第二章_自動控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第二章第二章_自動自動(zdng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第一頁，共65頁。控制(kngzh)單元執(zhí)行(zhxng)單元控制(kngzh)對象測量單元p(t)q(t)y(t)b(t)r(t)e(t)+-f(t)y(t)=F(r(t),f(t) 為研究系統(tǒng)輸出為研究系統(tǒng)輸出y(t)隨時間變化的規(guī)律隨時間變化的規(guī)律，以及系統(tǒng)的特性，必須研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模，以及系統(tǒng)的特性，必須研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。型。STEND第1頁/共65頁第二頁，共65頁。 任何一個物理系統(tǒng)都可以用一個微分方程進行描述(mio sh)，控制系統(tǒng)也不例外。例如：RCUi(t)UO(t)）（）（t)(iooUtUdtt

2、dURC解解ST第2頁/共65頁第三頁，共65頁。RCUi(t)UO(t)RCTeUtUTtio）（）（/1t)(ST當Uo(0)=0時，）（）（t)(iooUtUdttdURC第3頁/共65頁第四頁，共65頁。一般(ybn)地，對于線性定常系統(tǒng)，可描述為：x(t)x(t)b b + + + dtdtx(t)x(t)d d b b+ + dtdtx(t)x(t)d d b b= = y(t)y(t)a a+ + + dtdty(t)y(t)d d a a+ + dtdty(t)y(t)d d a a 0 01 1- -m m1 1- -m m1 1- -m mm mm mm m0 01 1-

3、-n n1 1- -n n1 1- -n nn nn nn nSTEND第4頁/共65頁第五頁，共65頁。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用微分方程表示，但對復(fù)雜的微分方程，其求解過于(guy)困難，甚至無法求解。為此研究系統(tǒng)的復(fù)數(shù)模型，即傳遞函數(shù)。 為把實數(shù)模型轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)模型，必須借助拉氏變換，即 Laplace 變換。ST第5頁/共65頁第六頁，共65頁。 1. Laplace 變換 積分變換的一種，它把復(fù)雜的微分方程(wi fn fn chn)轉(zhuǎn)換為簡單的線性代數(shù)方程。定義為：ST0)()()(dtetfsFtfLst其中，s=+j； F(s)f(t)的象函數(shù)(hnsh)；f(t)F(s)的象原函數(shù)

4、(hnsh)例如：ssedtetsFtLstst1)( 1)()( 1 00第6頁/共65頁第七頁，共65頁。 2. 常用(chn yn)拉氏變換：STssFtf1)(1)(ssFetft1)()(21)()(ssFttf1)()()(sFttf第7頁/共65頁第八頁，共65頁。 3. 拉氏變換(binhun)定理：ST)()()()(2121sFsFtftfL)()(sAFtAfL)()(sFetfLs)()(ssFdttdfL)()(sFsdttfdLnnnssFdttfL)()( 條件(tiojin)：f(0)=0,即初始條件(tiojin)為0 條件(tiojin)：f(0)=f (0

5、)=f (0)= f (n-1)(0)=0)(lim)(lim0tfssFts)(lim)(lim0tfssFts第8頁/共65頁第九頁，共65頁。 4. 拉氏逆變換：ST873513 ) 8)(3)(1()3824()4911()( 831) 8)(3)(1(13310615)(321321232132122243512133106152322sssssscccscccscccscscscssssssFsssss 可通過公式推導(dǎo)，但通常(tngchng)通過查拉氏變換表。如不能直接查到，則應(yīng)先分解為部分分式和。例如：)()(1sFLtfttteeesFLtf831753)()( 第9頁/共6

6、5頁第十頁，共65頁。 5. 傳遞函數(shù)：STRCUi(t)UO(t)）（）（t)(iooUtUdttdURC）（s)()(iooUsUsRCsU 設(shè)Uo(0)=0，則第10頁/共65頁第十一頁，共65頁。ST）（s)()(iooUsUsRCsU)() 1(1s)(sGRCsUsUio）（）（s)()(ioUsGsU 從以上可以看出，只要(zhyo)G(s)一確定，該電路（環(huán)節(jié)、系統(tǒng)）的輸出與輸入之間的關(guān)系便已確定。因此，將G(s)稱為該電路（環(huán)節(jié)、系統(tǒng)）的傳遞函數(shù)。 第11頁/共65頁第十二頁，共65頁。ST傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在初始條件為零的情況(qngkung)下，其輸出量的拉氏變

