第七章二次型

1、第七章 二次型 二次型是型論的內(nèi)容之一，是非線性的.二次型的研究源于解析幾何中對(duì)有心二次曲線和二次曲面方程的化簡.由于實(shí)二次型的討論,可以轉(zhuǎn)化為對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣的討論,所以將它納入線性代數(shù)的內(nèi)容,本章內(nèi)容可以看作矩陣化簡理論一個(gè)方面的應(yīng)用.本章的重點(diǎn)是實(shí)二次型化標(biāo)準(zhǔn)形及正定二次型.7.1 二次型及其矩陣定義1 數(shù)域上的一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式 , (1)稱為上的一個(gè)元二次型.稱二次型的系數(shù).由于,令,其中.即為對(duì)稱矩陣:.那么(1)可表為 , (2)其中.(2)稱為(1)的矩陣表示式,稱為二次型的矩陣. 的秩稱為該二次型的秩.顯然,每一個(gè)元二次型都對(duì)應(yīng)一個(gè)階對(duì)稱矩陣.例1 三元二次型的矩陣.下面我們主要

2、討論實(shí)數(shù)域上的二次型,即對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣進(jìn)行討論.我們的目的是化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角形矩陣.實(shí)對(duì)稱矩陣有如下性質(zhì):性質(zhì)1 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).證 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣,為的特征值,是屬于特征值的特征向量.即有 (3)令為的共軛向量,為的共軛矩陣（由的元素的共軛數(shù)構(gòu)成）.由(3)兩邊取共軛有,即.因,所以. (4)對(duì)(4)兩邊取轉(zhuǎn)置,得. (5)用右乘(5)兩邊,得.于是.由,而,則有0.因此,即,故為實(shí)數(shù).性質(zhì)2 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交.證 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)不同的特征值,是分別屬于的特征向量（實(shí)元列向量）,即有, ,那么.又.于是.而,故,即正交.性質(zhì)3 階實(shí)對(duì)稱矩陣相似于階

3、對(duì)角形矩陣.證 對(duì)采用歸納法.,令.若,已是對(duì)角形矩陣.若,由. (6)(6)式右端為的二次三項(xiàng)式,其判別式0.因而有兩個(gè)不同的特征值,由定理6.3.1的推論,可對(duì)角化.設(shè)對(duì)階實(shí)對(duì)稱矩陣,結(jié)論成立.當(dāng)為階實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),設(shè).由于,也屬于的特征向量,于是可取為單位向量.令為正交矩陣,則有該矩陣仍為對(duì)稱矩陣.而于是其中為階對(duì)稱矩陣.由歸納假設(shè),有()階可逆矩陣,使得令且令,則. (7)實(shí)對(duì)稱矩陣的討論可以放在歐氏空間中進(jìn)行.一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣化對(duì)角形矩陣,先求出的全部特征值(它即為對(duì)角矩陣中的元素)及相應(yīng)的特征向量.將的屬于同一特征值的特征向量正交化,單位化,仍為的屬于該特征值的特征向量.由于屬于不同特

4、征值的特征向量正交,那么,此時(shí)的這個(gè)特征向量均為單位向量,且兩兩正交.以它們?yōu)榱袠?gòu)成(7)式中的,則為正交矩陣.于是有定理7.1.1 是階實(shí)對(duì)稱矩陣,則一定存在階正交矩陣,使得為對(duì)角形矩陣.定義2 設(shè),是數(shù)域上兩個(gè)階矩陣,如果存在上的一個(gè)階可逆矩陣,使得 (8)那么就稱與合同,記為.矩陣的合同關(guān)系具有以下性質(zhì):1°自反性: . 在(8)中取即可.2°對(duì)稱性: 若,則有可逆矩陣,使.于是 .即有.3°傳遞性: 若,則有可逆矩陣,使得, .于是,即有.若,顯然秩()=秩().定理7.1.1說明,任意一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角形矩陣.例2 設(shè)求正交矩陣,使為對(duì)角形.

