2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第1講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

1、第 1 講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)一、知識(shí)梳理1任意角的概念(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形(2)角的分類按旋轉(zhuǎn)方向正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角零角射線沒有旋轉(zhuǎn)按終邊位置前提：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合象限角角的終邊在第幾象限，這個(gè)角就是第幾象限角其他角的終邊落在坐標(biāo)軸上(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合 s|k360，kz2弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做 1 弧度的角，弧度記作 rad.(2)公式角的弧度數(shù)公式|lr角度與弧度的換算

2、1180rad，1 rad1805718弧長(zhǎng)公式l|r扇形面積公式s12lr12|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn) p(x，y)，那么y 叫做的正弦， 記作 sinx 叫做的余弦，記作cos yx叫做的正切，記作tan 各象限符號(hào)正正正正負(fù)負(fù)負(fù)負(fù)正負(fù)正負(fù)口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦常用結(jié)論1象限角2軸線角3三角函數(shù)定義的推廣設(shè)點(diǎn) p(x，y)是角終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r|op|，則 sin yr，cos xr，tanyx.二、教材衍化1角225_弧度，這個(gè)角在第_象限答案：54二2設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn) p(4，3)，那么 2cos

3、 sin _答案：1153一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為_弧度答案：3一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角()(2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn) p 的位置無關(guān)()(3)不相等的角終邊一定不相同()(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等()(5)若0，2 ，則 tan sin .()(6)若為第一象限角，則 sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易錯(cuò)糾偏常見誤區(qū)|(1)終邊相同的角理解出錯(cuò)；(2)三角函數(shù)符號(hào)記憶不準(zhǔn)；(3)求三角函數(shù)值不考慮終邊所在象限1下列與94的終邊相同的角的表達(dá)式中

4、正確的是()a2k45(kz)bk36094(kz)ck360315(kz)dk54(kz)解析：選 c由定義知終邊相同的角的表達(dá)式中不能同時(shí)出現(xiàn)角度和弧度，應(yīng)為42k或 k36045(kz).2若 sin 0，且 tan 0，則是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析：選 c由 sin 0 知的終邊在第三、第四象限或 y 軸的非正半軸上；由 tan 0 知的終邊在第一或第三象限，故是第三象限角故選 c3已知角的終邊在直線 yx 上，且 cos 0，則 tan _解析：如圖，由題意知，角的終邊在第二象限，在其上任取一點(diǎn) p(x，y)，則 yx，由三角函數(shù)的定義得 tan yx

5、xx1.答案：1考點(diǎn)一任意角與弧度制(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象角度一象限角及終邊相同的角1給出下列四個(gè)命題：34是第二象限角；43是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正確命題的個(gè)數(shù)為()a1b2c3d4解析：選 c34是第三象限角，故錯(cuò)誤；433，所以43是第三象限角，故正確；40036040，所以400是第四象限角，故正確；31536045，所以315是第一象限角，故正確，故選 c2若角是第二象限角，則2是()a第一象限角b第二象限角c第一或第三象限角d第二或第四象限角解析：選 c因?yàn)槭堑诙笙藿牵?2k2k

6、，kz，所以4k22k，kz.當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)，2是第一象限角；當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí)，2是第三象限角所以2是第一或第三象限角3集合 |k4k2，kz中的角所表示的范圍(陰影部分)是()解析：選 c當(dāng) k2n(nz)時(shí)，2n42n2，此時(shí)表示的范圍與42表示的范圍一樣；當(dāng) k2n1(nz)時(shí)，2n42n2，此時(shí)表示的范圍與42表示的范圍一樣，故選 c4在7200范圍內(nèi)所有與 45終邊相同的角為_解析：所有與 45終邊相同的角可表示為：45k360(kz)，則令72045k3600(kz)，得765k36045(kz)，解得765360k45360(kz)，從而 k2 和 k1，代入得675和315.