7、換與輸入量的拉氏變換之比。x(t)x(t)b b + + + dtdtx(t)x(t)d d b b+ + dtdtx(t)x(t)d d b b= = y(t)y(t)a a+ + + dtdty(t)y(t)d d a a+ + dtdty(t)y(t)d d a a 0 01 1- -m m1 1- -m m1 1- -m mm mm mm m0 01 1- -n n1 1- -n n1 1- -n nn nn nn n下面推導(dǎo)一般(ybn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：第12頁/共65頁第十三頁，共65頁。ST01110111s)()(asasasabsbsbsbXsYsGnnnnmmmm）（在初始

8、條件為零的情況下，對兩邊(lingbin)求拉氏變換得：)X(s)X(s)b b + + +s sb b+ +s s(b(b= =)Y(s)Y(s)a a+ +s sa a+ +s s(a(a0 01 1- -m m1 1- -m mm mm m0 01 1- -n n1 1- -n nn nn n 傳遞函數(shù)G(s)在復(fù)數(shù)域表征了在零初始條件下系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系(gun x)。 對于實際的系統(tǒng)，總有nm。即G(s)是復(fù)變量s的有理分式。第13頁/共65頁第十四頁，共65頁。STniimiipszsKXsYsG11)()(s)()(）（將G(s)寫成：其中，X(s)=0稱為系統(tǒng)的特征

9、方程，也即對應(yīng)(duyng)微分方 程的特征方程； pi(i=1n)為X(s)=0的根，稱為G(s)的極點； zi(i=1m)為Y(s)=0的根，稱為G(s)的零點。如果系統(tǒng)特征方程中s的次數(shù)是n，則稱該系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。第14頁/共65頁第十五頁，共65頁。ST傳遞函數(shù)的性質(zhì)：1）分母次數(shù)n分子次數(shù)m，慣性所致；2）an,an-1,a1,a0 ; bm,bm-1,b1,b0取決于系統(tǒng)中各元件的參數(shù)；3）傳遞函數(shù)反映系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)， 與系統(tǒng)存在的物理(wl)形式、輸 入輸出的形式以及初始條件無關(guān)；4）傳遞函數(shù)的零極點若為復(fù)數(shù)，則必為共軛復(fù)數(shù)，成對出現(xiàn)；5）傳遞函數(shù)的拉氏

10、逆變換實際上是系統(tǒng)的理想單位脈沖響應(yīng)（簡 稱脈沖響應(yīng)）；6）傳遞函數(shù)在系統(tǒng)中 起信號的傳遞或轉(zhuǎn)換作用。第15頁/共65頁第十六頁，共65頁。ST 由于傳遞函數(shù)反映的是系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)， 與系統(tǒng)存在的物理形式、輸 入輸出的形式以及初始條件無關(guān)，因此在研究控制系統(tǒng)時往往僅從系統(tǒng)的傳遞函數(shù)入手，而不去關(guān)心系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式。因為，對于控制系統(tǒng)，最重要(zhngyo)的是： （1）系統(tǒng)的動態(tài)過程是否穩(wěn)定，以及穩(wěn)定程度如何；（2）系統(tǒng)是否存在靜態(tài)偏差，以及靜態(tài)偏差的大小；（3）尋找提高穩(wěn)定性和減少靜態(tài)偏差的途徑。傳遞函數(shù)的用途：（1）求系統(tǒng)或環(huán)節(jié)輸出量的表達式；（2）分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、

