數(shù)的整除題庫(kù)教師版

1、5-2數(shù)的整除教學(xué)目標(biāo)本講是數(shù)論知識(shí)體系中的一個(gè)基石，整除知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn)介于“定性分析與定量計(jì)算之間”即本講中的題型有定性分析層面的也有定量計(jì)算層面的，是很重要的一講，也是競(jìng)賽?？嫉闹R(shí)板塊。本講力求實(shí)現(xiàn)的一個(gè)核心目標(biāo)是讓孩子熟悉和掌握常見數(shù)字的整除判定特性，在這個(gè)基礎(chǔ)上對(duì)沒有整除判定特性的數(shù)字可以將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)有整除判定特性的數(shù)字乘積形式來(lái)分析其整除性質(zhì)。另外一個(gè)難點(diǎn)是將數(shù)字的整除性上升到字母和代數(shù)式的整除性上，這個(gè)對(duì)于學(xué)生的代數(shù)思維是一個(gè)良好的訓(xùn)練也是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。知識(shí)點(diǎn)撥一、常見數(shù)字的整除判定方法1. 一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除；一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或25整除，這

2、個(gè)數(shù)就能被4或25整除；一個(gè)數(shù)的末三位能被8或125整除，這個(gè)數(shù)就能被8或125整除；2. 一個(gè)位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除；一個(gè)數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除；3. 如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除.4. 如果一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除.【備注】（以上規(guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.）二、整除性質(zhì)性質(zhì)1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(a±b)性質(zhì)2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能

3、被數(shù)c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除即如果bca，那么ba，ca性質(zhì)4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a一定能被b與c的乘積整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca 例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(3×4) 12性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除如果 ba，那么bmam（m為非0整數(shù)）；性質(zhì)6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除如果 ba ，且dc ，那么bdac；例題

4、精講模塊一、常見數(shù)的整除判定特征【例 1】 已知道六位數(shù)20279是13的倍數(shù)，求中的數(shù)字是幾？ 【解析】 本題為基礎(chǔ)題型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1?！眷柟獭?六位數(shù)能被99整除，是多少？ 【解析】 方法一：200008被99除商2020余28，所以能被99整除，商72時(shí)，末兩位是28，所以為71；方法二：，能被99整除，所以各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，所以方框中數(shù)字的和只能為8或17；又根據(jù)數(shù)被11整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為6或5，可得是71.【鞏固】 六位數(shù)2008能被49整除，中的數(shù)是多少？ 【解析】 詳解類似上題，從略。填入05【例 2】 173是個(gè)四位數(shù)字。數(shù)學(xué)老師說(shuō)

5、：“我在這個(gè)中先后填人3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，依次可被9、11、6整除。”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少？ 【解析】 用1730試除，1730÷9=1922，1730÷1l=1573，1730÷6=2882所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除所以，這三種情況下填入口內(nèi)的數(shù)字的和為7+8+4=19【鞏固】 某個(gè)七位數(shù)1993能夠同時(shí)被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少？ 【解析】 本題可采用整除數(shù)字的判定特征進(jìn)行判斷，但是太過(guò)繁瑣。采用

6、試除法比較方便，若使得7位數(shù)能夠同時(shí)被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要讓七位數(shù)是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍數(shù)的倍數(shù)即可?！?，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用1993000試除，1993000÷2520=7902200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格內(nèi)填入320即可【鞏固】 如果六位數(shù)1992能被105整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少？ 【解析】 因?yàn)?，所以這個(gè)六位數(shù)同時(shí)滿足能被3、7、5整除的數(shù)的特征即可方法一：利用整除特征末位只能為0或5 如果末位填入0，那么數(shù)字和為，要求數(shù)字和是3的倍數(shù)，所以 可以為0，3，6，

