二階線性非齊次微分方程

1、1/29第五節(jié)第五節(jié) 二階線性二階線性非齊次非齊次微分方程微分方程一、解的結構定理二、待定系數(shù)法三、小結四、作業(yè)2/29 yxQyxPy)()()(xf(1)0)()( yxQyxPy(2)0ypyqyY易易的的通通解解求求難點難點方法方法待定系數(shù)法待定系數(shù)法y(1)(1)的的通通解解Y(2)(2)的的通通解解*y(1)(1)的的特特解解*?y如如何何求求非非齊齊次次的的特特解解特征方程法特征方程法解的結構定理解的結構定理一、解的結構定理一、解的結構定理3/29( ),xmePx )(xf二階常系數(shù)二階常系數(shù)非齊次非齊次線方程線方程的的類類型型)(xf( )kP xk是是 次次多多項項式式qy

2、yyp 二、待定系數(shù)法二、待定系數(shù)法( )cos( )sinxlneP xxP xx 4/29設非齊方程特解為設非齊方程特解為)(xQy 求導代入原方程求導代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(可可設設是特征方程的單根是特征方程的單根若若 )2( )(xQ可可設設xmexxQy )( xmexQy )( ,xe )(xQm)(xQ )(xQmx)(xQxmexPqyypy )( m0 0 0 (3) 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根 )(xQ可可設設xmexQxy )(2 )(xQm2x0 0 1( )( )xmf

3、 xePx 、型型5/29綜上所述綜上所述,( ),kxmyx eQx k注注)(xPeqyypymx 102上述結論可推廣到上述結論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程微分方程(k是重根次數(shù)是重根次數(shù)).不是根不是根是單根是單根是二重根是二重根二階常系數(shù)線性非齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的一個特解可設為的一個特解可設為6/292331.yyyx求求方方程程的的一一個個特特解解解解特征方程特征方程2230rr特征根特征根1213rr ，0 不不是是特特征征根根， y設設例例(1) 對應對應齊次齊次方程的方程的(2) 求求非齊次非齊次方程的特解方程的特解此題此題(

4、)31( )xmf xxPx e 屬屬于于型型, ,其中其中, 1 m0 )(BAx 0 x?.AxB ( ),kxmyx eQx 012k 不是不是根根是是單根單根是是重根重根7/29代代入入方方程程, ,得得32331,AxABxx比比較較 的的同同次次冪冪的的系系數(shù)數(shù), ,得得33,231,AAB 11,3AB 解解得得故故所所求求特特解解為為*1.3yx 2331yyyx8/29.232的通解的通解求方程求方程xexyyy 解解對應對應齊次齊次方程通解方程通解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根2121 rr，xxeCeCY221 是單根，是單根，2 y設設例例(1) 求對應求對

5、應齊次齊次方程的通解方程的通解(2) 求求非齊次非齊次方程的特解方程的特解此題此題.)()(2型型屬屬于于xmxexPxexf 其中其中, 1 m2 )(BAx 1xxe2?9/29代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BA21(1),2xyxxe 于于是是原方程通解為原方程通解為 xxeCeC221.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy xeBAxxy2)( yyy,將將 yYy21(1).2xxxe 對應對應齊次齊次方程通解方程通解xxeCeCY221 10/29,223)(xeyyyxyy 滿足微分方程滿足微分方程設函數(shù)設函數(shù)在在處的切線與曲線處的切線與曲線其圖形在點其

6、圖形在點1)1 , 0(2 xxy,該該點點處處的的切切線線重重合合.的的解解析析表表達達式式求求函函數(shù)數(shù)y解解對應對應齊次齊次方程通解方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rrxxeCeCY221 (1) 求對應求對應齊次齊次方程的通解方程的通解此題此題( )2( ),xxmf xePx e 屬屬于于型型)1, 0( m例例二階常系數(shù)線性非齊次方程二階常系數(shù)線性非齊次方程11/29)1(是是單單根根 y設設(2) 求非齊次方程的特解求非齊次方程的特解Axex12 A所以所以xxey2 xxeCeCy221 (3) 求原方程的特解求原方程的特解得得由由, 12 xx

7、y, 1)0( y(0,1),1由由題題意意，所所求求函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象過過點點且且該該點點處處切切線線斜斜率率為為 ，即即11 r1, 特征根特征根原方程通解為原方程通解為(求函數(shù)求函數(shù)y的解析表達式的解析表達式),223)(xeyyyxyy 滿足微分方程滿足微分方程設函數(shù)設函數(shù)在在處的切線與曲線處的切線與曲線其圖形在點其圖形在點1)1 , 0(2 xxy,該該點點處處的的切切線線重重合合.的的解解析析表表達達式式求求函函數(shù)數(shù)y且且2,xxe 代入方程代入方程, 得得 yyy,將將21,yx 所以所以(0)1,(0)1,yy 12/29212012(0)(222)|221,xxxxxyC

8、eC eexeCC = =聯(lián)立聯(lián)立 1212121CCCC 0121CC將之代入通解得將之代入通解得2,xxyexe(12 ).xyx e所以所以,函數(shù)函數(shù)y的解析表達式為的解析表達式為2122xxxyC eC exe12(0)1,yCC13/29baeAx .baxeBx .bxaeCx .bxaxeDx .提示提示根椐線性微分方程的性質根椐線性微分方程的性質, 可先求方程可先求方程xeyy 和和1 yy的特解的特解,兩個解的和就是原方程的特解兩個解的和就是原方程的特解.Bxxaey 1by 2特解特解. .二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個的一個是微分方程是微分