11、動態(tài)特性和靜態(tài)特性。第16頁/共65頁第十七頁，共65頁。ST 6. 傳遞函數(shù)的方框圖： 將一個環(huán)節(jié)用方框圖表示，并將其傳遞函數(shù)寫在方框中，便得到該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方框圖；若用方框圖描述(mio sh)一個系統(tǒng)，并將系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)用傳遞函數(shù)方框圖表示，則得到該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖。G(s)Xi(s)XO(s)）（s)()(ioXsGsX環(huán)節(jié)(hunji)的傳遞函數(shù)方框圖第17頁/共65頁第十八頁，共65頁。STG1(s)G2(s)G3(s)G4(s)P(s)Q(s)Y(s)B(s)R(s)E(s)+-F(s)控制系統(tǒng)(kn zh x tn)的傳遞函數(shù)方框圖）s ()()(BsRsE）s ()()

12、(1GsEsP第18頁/共65頁第十九頁，共65頁。ST傳遞函數(shù)的方框圖的基本元素：（1）函數(shù)方框：方框中的傳遞函數(shù)表示該環(huán)節(jié)的動態(tài)特性，其輸出等于該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和輸入的乘積。環(huán)節(jié)的輸入會影響環(huán)節(jié)的輸出，但輸出不會影響輸入。（2）信號線：帶箭頭的信號傳遞路線，信號線上標出其攜帶的信號變量。信號傳遞具有單向性。（3）引出點（交叉點，測量點）：信號線的分叉點。同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)(xngzh)方面完全相同。（4）比較點（會合點）：對兩個以上的信號進行代數(shù)運算，其輸出等于各個輸入的代數(shù)和。END第19頁/共65頁第二十頁，共65頁。STs)()()(XsYsGs)()()(XsGsY又設(shè)

13、系統(tǒng)(xtng)的輸入 x(t)=(t)，即X(s)=1)(1)()(sGsGsY對Y(s)求拉氏逆變換得到(d do)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)輸出y(t)。設(shè)系統(tǒng)(xtng)的傳遞函數(shù)為：則系統(tǒng)的輸出則第20頁/共65頁第二十一頁，共65頁。ST11ss)()()(sXsGsY對Y(s)求拉氏逆變換得到系統(tǒng)(xtng)的階躍響應(yīng)輸出y(t)= (t) 。那么(n me)系統(tǒng)的輸出若nm，則在G(s)中至少(zhsho)出現(xiàn)s的一次方項。設(shè)G(s)=s01110111s)()(asasasabsbsbsbXsYsGnnnnmmmm）（假設(shè)對系統(tǒng)輸入一個單位階躍輸入x(t)=1 ，即X(s)=1/s該系統(tǒng)

14、在實際中不存在。第21頁/共65頁第二十二頁，共65頁。STG2(s)G1(s)G3(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xo(s)()()()( )()()()()()(12312323sXsGsGsGsXsGsGsXsGsXio)()()()()()(321sGsGsGsXsXsGio1.串聯(lián)方框(fn kun)的等效變換第22頁/共65頁第二十三頁，共65頁。STG2(s)G1(s)G3(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xo(s)()()()()()(321sGsGsGsXsXsGioG (s)Xi(s)Xo(s)第23頁/共65頁第二十四頁，共65頁。ST)()()()()(21sGs

15、GsXsXsGioG2(s)G1(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xo(s)2.并聯(lián)方框(fn kun)的等效變換G (s)Xi(s)Xo(s)第24頁/共65頁第二十五頁，共65頁。STG1(s)H(s)+)()()()()()()()()(111sXsXsXsHsXsXsGsXsXfiofo3.反饋連接(linji)方框的等效變換X1(s)Xf(s)Xi(s)Xo(s)A第25頁/共65頁第二十六頁，共65頁。STG1(s)H(s)+)()(1)()()()(11sGsHsGsXsXsGioX1(s)Xf(s)Xi(s)Xo(s)AG (s)Xi(s)Xo(s)反饋連接(linji)傳遞

16、函數(shù)也稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)；若在A點斷開，則為開環(huán)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：)()(1sGsH前向通道(tngdo) 反饋通道(tngdo)第26頁/共65頁第二十七頁，共65頁。ST)(1)()()()(11sGsGsXsXsGioG1(s)+Xi(s)G (s)Xi(s)Xo(s)Xo(s)若反饋通道的傳遞函數(shù)H(s)=1，則稱為(chn wi)單位反饋。第27頁/共65頁第二十八頁，共65頁。ST4.引出(yn ch)點的移動相鄰的引出點可以相鄰的引出點可以(ky)前后任意改變次序前后任意改變次序ABBA第28頁/共65頁第二十九頁，共65頁。ST順著信號傳遞的方向跨越(kuyu)環(huán)節(jié))(1sG乘以