7、 9，驗(yàn)證， 有91是7的倍數(shù)，即是7的倍數(shù)，所以題中數(shù)字的末兩位為90 如果末位填入5，同上解法，驗(yàn)證沒有數(shù)同時(shí)滿足能被3、7、5整除的特征所以，題中數(shù)的末兩位只能是90方法二：采用試除法用試除，余15可以看成不足， 所以補(bǔ)上90，即在末兩位的方格內(nèi)填入90即可【例 3】 在六位數(shù)1111中的兩個(gè)方框內(nèi)各填入一個(gè)數(shù)字，使此數(shù)能被17和19整除，那么方框中的兩位數(shù)是多少? 【解析】 采用試除法.設(shè)六位數(shù)為如果一個(gè)數(shù)能同時(shí)被17和19整除，那么一定能被323整除，余191也可以看成不足所以當(dāng)時(shí)，即是100的倍數(shù)時(shí)，六位數(shù)才是323的倍數(shù)所以有的末位只能是，所以n只能是6，16，26，驗(yàn)證有時(shí)，所

8、以原題的方框中填入5，3得到的115311滿足題意【鞏固】 已知四十一位數(shù)555999（其中5和9各有20個(gè)）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？【解析】 我們知道這樣的六位數(shù)一定能整除7、11、13原41位數(shù)中從高位數(shù)起共有20個(gè)5，從低位數(shù)起共有20個(gè)9，那么我們可以分別從低位和高位選出555555，和999999，從算式的結(jié)構(gòu)上將就是進(jìn)行加法的分拆，即：555555×1000(35個(gè)0)+555555×1000(29個(gè)0)+5599+999999×1000(12個(gè)0)+999999.這個(gè)算式的和就是原來(lái)的41位數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)每一組含有555555或99

9、9999因數(shù)的部分都已經(jīng)是7的倍數(shù)，唯獨(dú)剩余5599待定，那么只要令5599是7的倍數(shù)即可，即只要44是7的倍數(shù)即可，應(yīng)為6【例 4】 在方框中填上兩個(gè)數(shù)字，可以相同也可以不同，使432是9的倍數(shù). 請(qǐng)隨便填出一種，并檢查自己填的是否正確； 一共有多少種滿足條件的填法？【解析】 一個(gè)數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是9的倍數(shù)，即432是9的倍數(shù)，而4329, 所以只需要兩個(gè)方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù)依次填入3、6，因?yàn)?332618是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù)；經(jīng)過(guò)分析容易得到兩個(gè)方框內(nèi)的數(shù)的和是9的倍數(shù)，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）

10、；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10種情況，還有（0,0）和（9,9），所以一共有12種不同的填法【例 5】 (2008“數(shù)學(xué)解題能力展示”初賽)已知九位數(shù)既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)；那么，這個(gè)九位數(shù)是多少？ 【解析】 設(shè)原數(shù)， 或者， ()或者()或者根據(jù)兩數(shù)和差同奇偶，得： 或者 不成立.所以， .【例 6】 一位后勤人員買了72本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數(shù)燒去兩個(gè)數(shù)字.帳本是這樣的：72本筆記本，共元(為被燒掉的數(shù)字)，請(qǐng)把處數(shù)字補(bǔ)上，并求筆記本的單價(jià). 【解析】 把元作為整數(shù)分.既然是72本筆記本的總線數(shù)，那就一定能被

11、72整除，又因?yàn)椋?8，9) .所以，. ，根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，8 |79，通過(guò)計(jì)算個(gè)位的.又，根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征， ()，顯然前面的應(yīng)是3.所以這筆帳筆記本的單價(jià)是： (元).【例 7】 由1，3，4，5，7，8這六個(gè)數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少？ 【解析】 根據(jù)11的整除判定特征我們知道六位數(shù)的奇數(shù)位與偶數(shù)位三個(gè)數(shù)字的和的差要為11的倍數(shù)，我們不妨設(shè)奇數(shù)位上的數(shù)和為a，偶數(shù)位上的數(shù)和為b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同時(shí)有a-b=0或a-b=11或a-b=22等情況，根據(jù)奇偶性分析自然數(shù)a與b的和為偶數(shù)，那么差也必須為偶數(shù)，但是a-b不可能

12、為22，所以a-b=0，解得a=b=14，則容易排列出最大數(shù)875413.模塊二、數(shù)的整除性質(zhì)應(yīng)用【例 8】 各位數(shù)碼是0、1或2，且能被225整除的最小自然數(shù)是多少？【解析】 被合數(shù)整除把225分解，分別考慮能被25和9整除特征。，所以要求分別能被25和9整除。要能被25整除，所以最后兩位就是00。要能被9整除，所以所有數(shù)字的和是9的倍數(shù)，為了使得位數(shù)盡可能少，只能是4個(gè)2和1個(gè)1，這樣得到1222200?！纠?9】 張老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)シN樹，學(xué)生的人數(shù)恰好等分成三組.已知老師和學(xué)生共種樹312棵，老師與學(xué)生每人種的樹一樣多，并且不超過(guò)10棵.問：一共有多少學(xué)生？每人種了幾棵樹？【解析】 因?yàn)?/p>