9、方程1)( xeyy1,20,1r 特特征征根根14/29微分方程微分方程 的特解的特解 y的形式為的形式為 ).( yxxebaeA)( . xcebaxC )( .xcxebaxD )( .xxxebaeB)( . D解解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根對應的對應的齊次齊次微分方程微分方程2, 1 rrbaxy 1xcxey 2xexyyy2323 xyyy323 xeyyy223 023 yyy15/29.323的通解的通解求方程求方程xeyyy 解解對應對應齊次齊次方程通解方程通解特征方程特征方程0322 rr特征根特征根1321 rr，xxeCeCY231 (1) 求對應求

10、對應齊次齊次方程的通解方程的通解此題此題.)()(3型型屬屬于于xmxexPexf 其中其中, 0 m. 3 )3(是是單單根根 (2) 求求非齊次非齊次方程的特解方程的特解 y設設xxAe3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程16/29代入方程代入方程, yyy,將將.323的的通通解解求求方方程程xeyyy ,41 Axxey341 原方程通解為原方程通解為 yYyxxeCeC231 xxe341 xxAey3 設設對應對應齊次齊次方程通解方程通解xxeCeCY231 得得二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程17/292( )( )cos( )si

11、nxlnf xeP xxP xx 、型型sincos)(xPxPexfnlx 2xixilxeePe xinleiPP)()22( ()( )ixmPx e ()( ),ixmypyqyPx e 設設ximkeQxy)(1 歐拉公式歐拉公式2ieePxixin xinleiPP)()22( ()( )ixmPx e 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程P 共共軛軛max , ml n 18/29,)()(xiexPqyypy 設設ximkeQxy)(2 ysin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmm kximxim

12、xkeQeQex 歐拉公式歐拉公式 )sin(cosxixQexmxk )sin(cosxixQm 型型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 不不是是根根 i 01,次次多多項項式式m注注 上述結論可推廣到上述結論可推廣到n階常系數(shù)非齊次階常系數(shù)非齊次線性微分方程線性微分方程.是單根是單根 i共軛共軛19/294sin.yyx 求求方方程程的的通通解解解解xCxCYsincos21 例例(1) 求對應求對應齊次齊次方程方程 0 yy012 r特征根特征根ir 其通解其通解這是二階常系數(shù)非齊次線性方程這是二階常系數(shù)非齊次線性方程, 且且 .sin)(cos)()(型型屬于屬于xxPx

13、xPexfnlx , 0( 其中其中特征方程特征方程, 1 , 0)( xPl)4)( xPn0 014的通解的通解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程20/29xCxCysincos21 (2) 求求非齊次非齊次方程方程 xyysin4 i故設故設代入方程代入方程,比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得xxycos2 這里這里i 0Asin x?1 yxxxcos2 , 0 1 特征根特征根ir 非齊次方程特解為非齊次方程特解為是特征根，是特征根，原方程通解為原方程通解為B xcos 的特解的特解.21/29 xttftxxxf0,d)()(sin)(設設解解 )(xf xcos xt

14、tfx0d)(cos兩端再對兩端再對x求導求導,得得 )(xf積分方程積分方程 微分方程微分方程 xttftxxxf0d)()(sin)( x積分方程積分方程 xcos xtttf0d)( x()(xxf xttf0d)()(xxf ) xttfx0d)(即即xxfxfsin)()( 即即xyysin 這是二階常系數(shù)非齊次線性方程這是二階常系數(shù)非齊次線性方程.)(sinxfx 其中其中 f 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù),求求f (x).22/29即即xxfxfsin)()( 即即xyysin .)(為為未未知知函函數(shù)數(shù)其其中中xfy 初始條件初始條件, 0)0( f得得又由又由,d)(cos)(0 x

15、ttfxxf初始條件初始條件, 1)0( f( )cos( )sin.xlneP xxP xx 非非齊齊次次項項屬屬于于型型, 0( 其中其中, 1 , 0)( xPl)1)( xPn001 11000; 0)0( y即即000. 1)0( y即即 xttftxxxf0,d)()(sin)(設設,為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)其其中中f).(xf求求得得由由 xttftxxxf0,d)()(sin)(23/29.sincos21xCxCY 其通解其通解(1)對應對應齊次齊次方程方程0 yy012 r特征方程特征方程特征根特征根ir xyysin ii 0(2)設原方程的特解為設原方程的特解為 xAcos

16、sin xB yx0,21 BA 解得解得xxycos21 則則方程的通解為方程的通解為xCxCysincos21 xxcos21 由初始條件由初始條件,得得21, 021 CC所以所以, 0( , 1 , 0)( xPl)1)( xPn初始條件初始條件, 0)0( y. 1)0( y是特征根是特征根.cos2sin21)(xxxxfy 24/29三、小結三、小結)()()1(xPexfmx )(xQexymxk sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 待定系數(shù)法待定系數(shù)法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線

17、性微分方程25/29思考題思考題.44的通解的通解求微分方程求微分方程axeyyy 解解對應對應齊次齊次方程通解方程通解特征方程特征方程0442 rr特征根特征根2 rxexCCY221)( (1) 求對應求對應齊次齊次方程的通解方程的通解此題此題.)()(型型屬屬于于xmaxexPexf .a 其中其中0 m(0次多項式次多項式),(二重二重)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程26/29(2) 求求非齊次非齊次方程的特解方程的特解設設特特解解時時，當當2 a.44的通解的通解求微分方程求微分方程axeyyy )a , 0( m2 即即 y且且,axAaey ,2axeAay yyy,將將,)2(12 aA所以，所以，axeay2)2(1 原方程通解為原方程通解為 yYyxexCC221)( axea2)2(1 Aaxex0axAe 特征根特征根2 r)(二二重重不是特征根不是特征根.代入方程代入方程, 得得27/29時時，當當2 a2 即即.44的通解的通解求微分方程求微分方程axeyyy 設設特特解解