7、答案：675和3155終邊在直線 y 3x 上，且在2，2)內(nèi)的角的集合為_解析：如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線 y 3x，可以發(fā)現(xiàn)它與 x 軸的夾角是3，在0，2)內(nèi)，終邊在直線 y 3x 上的角有兩個(gè)：3，43；在2，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：23，53，故滿足條件的角構(gòu)成的集合為53，23，3，43 .答案：53，23，3，43(1)表示區(qū)間角的三個(gè)步驟先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的360360范圍內(nèi)的角和， 寫出最簡(jiǎn)區(qū)間；起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角，再加上 360的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合(2)象限角的兩種判斷方法圖象法： 在平面直角坐標(biāo)系中， 作出已

8、知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為 k360(0360，kz)的形式，即找出與已知角終邊相同的角，再由角的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角提醒注意“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用，如角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180可得角180的終邊，類推可知k180(kz)表示終邊落在角的終邊所在直線上的角角度二扇形的弧長(zhǎng)及面積公式已知扇形的圓心角是 ，半徑為 r，弧長(zhǎng)為 l.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧長(zhǎng) l；(2)若扇形的周長(zhǎng)為 20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？【解】(1)603，l103103(cm)(2)由已知得，l2r20，則 l20

9、2r，0r0，cos tan 0，得的終邊落在第一或第三象限，由 cos tan cos sin cos sin 0，得的終邊落在第三或第四象限，綜上的終邊落在第三象限故選 c【答案】c三角函數(shù)值的符號(hào)及角的位置的判斷已知一角的三角函數(shù)值(sin ，cos ，tan )中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況1(2020江西九江一模)若 sin x0，則角 x 是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析：選 d因?yàn)?cos x1，且 sin(cos x)0，所以 0cos x1，又 sin x0，所以角 x 為

10、第四象限角，故選 d2點(diǎn) p 從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)23弧長(zhǎng)到達(dá) q 點(diǎn)，則 q 點(diǎn)的坐標(biāo)為()a12，32b32，12c12，32d32，12解析：選 a由三角函數(shù)定義可知 q 點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足 xcos2312，ysin2332.所以 q 點(diǎn)的坐標(biāo)為12，32 .3若角的終邊落在直線 yx 上，則sin |cos |sin |cos _解析：因?yàn)榻堑慕K邊落在直線 yx 上，所以角的終邊位于第二或第四象限當(dāng)角的終邊位于第二象限時(shí)，sin |cos |sin |cos sin cos sin cos 0；當(dāng)角的終邊位于第四象限時(shí)，sin |cos |sin |cos s

11、in cos sin cos 0.所以sin |cos |sin |cos 0.答案：0基礎(chǔ)題組練1(多選)下列與角23的終邊相同的角是()a143b2k23(kz)c2k23(kz)d(2k1)23(kz)解析：選 ac與角23的終邊相同的角為 2k23(kz)，k2 時(shí)，423143.2已知點(diǎn) p(tan ，cos )在第三象限，則角的終邊在()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限解析：選 b由題意知 tan 0，cos 0，根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律可知，角的終邊在第二象限故選 b3若角的終邊在直線 yx 上，則角的取值集合為()a|k36045，kzb|k234，kzc|k18034

12、，kzd|k4，kz解析：選 d由圖知，角的取值集合為|2n34，nz|2n4，nz|(2n1)4，nz|2n4，nz|k4，kz4已知角的始邊與 x 軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角終邊上的一點(diǎn) p 到原點(diǎn)的距離為 2，若4，則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為()a(1， 2)b( 2，1)c( 2， 2)d(1，1)解析：選 d設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為(x，y)，則由三角函數(shù)的定義得sin4y2，cos4x2，即x 2cos41，y 2sin41.故點(diǎn) p 的坐標(biāo)為(1，1)5已知點(diǎn) p(sin xcos x，3)在第三象限，則 x 的可能區(qū)間是()a2，b4，34c2，2d34，4解析：選 d由點(diǎn) p(si

13、n xcos x，3)在第三象限，可得 sin xcos x0，即 sin xcos x，所以342kx42k，kz.當(dāng) k0 時(shí)，x 所在的一個(gè)區(qū)間是34，4 .6已知是第二象限角，p(x， 5)為其終邊上一點(diǎn)，且 cos 24x，則 x_解析：因?yàn)?cos xx2524x，所以 x0 或 x 3或 x 3，又是第二象限角，所以 x 3.答案： 37若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是_解析：設(shè)圓半徑為 r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為 2r，所以正方形邊長(zhǎng)為2r，所以圓心角的弧度數(shù)是2rr 2.答案： 28已知點(diǎn) p(sin ，cos )是角終邊上的一點(diǎn)，其中23，則與角