13、總棵數(shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)乘積，而每個(gè)人種的棵數(shù)又不超過(guò)10所以通過(guò)枚舉法來(lái)解(注意人數(shù)是減去1后是3的倍數(shù))：，不是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；，是3的倍數(shù)；，不是3的倍數(shù)；共有51個(gè)學(xué)生，每個(gè)人種了6棵樹.【鞏固】 某班同學(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹，學(xué)生恰好平均分成三組，如果老師與學(xué)生每人種樹一樣多，共種了1073棵，那么平均每人種了棵樹？【解析】 因?yàn)榭偪脭?shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)的乘積，所以首先想到的是把1073數(shù)相乘，一個(gè)數(shù)為人數(shù)一個(gè)數(shù)為每人種的棵數(shù)，注意到人數(shù)是減去1是3倍數(shù)，所以人數(shù)是37均每人種了29棵?！纠?10】 在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)

14、六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能的小?！窘馕觥?方法一：設(shè)補(bǔ)上數(shù)字后的六位數(shù)是，因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能分別被3、4、5整除，所以它應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：第一：數(shù)字和是3的倍數(shù)；第二：末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)是4的倍數(shù)；第三：末位數(shù)字是0或5。由以上條件，4| ，且只能取0或5，又能被4整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)不可能是5， c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一。又3| ，且（8+6+5）除以3余1，除以3余2。為滿足題意“數(shù)值盡可能小”，只需取，。要求的六位數(shù)是865020。方法二：利用試除法，由于要求最小數(shù)，用進(jìn)行試除分別被3、4、5整除，就是被整除，所以能被整除要求的六位數(shù)是

15、865020。【鞏固】 在523后面寫出三個(gè)數(shù)字，使所得的六位數(shù)被7、8、9整除那么這三個(gè)數(shù)字的和是多少? 【解析】 7、8、9的最小公倍數(shù)是504，所得六位數(shù)應(yīng)被504整除，所以所得六位數(shù)是，或因此三個(gè)數(shù)字的和是17或8【鞏固】 要使能被36整除，而且所得的商最小，那么分別是多少？ 【解析】 分解為互質(zhì)的幾個(gè)數(shù)的乘積，分別考慮所以能被4整除,從而只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，應(yīng)盡可能小，先取，又，所以是9的倍數(shù)所以，時(shí)，取得最小值.【例 11】 從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字中選出五個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，使它能被3、5、7、13整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？ 【

16、解析】 本題采用試除法。因?yàn)?，5，7，13的最小公倍數(shù)為1365，在100000之內(nèi)最大的1365的倍數(shù)為99645(100000÷1365=73355，100000-355=99645)，但是不符合數(shù)字各不相同的條件，于是繼續(xù)減1365依次尋找第二大，第三大的數(shù)，看是否符合即可。有99645-1365=98280，98280-1365=9691596915-1365=9555095550-1365=94185所以，滿足題意的5位數(shù)最大為94185【鞏固】 請(qǐng)求出最大的七位數(shù)，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位數(shù)字互不相同，這個(gè)七位數(shù)是多少？ 【解析】 解法一：因?yàn)?&#

17、215;11×131001，999×1001999999不是七位數(shù)，這個(gè)七位數(shù)是1001×abcdabcd000abcd，如果c不是9，那么b就會(huì)重復(fù)，所以c9，因?yàn)槭?的倍數(shù)，所以d5，要使最大，先假設(shè)a8時(shí)，b取8，5，2都不符合要求，當(dāng)a7時(shí)，b取9，6，3，0中3符合要求，所以最大的是7402395分析題意知，這個(gè)七位數(shù)是7×11×131001的倍數(shù)，根據(jù)1001的特點(diǎn)，解法二:假設(shè)這個(gè)七位數(shù)是abcdefg，滿足abcdefgn00n，很容易得出c0，f9，b和e相差1，如果g0，那么ad，所以g5。假設(shè)a8，那么d3，b和e就是2，