5、解 A的特征多項(xiàng)式,特征值為:.對(duì)求得齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組分別求得基礎(chǔ)解系: ,.將單位化得:, , .于是 ,而 .習(xí) 題 1.寫出下列實(shí)二次型的矩陣.(1) (2) ;(3) .2.設(shè),求可逆矩陣為對(duì)角形.3.設(shè)是一個(gè)可逆對(duì)稱矩陣.證明,.4.為四階實(shí)對(duì)稱矩陣,秩(),問與合同的對(duì)角形矩陣有哪幾種情況?*5. 設(shè)是歐氏空間的一個(gè)線性變換,若有,則稱是一個(gè)對(duì)稱變換.證明對(duì)稱變換在的任一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是對(duì)稱矩陣.7.2 實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形我們已經(jīng)知道,如果是階實(shí)對(duì)稱矩陣,秩,那么,總存在階可逆矩陣,有 . (1)顯然,與(1)中這個(gè)對(duì)角形矩陣相應(yīng)的二次型只含有變量

6、的平方項(xiàng),即為稱此二次型為與相應(yīng)的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.如何將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,定理7.1.1已經(jīng)給出了一個(gè)方法.事實(shí)上,設(shè)實(shí)二次型.其中 .由定理7.1.1,則有正交矩陣,使得.令那么 . (2)(2)中的全部特征值.的第列為屬于的特征向量正交化、單位化后所得的特征向量.上述這種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法,稱為正交變換法.如果不考慮求正交矩陣,那么,求出實(shí)二次型矩陣的全部特征值后,便可得到該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.在正交變換法中,( 為正交矩陣),稱為坐標(biāo)的正交變換.解析幾何中.就是通過這種坐標(biāo)的正交變換,將有心二次曲線或二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式的.正交變換法中,如果要求出正交矩陣,顯然是比較麻煩的.下面

7、我們再給出兩種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.1.初等變換法設(shè),由可逆,令,為初等矩陣,那么有. (3)又. (4)(3)與 (4)說明,對(duì)施行某一類行初等變換后,同時(shí)施行相應(yīng)的列的初等變換,并且對(duì)單位矩陣施行同樣的列變換,當(dāng)化成對(duì)角矩陣時(shí),那么化為可逆矩陣.綜合(3)、(4),可表成如下形式:,其中為對(duì)角形矩陣.這種化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法稱為初等變換法.例1 用初等變換法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解 的矩陣.所以,而經(jīng)可逆變量替換,. 2.配方法.配方法是將二次型的一些項(xiàng),配成全完平方項(xiàng),逐步通過可逆的變量替換,最后化成只含新變量的平方項(xiàng)的二次型例2 用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解令 ,或,.經(jīng)變量

8、替換,其中, , ,有 .再令 , = , .經(jīng)變量替換 其中, ,有 .令,那么,經(jīng)可逆變量替換有.采用初等變換法或配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,由于變換過程不同,或者選擇配方的變量不一樣,所化得的標(biāo)準(zhǔn)形可能不同,但標(biāo)準(zhǔn)形中,所含變量的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)都是一樣的,這是因?yàn)閮蓚€(gè)相似或合同的矩陣有相同的秩.一個(gè)二次型經(jīng)過變量的替換后,化成一個(gè)含新變量的二次型,那么,稱這兩個(gè)二次型是等價(jià)的.于是可以說,一個(gè)實(shí)二次型與它的標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià).為了避免實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形可能出現(xiàn)的不唯一性,我們需要將它的標(biāo)準(zhǔn)形作進(jìn)一步的規(guī)范.設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣,秩(0,為實(shí)可逆矩陣,且.必要時(shí),交換對(duì)角矩陣中的兩列和兩行(相當(dāng)于對(duì)它右乘以左乘

9、以),因而,總可以假定0; 0, 0.令,則有于是我們得到定理7.2.1任意一個(gè)秩為的實(shí)元二次型,都與如下一個(gè)二次型等價(jià): (5)二次型(5)稱為實(shí)二次型的規(guī)范形.下面我們進(jìn)一步證明(5)中的也是唯一確定的,即有定理7.2.2(慣性定理) 實(shí)二次型的規(guī)范形是唯一的.證 設(shè)實(shí)二次型的秩為，且經(jīng)過可逆變量替換和分別化為和.即經(jīng) ,有 (6)假設(shè),令.那么, 即為 (7)考慮齊次線性方程組: (8)(8)中方程個(gè)數(shù)為 ,因而有非零解:，其中,.將它代入(6)的右端得0,又代入(8)的前個(gè)方程知(7)中有,于是(6)的左端0,矛盾.因而,同法可得,從而.規(guī)范形(5)中的稱實(shí)二次型的正慣性指數(shù),稱為負(fù)慣

