選A.通過前面幾個變題的探究,我們看到了平面向量與三角形四“心”的內(nèi)在聯(lián)系,當(dāng)然三角形四“心”在向量中的表現(xiàn)形式不是唯一的,我們再來欣賞其它的向量等式:1已知O是所在平面上的一點,若有,則O是 的內(nèi)心簡證:,所以題中可變?yōu)椋?,可知,與共線,即:是的角平分線,同理可得:分別為的角平分線,所以O(shè)是的內(nèi)心2已知O是所在平面上的一點,若有,則O是的內(nèi)心簡證:由題知,所以點O是的三條角平分線的交點,即O是的內(nèi)心3設(shè)O為所在平面上的一點,若 ,則點O為的垂心 簡證:由題得,即,同理可證、,所以O(shè)為的垂心4設(shè)外心為O,若點M滿足,則點M為垂心簡證:, 而,故,所以有,同理,所以點M為垂心.5設(shè)O為所在平面上的一點,若,點O為的外心 簡證:由題可得所以:,故,可得點O為的外心向量的內(nèi)涵是十分豐富的,本文從向量這個角度對三角形的四“心”進行一定的總結(jié)歸納,使我們對三角形的四“心”在向量中的表現(xiàn)形式有了進一步的
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