18、1或者7，6，經(jīng)檢驗(yàn)都不符合要求。假設(shè)a7，那么d2，b和e就是4，3，經(jīng)檢驗(yàn)剛好可以。這個(gè)七位數(shù)是7402395.【例 12】 修改31743的某一個(gè)數(shù)字，可以得到823的倍數(shù)。問修改后的這個(gè)數(shù)是幾？ 【解析】 本題采用試除法。823是質(zhì)數(shù)，所以我們掌握的較小整數(shù)的特征不適用，31743÷823=38469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改動(dòng)某位數(shù)字使得得到的新數(shù)比原來(lái)大354或354+823n也是滿足題意的改動(dòng)有n=1時(shí)，354+823：1177，n=2時(shí)，354+823×2=2000，所以當(dāng)千位增加2，即改為3時(shí)

19、，有修改后的五位數(shù)33743為823的倍數(shù)【例 13】 某個(gè)自然數(shù)既能寫成9個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，還同時(shí)可以寫成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，也能寫成11個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，那么這樣的自然數(shù)最小可以是幾？ 【解析】 本題所體現(xiàn)的是一個(gè)常用小結(jié)論，即任意奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和必定是這個(gè)奇數(shù)的倍數(shù)。任意偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和必定是這個(gè)偶數(shù)的一半的倍數(shù)，并且除以這個(gè)偶數(shù)的一半后所得的商為一個(gè)奇數(shù)。證明方法很簡(jiǎn)單，以連續(xù)9個(gè)奇數(shù)為例子：我們可以令連續(xù)9個(gè)奇數(shù)為：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4則他們的和為9a，即為9的倍數(shù)。對(duì)于連續(xù)10個(gè)自然數(shù)，可以為a-4,a-3,a-2,a-1,a

20、,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5則它們的和為10a+5=5（2a+1），即是5的倍數(shù)且除以5后商是奇數(shù)。所以本題中要求的數(shù)是5，9，11的最小公倍數(shù)的倍數(shù)即495的倍數(shù)，最小值即495.【鞏固】 是一個(gè)三位數(shù).它的百位數(shù)字是4，能被7整除，能被9整除，問是多少？ 【解析】 能被7整除，說(shuō)明能被7整除；能被9整除，說(shuō)明能被9整除；，則符合上述兩個(gè)條件.(因，則可以寫成這樣的形式：).又是一個(gè)百位數(shù)字是4的三位數(shù)，估算知，.【鞏固】 有些數(shù)既能表示成3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和；還能表示成5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和請(qǐng)你找出700至1000之間，所有滿足上述要求的數(shù)，并簡(jiǎn)述理由.

21、【解析】 3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被3整除；4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被2整除，且除以2所得的商是奇數(shù)，也就是說(shuō)它不能被4整除，除以4所得余數(shù)為2；5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被5整除3、2、5的最小公倍數(shù)是30，所以滿足上述三個(gè)條件的最小的數(shù)是303、4、5的最小公倍數(shù)是60，所以60的整數(shù)倍加上30就可以滿足條件，所以第一個(gè)符合題意的數(shù)是，最大的一個(gè)數(shù)是，共計(jì)個(gè)數(shù)，分別為750、810、870、930、960【例 14】 用數(shù)字6，7，8各兩個(gè)，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被168整除。這個(gè)六位數(shù)是多少？ 【解析】 因?yàn)?68=8×3×7，所以組成的六位數(shù)可以被8、3、

22、7整除能夠被8整除的數(shù)的特征是末三位組成的數(shù)一定是8的倍數(shù)，末兩位組成的數(shù)一定是4的倍數(shù)，末位為偶數(shù)在題中條件下，驗(yàn)證只有688、768是8的倍數(shù)，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍數(shù)，由例8知形式的數(shù)一定是7、11、13的倍數(shù)，所以768768一定是7的倍數(shù)，688的不管怎么填都得不到7的倍數(shù)至于能否被3整除可以不驗(yàn)證，因?yàn)檎?的數(shù)的規(guī)律是數(shù)字和為3的倍數(shù)，在題中給定的條件下，不管怎么填數(shù)字和都是定值。所以768768能被168整除，且驗(yàn)證沒有其他滿足條件的六位數(shù)【例 15】 將數(shù)字4，5，6，7，8，9各使用一次，組成一個(gè)被667整除的6位數(shù)，那么，這個(gè)6位數(shù)除以667的結(jié)