17、G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X3(s)X1(s)X2(s)1/G(s)第29頁/共65頁第三十頁，共65頁。STG(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)G(s)X3(s)X1(s)X2(s)逆著信號傳遞的方向跨越(kuyu)環(huán)節(jié)乘以G(s)第30頁/共65頁第三十一頁，共65頁。STX1(s)X2(s)X4(s)5.匯合點的移動(ydng)X3(s)X1(s)X2(s)X4(s)X3(s)ABAB相鄰的匯合點可以前后任意改變相鄰的匯合點可以前后任意改變(gibin)次序次序第31頁/共65頁第三十二頁，共65頁。ST乘以G(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(

18、s)G(s)X3(s)X1(s)X2(s)5.匯合點的移動(ydng)順著信號傳遞的方向(fngxing)跨越環(huán)節(jié)第32頁/共65頁第三十三頁，共65頁。ST乘以G(s)X3(s)X1(s)X2(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)1/G(s)(1sG逆著信號傳遞(chund)的方向跨越環(huán)節(jié)第33頁/共65頁第三十四頁，共65頁。ST相鄰相鄰(xin ln)的引出點和匯合點不可改變次序的引出點和匯合點不可改變次序X1(s)X2(s)ABX1(s)X2(s)AB第34頁/共65頁第三十五頁，共65頁。ST逆著信號逆著信號(xnho)傳遞的方向移動傳遞的方向移動引出引出(yn ch)點點匯合

19、點匯合點順著信號傳遞的方向移動順著信號傳遞的方向移動乘以 G(s)(1sG)(1sG乘以乘以乘以 G(s)引出點和匯合點的移動原則：保持移動前后的信息總量不變。引出點和匯合點的移動原則：保持移動前后的信息總量不變。第35頁/共65頁第三十六頁，共65頁。STG2G3 G1 H1 H2_ Xi(s)Xo(s) _G2G3 G1 H1H2/G1 _ Xi(s)Xo(s)_練習(xí)(linx)1：第36頁/共65頁第三十七頁，共65頁。STG2G3 G1 H1H2/G1 _ Xi(s)Xo(s)_G3H2/G1 _ Xi(s)Xo(s)_G1G21G1G2H1第37頁/共65頁第三十八頁，共65頁。ST

20、_ Xi(s)Xo(s)G1G2G31G1G2H1 G2G3H2G1G2G31G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 Xi(s)Xo(s)第38頁/共65頁第三十九頁，共65頁。STG2(s)G3(s)G1(s)G4(s)G5(s)_+G6(s)_+ X(s)Y(s)練習(xí)(linx)2：第39頁/共65頁第四十頁，共65頁。STG2(s)G3(s)G4(s)G5(s)+_G6(s)X(s)Y(s)練習(xí)(linx)3：第40頁/共65頁第四十一頁，共65頁。ST1.比例環(huán)節(jié)(hunji)：環(huán)節(jié)(hunji)的輸出隨輸入成比例變化 xo(t)=kxi(t)其傳遞函數(shù)為：任何復(fù)雜的控制系統(tǒng)都是由最

21、基本的典型(dinxng)環(huán)節(jié)所組成的。ksXsXsGio)()()(第41頁/共65頁第四十二頁，共65頁。ST（1）彈性元件：位移(wiy)隨外力大小成比例變化，比例系數(shù)取決 于元件的彈性大小。與輸入輸出無關(guān)。片簧片簧金屬膜片金屬膜片波汶管波汶管FFP第42頁/共65頁第四十三頁，共65頁。ST（2）節(jié)流元件：前后壓力(yl)差的大小隨氣流量成比例變化，比 例系數(shù)取決于元件的彈性大小。與輸入輸出 無關(guān)。p (t)=Rq (t)G (s)=P (s)/ Q(s) = R第43頁/共65頁第四十四頁，共65頁。ST（3）噴嘴擋板(dn bn)機構(gòu)：輸出壓力隨噴嘴擋板(dn bn)的開度成比例變

