含參量反常積分的一致收斂發(fā)判別法及推廣

1、 安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文 含參量反常積分的一致收斂判別法及推廣作者：蔣碧希 指導(dǎo)老師：張海摘要 本文主要介紹了含參量反常積分（含參量無窮限反常積分、含參量瑕積分）的基本概念、性質(zhì).然后參照無窮限反常積分的方法建立了相應(yīng)的含參量瑕積分的一致收斂性.最后結(jié)合例題說明其在解題中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 含參量無窮限反常積分 含參量瑕積分 一致收斂1 引言 對于含參量無窮限反常積分的基本概念、性質(zhì)、一致收斂性判別法大部分教材都有詳細論述.而忽視了含參量瑕積分的一致收斂性的判定,其實兩者之間是同中有異的.本文主要參照無窮限反常積分的方法建立相應(yīng)的含參量瑕積分的一致收斂判別法，并探究其在解

2、題中的應(yīng)用.2 含參量無窮限反常積分的一致收斂判別法2.1 含參量無窮限反常積分的定義設(shè)函數(shù)定義在無界區(qū)域上，若對每一個固定的，反常積分 都收斂，則它的值是在上取值的函數(shù)，當(dāng)這個函數(shù)為時，則有 稱式為定義在上的含參量的無窮限反常積分，或簡稱含參量反常積分.2.2 含參量反常積分的一致收斂概念若含參量反常積分與對任給的正數(shù)，總存在某一實數(shù)，使得當(dāng)時，對一切，都有 ,即 ，則稱含參量反常積分在一致收斂于，或簡單地說含參量積分在上一致收斂.2.3含參量無窮限反常積分一致收斂的柯西準則含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是：對任給的正數(shù)，總存在某一實數(shù)，使得當(dāng)時，對一切，都有 , 證明 （必要性） 由

3、于含參量反常積分在上一致收斂，則 對,時，使得時，有,且由 可知：，當(dāng)時，有.（充分性) 因為，總存在某一實數(shù)，使得時，對一切 ，都有, 當(dāng)時，有 成立.故在上是一致收斂的.又因為,其中是含參量正常積分，故一致收斂. 所以 在上是一致收斂的.2.4 含參量無窮限反常積分一致收斂性與函數(shù)項級數(shù)一致收斂的聯(lián)系定理2.4.1 含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是：對任一趨于的遞增數(shù)列（其中），函數(shù)項級數(shù) 在上一致收斂. 證明 (必要性）由在上一致收斂，故對任給，必存在，使當(dāng)時，對一切，總有 . 又由，所以對正數(shù),存在正整數(shù),只要當(dāng)時，就有.由對一切，就有 .這就證明了級數(shù)在上一致收斂. (充分性)

4、 用反證法.假若在上不一致收斂，則存在某個正數(shù)，使得對于任何實數(shù)，存在相應(yīng)的和，使得,現(xiàn)取，則存在及，使得一般的，取，則有及，使得 由上述所得到的數(shù)列是遞增數(shù)列，且.現(xiàn)在考察級數(shù)由式知存在正數(shù)，對任何正整數(shù),只要,就有某個，使得這與級數(shù)在上一致收斂的假設(shè)矛盾.故含參量反常積分在上一致收斂2.5 含參量無窮限反常積分的一致收斂性判別法定理 2.5.1 （維爾斯特拉斯判別法）設(shè)有函數(shù)，使得若收斂，則在上一致收斂.定理 2.5.2 （狄利克雷判別法）設(shè) 對一切實數(shù)，含參量正常積分對參量在上一致有界，即存在正數(shù),對一切及一切，都有 對每一個，函數(shù)關(guān)于是單調(diào)遞減且當(dāng)時，對參量一致的收斂于，則含參量反常積

5、分在上一致收斂.定理 2.5.3 （阿貝爾判別法） 設(shè) 在上一致收斂； 對每一個，函數(shù)為的單調(diào)函數(shù)，且對參量在上一致有界，則含參量反常積分在上一致收斂.2.6 含參量無窮限反常積分的性質(zhì)定理2.6.1 （連續(xù)性） 設(shè)在上連續(xù)，若反常積分 在上一致收斂，則在上連續(xù).證明 由定理2.4.1，對任意遞增且趨于的數(shù)列，函數(shù)項級數(shù) 在上一致收斂.又由于在上連續(xù)，故每個都在上連續(xù).根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性定理，函數(shù)在上連續(xù).定理2.6.2 （可微性） 設(shè) 與在區(qū)域上連續(xù)，若在上收斂，在上一致收斂，則在上可微，且 證明 對任一遞增且趨于的數(shù)列，令則由在上一致收斂及定理1，可得函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂，因此根據(jù)函

6、數(shù)項級數(shù)的逐項求導(dǎo)定理，即得定理2.6.3 （可積性） 設(shè)在上連續(xù)，若在上一致收斂，則在上可積，且證明 由定理2.6.1知道在上連續(xù)，從而在上可積.又由定理2.6.1的證明中可以看到，函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂，且各項在上連續(xù)，因此根據(jù)函數(shù)項級數(shù)逐項求積定理，有 (10)這里最后一步是根據(jù)關(guān)于積分順序的可交換性定理.(10)式又可寫作定理2.6.4設(shè)在上連續(xù)，若 (1)關(guān)于在任何閉區(qū)間上一致收斂，關(guān)于在任何閉區(qū)間上一致收斂； (2)積分與中有一個收斂， 則3 含參量瑕積分一致收斂判別法3.1 含參量瑕積分的定義設(shè)在區(qū)域上有定義，若對的某些值，為函數(shù)的瑕點（以下的含參量瑕積分未加說明都同此）則稱 (