23、果是多少？ 【解析】 本題考察對(duì)數(shù)字667的特殊認(rèn)識(shí)，即667×3=2001。本題要求用4，5，6，7，8，9組成一個(gè)667的倍數(shù)，其實(shí)發(fā)現(xiàn)4，5，6，7，8，9組合出的數(shù)一定是3的倍數(shù)，那么只要考慮組成一個(gè)2001的倍數(shù)即可，而2001的六位數(shù)倍數(shù)具有明顯的特征，即后三位是前三位的一半，那么我們可以發(fā)現(xiàn)前三位一定是900多的數(shù)字，后三位是400多，很容易得到956478。那么956478÷667=1434。【例 16】 一個(gè)十位數(shù)，如果各位上的數(shù)字都不相同，那么就稱為“十全數(shù)”，例如，3785942160就是一個(gè)十全數(shù)現(xiàn)已知一個(gè)十全數(shù)能被1，2，3，18整除，并且它的前四

24、位數(shù)是4876，那么這個(gè)十全數(shù)是多少？ 【解析】 這個(gè)十全數(shù)能被10整除，個(gè)位數(shù)字必為0；能被4整除，十位數(shù)字必為偶數(shù)，末兩位只能是20設(shè)這個(gè)十全數(shù)為由于它能被11整除，所以奇位數(shù)上的數(shù)字之和與偶位數(shù)上的數(shù)字之和的差能被11整除，即被11整除，可能是、由于、四個(gè)數(shù)分別為1、3、5、9中的一個(gè)，只能是，即所以、是9和5；、是3和1，這個(gè)十全數(shù)只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一個(gè)由于它能被7、13、17整除，經(jīng)檢驗(yàn)，只有4876391520符合條件【例 17】 把若干個(gè)自然數(shù)1、2、3、連乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最末十三位恰好都是

25、零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？最大是多少？ 【解析】 乘積末尾的零的個(gè)數(shù)是由乘數(shù)中因數(shù)2和5的個(gè)數(shù)決定的，有一對(duì)2和5乘積末尾就有一個(gè)零由于相鄰兩個(gè)自然數(shù)中必定有一個(gè)是2的倍數(shù)，而相鄰5個(gè)數(shù)中才有一個(gè)5的倍數(shù)，所以我們只要觀察因數(shù)5的個(gè)數(shù)就可以了，發(fā)現(xiàn)只有25、50、75、100、這樣的數(shù)中才會(huì)出現(xiàn)多個(gè)因數(shù)5，乘到55時(shí)共出現(xiàn)個(gè)因數(shù)5，所以至少應(yīng)當(dāng)寫到55，最多可以寫到59【鞏固】 從50到100的這51個(gè)自然數(shù)的乘積的末尾有多少個(gè)連續(xù)的0？【解析】 首先，50、60、70、80、90、100中共有7個(gè)0其次，55、65、85、95和任意偶數(shù)相乘都可以產(chǎn)生一個(gè)0，而75乘以偶數(shù)可以產(chǎn)

26、生2個(gè)0，50中的因數(shù)5乘以偶數(shù)又可以產(chǎn)生1個(gè)0，所以一共有個(gè)0【鞏固】 ，要使這個(gè)連乘積的最后4個(gè)數(shù)字都是0，那么在方框內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)？【解析】 積的最后4個(gè)數(shù)字都是0，說(shuō)明乘數(shù)里至少有4個(gè)因數(shù)2和4個(gè)因數(shù)5，共有3個(gè)5，2個(gè)2，所以方框內(nèi)至少是【鞏固】 11個(gè)連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0，那么這11個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？【解析】 因?yàn)?，由于?1個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)中，至多只能有2個(gè)數(shù)是7的倍數(shù)，所以其中有一個(gè)必須是49的倍數(shù)，那就只能是49或98又因?yàn)槌朔e的末4位都是0，所以這連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)至少應(yīng)該含有4個(gè)因數(shù)5連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)中至多只能有3個(gè)是5的倍數(shù)，至多只能