22、化恒節(jié)流恒節(jié)流(ji li)孔孔背背 壓壓 室室噴噴 嘴嘴擋擋 板板噴嘴擋板機構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖噴嘴擋板機構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖氣源輸出第44頁/共65頁第四十五頁，共65頁。ST0.10MPa0.02MPa1022h(um)MPa噴嘴擋板機構(gòu)噴嘴擋板機構(gòu)(jgu)的靜特性的靜特性第45頁/共65頁第四十六頁，共65頁。ST（4）放大器：對輸入(shr)信號成比例放大 輸出輸出(shch)輸入輸入氣氣動動功功率率放放大大器器第46頁/共65頁第四十七頁，共65頁。STIIIIIISP輸入(shr)FP0Pa第47頁/共65頁第四十八頁，共65頁。ST電電動動(din dn)功功率率放放大大器器R1Rfu0ui

23、iiiiffiokuuRRRRuu11第48頁/共65頁第四十九頁，共65頁。ST2.積分環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)的輸出(shch)與輸入對時間的積分成比例。dttxktxio)()(sksG)(若k=1, 則ssG1)(第49頁/共65頁第五十頁，共65頁。STqpdtqcp1cssQsPsG1)()()(dmcdpdpdmc1dtqcdpqcdtdmcdtdp111輸入量為氣體(qt)流量，輸出量為氣容氣壓（1）氣容）氣容第50頁/共65頁第五十一頁，共65頁。STdticu10cssIsUsG1)()()(0Cuoi輸入量為電流(dinli)，輸出量為電容兩端的電壓（2）阻容電路）阻容電路(dinl)

24、第51頁/共65頁第五十二頁，共65頁。STdtRucdticuio111csRsUsUsGi101)()()(輸入量為電壓(diny)，輸出量也為電壓(diny)（3）運放電）運放電(fng din)路路uiC+uoiiR1)(1)(1sUcsRsUio第52頁/共65頁第五十三頁，共65頁。ST)1( )1(1212dtRucRRudticiRuiio)1()()()(1120csRRRsUsUsGi（4）f ig. 2-35uiC+_uoiiR1)()1()(112sUcsRRRsUioR2第53頁/共65頁第五十四頁，共65頁。ST（5）積分）積分(jfn)環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)

25、ssUsUsGi1)()()(0設(shè) ui(t)=1,則Ui(s)=1/s21 11)()()(ssssUsGsUiottuo)(tu(t)第54頁/共65頁第五十五頁，共65頁。ST3. 一階慣性環(huán)節(jié)： 輸入突變時，輸出的變化滯后于輸入的變化，并按一定的規(guī)律(gul)趨近于輸入值。p0piR節(jié)流盲室u0uiRCKRC電路uiRfC-+R1uo運算放大電路第55頁/共65頁第五十六頁，共65頁。STuouiRCKdttictuo)(1)(i)()()(tutiRtuoi)()()(tutudttduRCioo)()()(sUsUsURCsioo1111)()()(TsRCssUsUsGio因分母

26、最高次數(shù)為1，所以為一階慣性(gunxng)環(huán)節(jié)。第56頁/共65頁第五十七頁，共65頁。ST11)()()(TssUsUsGio一階慣性(gunxng)環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)：設(shè) ui(t)=1,則Ui(s)=1/sTssTsTssTssUsGsUio11111 111)()()(Ttoetu/1)(024681000.10.20.30.40.50.60.70.80.91一般系統(tǒng)對單位階躍函數(shù)的響應(yīng)：第57頁/共65頁第五十八頁，共65頁。STuiRfC-+R1uo運算放大電路)()()(1dttduCRtuRtuofoi)()()(1sCsURsURsUofoi111)()()(11CsRRRCsRRsUsUsGfffio第58頁/共65頁第五十九頁，共65頁。ST4. 一階微分環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)的輸出(shch)與輸入的微分成比