10、性指數(shù),稱為二次型的符號(hào)差,記為,即.由慣性定理得,推論 兩個(gè)實(shí)二次型等價(jià),當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和符號(hào)差.習(xí) 題 1.用正交變換法,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.2.分別用初等變換法和配方法,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.3.求下列二次型的秩、正慣性指數(shù)和符號(hào)差.(1)(2)4.將等價(jià)的二次型作為一類,證明,所有的元實(shí)二次型共有個(gè)類.7.3 正定二次型 一個(gè)元實(shí)二次型,實(shí)際上可以看成定義在實(shí)數(shù)域上的一個(gè)元實(shí)函數(shù).用取代,得到一個(gè)唯一確定的實(shí)數(shù),稱該實(shí)數(shù)為在時(shí)的值.定義1 設(shè)有元實(shí)二次型,如果對(duì)于任何一組不全為零的實(shí)數(shù),都有0,那么稱是正定二次型.正定二次型的矩陣稱為正定矩陣(是正定矩陣簡稱A正定).定理7.3.1

11、 元實(shí)二次型正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù).證 若的正慣性指數(shù),則經(jīng)可逆變量替換,可化為規(guī)范形. (1)任取,代入,得線性方程組.由可逆及,可得唯一非零解.令得0.故是正定二次型.反之,若正定,而正慣性指數(shù).1.設(shè)秩,則該二次型經(jīng)可逆變量替換,化為規(guī)范形: (2)取,得.由且可逆,知.令,代入(2),得,與正定矛盾. 2).設(shè)秩,則該二次型經(jīng)可逆變量替換化為規(guī)范形:取.同樣可得而必與正定矛盾.故由定理7.3.1,可得推論1 階實(shí)對(duì)稱矩陣,正定的充分必要條件是的所有特征值都大于零.推論2階實(shí)對(duì)稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是合同于單位矩陣.由推論1,2可知, 是正定矩陣,那么對(duì)應(yīng)的二次型是正

12、定二次型.這樣,對(duì)正定二次型的討論可以轉(zhuǎn)化為對(duì)正定矩陣的討論,下面給出正定矩陣的幾個(gè)性質(zhì).性質(zhì)1 實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充分必要條件是存在可逆的實(shí)矩陣,使得.事實(shí)上,若正定,那么有可逆矩陣,使.于是令,則有.反過來,若,且可逆,那么令,便有,由定理7.3.1的推論2知,A正定.性質(zhì)2 實(shí)對(duì)稱矩陣A正定,則0事實(shí)上,在性質(zhì)1中,對(duì)兩邊取行列式即得.為了直接從來判定是否正定,我們先給出定義2 設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣,由的前行,前列的元構(gòu)成的階子式,稱為的階主子式(或稱階順序主子式).取便得到的所有主子式.定理7.3.2 是階實(shí)對(duì)稱矩陣, 正定的充分必要條件是的所有主子式都大于零.證 設(shè)為k元二次型,其矩陣為.任取代入,有令,則.由正定,有0,因此正定,從而正定,由性質(zhì)2, |0,反之，設(shè).的所有主子式0,.從第二行起,逐步對(duì)的第行,第列施行同樣的第三類初等變換,首先有,其中0,仍為對(duì)稱矩陣(因?yàn)?為第三類初等矩陣).如此下去,最后得. (3)由行列式的性質(zhì)得知0,0,0,因此0,0,.而(3)相當(dāng)于,其中為第三類初等矩陣的乘積,而A對(duì)應(yīng)的二次型經(jīng)可逆變量替換,有的正慣性指數(shù),因而正定,故正定.例1 證明是正定矩陣.證 由于的主子式0,0,0.所以正定.例2 為何值時(shí),二次型是正定二次型.解 的矩陣.的主