27、有1個(gè)是25的倍數(shù)，所以其中有一個(gè)必須是25的倍數(shù)，那么就只能是25、50或75所以這11個(gè)數(shù)中應(yīng)同時(shí)有49和50，且除50外還有兩個(gè)是5的倍數(shù)，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它們的平均數(shù)即為它們的中間項(xiàng)45【鞏固】 把若干個(gè)自然數(shù)1、2、3、連乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最末53位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？最大是多少？ 【解析】 1到10的乘積里會(huì)出現(xiàn)和10兩次末尾添零的情況，估算從200開始，是個(gè)0，還要擴(kuò)大至220時(shí)再增加4個(gè)0，所以最小的數(shù)應(yīng)該是220，而最大應(yīng)該是224【例 18】 從左向右編號(hào)為1至1991號(hào)的1991

28、名同學(xué)排成一行從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的同學(xué)原地不動(dòng)，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再?gòu)淖笙蛴?至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的同學(xué)留下，其余的同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至1l報(bào)數(shù)，報(bào)到11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號(hào)是_ 【解析】 第一次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號(hào)都是11的倍數(shù)；第二次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號(hào)都是的倍數(shù)；第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號(hào)都是的倍數(shù)因此，第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號(hào)是【例 19】 在1、2、3、42007這2007個(gè)數(shù)中有多少個(gè)自然數(shù)a能使2008+a能被2007-a整除。

29、【解析】 本題考察代數(shù)知識(shí)的綜合技巧，是一道難度較大的題目。要使得2008+a能被2007-a整除，我們可以將條件等價(jià)的轉(zhuǎn)化為只要讓是一個(gè)整數(shù)即可。下面是一個(gè)比較難的技巧，我們知道若a可以使得是一個(gè)整數(shù)，那么a也同樣可以使得是一個(gè)整數(shù)，這樣只要2007-a是4015的約數(shù)即可，將4015分解可知其共有8個(gè)因數(shù)，其中4015是最大的一個(gè)，但是顯然沒有可以讓2007-a等于4015的a的值，其余的7個(gè)均可以有對(duì)應(yīng)的a的值，所以滿足條件的a的取值共有7個(gè)。【例 20】 以多位數(shù)142857為例，說(shuō)明被11整除的另一規(guī)律就是看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能否被11整除. 【解析】因?yàn)楦鶕?jù)整除性質(zhì)

30、1和鋪墊知，等式右邊第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)能被11整除，再根據(jù)整除性質(zhì)1，要判斷能否被11整除，只需判斷能否被11整除，因此結(jié)論得到說(shuō)明.【鞏固】 以多位數(shù)為例，說(shuō)明被7、11、13整除的規(guī)律. 【解析】 因?yàn)楦鶕?jù)整除性質(zhì)和鋪墊知，等式右邊第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)能被7、11、13整除，再根據(jù)整除性質(zhì)1，要判斷能否被7、11、13整除，只需判斷能否被7、11、13整除，因此結(jié)論得到說(shuō)明.【例 21】 已知兩個(gè)三位數(shù)與的和能被37整除，試說(shuō)明：六位數(shù)也能被37整除【解析】 ，因?yàn)?99能被37整除，所以能被37整除，而也能被37整除，所以其和也能被37整除，即能被37整除【鞏固】 如果能被6整除，那么也能被6

31、整除 【解析】 2|2|e6|3e3|3|a+b+c+d+e6|2(a+b+c+d+e)6|2(a+b+c+d+e)-3e6|2（a+b+c+d）-e【鞏固】 若，試問能否被8整除?請(qǐng)說(shuō)明理由 【解析】 由能被8整除的特征知，只要后三位數(shù)能被8整除即可. ，有能被8整除，而也能被8整除，所以能被8整除.【例 22】 兩個(gè)四位數(shù)和相乘，要使它們的乘積能被72整除，求和.【解析】 考慮到，而是奇數(shù)，所以必為8的倍數(shù)，因此可得；四位數(shù)2752各位數(shù)字之和為不是3的倍數(shù)也不是9的倍數(shù)，因此必須是9的倍數(shù)，其各位數(shù)字之和能被9整除，所以.【鞏固】 若四位數(shù)能被15整除，則代表的數(shù)字是多少？【解析】 因?yàn)?/p>