14、終邊相同的最小正角為_解析：因?yàn)?3，故 p32，12 ，故為第四象限角且 cos 32，所以2k116，kz，所以與角終邊相同的最小正角為116.答案：1169已知1|sin |1sin ，且 lg(cos )有意義(1)試判斷角所在的象限；(2)若角的終邊上一點(diǎn) m35，m，且|om|1(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))，求 m 的值及 sin 的值解：(1)由1|sin |1sin ，得 sin 0，所以是第四象限角(2)因?yàn)閨om|1，所以352m21，解得 m45.又為第四象限角，故 m0，從而 m45，sin yrm|om|45145.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，角的始邊與 x 軸的

15、非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于 a 點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于 x 軸上方一點(diǎn) b，始邊不動(dòng)，終邊在運(yùn)動(dòng)(1)若點(diǎn) b 的橫坐標(biāo)為45，求 tan 的值；(2)若aob 為等邊三角形，寫出與角終邊相同的角的集合解：(1)由題意可得 b45，35 ，根據(jù)三角函數(shù)的定義得 tan yx34.(2)若aob 為等邊三角形，則aob3，故與角終邊相同的角的集合為|32k，kz.綜合題組練1 (2020河北唐山第二次模擬)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn) a(2sin ，3)(sin 0)，則 cos ()a12b12c32d32解析：選 a由三角函數(shù)定義得 tan 32

16、sin ，即sin cos 32sin ，得 3cos 2sin22(1cos2)，解得 cos 12或 cos 2(舍去)故選 a2(2018高考北京卷)在平面直角坐標(biāo)系中， ab， cd， ef，gh是圓 x2y21 上的四段弧(如圖)，點(diǎn) p 在其中一段上，角以 ox 為始邊，op 為終邊若 tan cos sin ，則 p 所在的圓弧是()aabbcdcefdgh解析：選 c設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為(x，y)，利用三角函數(shù)的定義可得yxxy，所以 x0，所以 p 所在的圓弧是ef，故選 c3(創(chuàng)新型)已知圓 o 與直線 l 相切于點(diǎn) a，點(diǎn) p，q 同時(shí)從 a 點(diǎn)出發(fā)，p 沿著直線 l 向右

17、運(yùn)動(dòng)，q 沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng) q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) a 時(shí)，點(diǎn) p 也停止運(yùn)動(dòng)，連接 oq，op(如圖)，則陰影部分面積 s1，s2的大小關(guān)系是_解析：設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為 m，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，圓 o 的半徑為 r，則aqaptm，根據(jù)切線的性質(zhì)知 oaap，所以 s112tmrs扇形aob，s212tmrs扇形aob，所以 s1s2恒成立答案：s1s24(創(chuàng)新型)(2020四川樂山、峨眉山二模)九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中方田章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積12(弦矢矢2)，弧田由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧對(duì)弦長(zhǎng)， “矢”指半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之

18、差現(xiàn)有圓心角為23，半徑長(zhǎng)為 4 的弧田(如圖所示)，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為_解析：由題意可得aob23，oa4.在 rtaod 中，易得aod3，dao6，od12oa1242，可得矢422.由 adaosin34322 3，可得弦 ab2ad4 3.所以弧田面積12(弦矢矢2)12(4 3222)4 32.答案：4 325若角的終邊過點(diǎn) p(4a，3a)(a0)(1)求 sin cos 的值；(2)試判斷 cos(sin )sin(cos )的符號(hào)解：(1)因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn) p(4a，3a)(a0)，所以 x4a，y3a，r5|a|，當(dāng) a0 時(shí)，r5a，sin cos 15.當(dāng) a0 時(shí)，r5a，sin cos 15.(2)當(dāng) a0 時(shí)，sin 350，2 ，cos 452，0，則 cos(sin )sin(cos )cos35sin45 0；當(dāng) a0 時(shí)，sin 352，0，cos 450，2 ，則 cos(sin )sin(cos )cos35 sin450.綜上，當(dāng) a0