7、11) 為含參量的瑕積分.3.2 含參量瑕積分一致收斂定義對任給的正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當(dāng)時，對一切，都有則稱含參量瑕積分(11)在上一致收斂.3.3 含參量瑕積分一致收斂性的判別法定理3.3.1（柯西收斂準則） 含參量瑕積分 在上一致收斂的充要條件是：對任給正數(shù)，存在不依賴于的，使得當(dāng)時，對一切，都有 (12)證明 (必要性）由(11)在上一致收斂，故對任給的，存在，使得時，有 與同時成立，則有 （充分性）由所給條件知：對任給正數(shù)，存在不依賴于的，使得當(dāng)時，對一切，都有成立.令，則有成立.由定義知：含參量瑕積分在上一致收斂.定理3.3.2 （魏爾斯特拉斯判別法）設(shè)有函數(shù)，使得 (13)若收

8、斂，則含參量瑕積分在上一致收斂.證明 因為收斂，所以由瑕積分的柯西收斂原理知：對于任給的，存在，對于任意的，且，有 又由可得 故由定理3.3.1知：含參量瑕積分在上一致收斂.定理3.3.3 （海涅歸結(jié)原則） 含參量瑕積分在上一致收斂的充要條件是：對任意遞增數(shù)列時，相應(yīng)的函數(shù)項級數(shù) 在上一致收斂.證明 （必要性）因為在上一致收斂，由定理5知：對任給的，必存在，當(dāng)時，對一切，總有 成立.令，由且遞增，則且遞減.由數(shù)列極限定義，對上述，存在正整數(shù)，只要時，就有，于是 根據(jù)函數(shù)項級數(shù)柯西一致收斂準則，函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.（充分性） 用反證法，假設(shè)在上非一致收斂，則存在某一正數(shù)，使得，存在相應(yīng)的和，

9、有現(xiàn)取，則存在及，使得 一般的取，則有及，使得 令，則是遞增數(shù)列，且有.考察級數(shù) 由式知存在正數(shù)，對任意正整數(shù)，只要就有某個，使這與函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂的條件矛盾，故在上一致收斂.定理3.3.4（狄利克雷判別法）若含參量瑕積分滿足： 對一切，含參量正常積分對參量在上一有界，即存在正數(shù)，對任何及一切，有 對每一個，函數(shù)關(guān)于單調(diào)且當(dāng)時，對參量一致收斂于.則含參量瑕積分在上一致收斂.定理3.3.5 （阿貝爾判別法） 若含參量瑕積分滿足： 含參量瑕積分在上一致收斂； 對每一個，函數(shù)為的單調(diào)函數(shù)，且對參量在上一致有界，則含參量瑕積分在上一致收斂.定理3.3.6 設(shè)在上連續(xù)，對任何收斂，且發(fā)散，則在上不

10、一致收斂.證明 用反證法.若在上一致收斂，由柯西收斂準則：對任給的，存在，當(dāng)時，對一切有根據(jù)假設(shè)在上連續(xù)，對含參量正常積分應(yīng)用連續(xù)性定理，令，有這與假設(shè)含參量瑕積分發(fā)散矛盾.故 在上不一致收斂. 典型例題例4.1 證明含參量反常積分 在上一致收斂.證明 由于對任何實數(shù)有，及反常積分收斂，故由魏爾斯特拉斯判別法，含參量反常積分在上一致收斂.例4.2 證明含參量反常積分 在上一致收斂.證明 由于反常積分收斂（當(dāng)然，對于參量，它在上一致收斂），函數(shù)對每個單調(diào)，且對任何都有故由阿貝爾判別法即得含參量反常積分在上一致收斂.例4.3 證明含參量瑕積分在上一致收斂.證明 因為所以對于含參量瑕積分，由于 故對

11、于任給的，取，當(dāng)時，即有因此，對于它是一致收斂的.對于積分由于故對于任給的，取，當(dāng)時，即有因此，對于它是一致收斂的.于是積分對于一致收斂.例4.4 證明含參量瑕積分在上一致收斂.證明 由條件可知 而收斂.所以由魏爾斯特拉斯判別法知：在上一致收斂.例4.5 證明含參量瑕積分在一致收斂.證明 由于收斂（當(dāng)然，對于參量，它在上一致收斂）.函數(shù)，對每個單調(diào)，且對任何，都有，故由阿貝爾判別法知在上一致收斂.結(jié)束語本文首先介紹了含參量無窮限積分的定義,性質(zhì)及其一致收斂性判別定理.然后參照含參量無窮限反常積分的方法建立了含參量瑕積分的一致收斂性判別定理.最后結(jié)合典型例題說明這些定理在實際解題中的運用.參考文

12、獻1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編,數(shù)學(xué)分析M,北京高等教育出版社,2001.2 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編,數(shù)學(xué)分析M,北京高等教育出版社,19853 錢吉林等主編,數(shù)學(xué)分析習(xí)題解精粹M,上海崇文書局，20034 吉米多維奇數(shù)學(xué)習(xí)題集M,北京人民教育出版社,19785 裴禮文,數(shù)學(xué)分析中典型問題與方法M,北京高等教育出版社,1993.6 Tom M. Apostol,Mathematical Analyses M, Beijing China Machine Press, 2004.Uniform Convergence Criteria and Extention of the Parameter Impr

13、oper IntegralAuthor:Jiang Bixi Supervisor: Zhang HaiAbstract In this paper,we mainly show the concepts and properties of the parameter improper integral,which contains the improper integral with parameters and the flaw integral with parameters .On the basis of improper integral with parameters,we develop the corresponding uniform convergence of the flaw integral w