32、15是3和5的倍數(shù)，所以既能被3整除，也能被5整除能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5，能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)當(dāng)時(shí)，不是3的倍數(shù)；當(dāng)時(shí)，是3的倍數(shù)所以，代表的數(shù)字是5【例 23】 為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼由7個(gè)數(shù)字組成，它們不是1、2就是3在密碼中1的數(shù)目比2多，2的數(shù)目比3多，而且密碼能被3和16所整除試問密碼是多少？ 【解析】 密碼由7位數(shù)字組成，如果有兩個(gè)3的話，那么至少是位數(shù)，與題意不符；只有一個(gè)3的話，那么至少有兩個(gè)2.如果有三個(gè)2，那么1至少有四個(gè)，總共至少有個(gè)數(shù)字，與題意不符，所以2只有兩個(gè)，1有四個(gè)，如此，各數(shù)位數(shù)字和為，不是3的倍數(shù)，所以密碼中沒有3，只

33、有1、2，由1、2組成的四位數(shù)中只有2112能被16整除（從個(gè)位向高數(shù)位推得），所以密碼的后四位是2112，所以前三位數(shù)字和是3的倍數(shù)，只有111和222滿足條件，其中2222112的2多于1，應(yīng)予排除，所以這個(gè)密碼是1112112.【鞏固】 為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼由7個(gè)數(shù)字組成，它們不是2就是3在密碼中2的數(shù)目比3多，而且密碼能被3和4所整除試求出這個(gè)密碼 【解析】 密碼中的2比3要多，所以2可能有4、5、6或7個(gè)當(dāng)2有4個(gè)時(shí)，密碼的數(shù)字和為17；當(dāng)2有5個(gè)時(shí)，數(shù)字和為16；當(dāng)2有6個(gè)時(shí)，數(shù)字和為15；當(dāng)2有7個(gè)時(shí)，數(shù)字和為14由于一個(gè)數(shù)能被3整除時(shí)，它的數(shù)字和也能被3整除，所以

34、密碼中2應(yīng)當(dāng)有6個(gè)，這樣3就只能有1個(gè)另外，一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它的末兩位數(shù)也應(yīng)當(dāng)能被4整除，所以末兩位數(shù)必定是32所以，密碼是2222232【例 24】 一個(gè)19位數(shù)能被13整除，求內(nèi)的數(shù)字 【解析】 13|，13|，13|7777770000000+13|777777，13|7777770000000，13|，13|444，13|2，設(shè)=7770，0【鞏固】 應(yīng)當(dāng)在如下的問號(hào)“？”的位置上填上哪一個(gè)數(shù)碼，才能使得所得的整數(shù)可被7整除？ 【解析】 由于可被7整除，因此如果將所得的數(shù)的頭和尾各去掉48個(gè)數(shù)碼，并不改變其對(duì)7的整除性，于是還剩下“”從中減去63035，并除以100，即得“”可被

35、7整除.此時(shí)不難驗(yàn)證，具有此種形式的三位數(shù)中，只有322和392可被7整除所以？處應(yīng)填2或9.【例 25】 多位數(shù)，能被11整除，最小值為多少？ 【解析】 奇數(shù)位數(shù)字之和為，偶數(shù)位數(shù)字之和為，這個(gè)多位數(shù)整除11，即能整除11，n最小取3【鞏固】 能被11整除，那么，的最小值為多少？ 【解析】 中奇位數(shù)減偶位數(shù)的差為，當(dāng)時(shí)，是11的倍數(shù)，所以的最小值是5.【例 26】 三位數(shù)的百位、十位和個(gè)位的數(shù)字分別是5，a和b，將它連續(xù)重復(fù)寫2008次成為：.如果此數(shù)能被91整除，那么這個(gè)三位數(shù)是多少？ 【解析】 因?yàn)?，所以也?和13的倍數(shù)，因?yàn)槟鼙?和13整除的特點(diǎn)是末三位和前面數(shù)字的差是7和13的倍數(shù)

36、，由此可知也是7和13的倍數(shù)，即也是7和13的倍數(shù)，依次類推可知末三位和前面數(shù)字的差即為：也是7和13的倍數(shù)，即也是7和13的倍數(shù)，由此可知也是7和13的倍數(shù)，百位是5能被7和13即91整除的數(shù)字是：，所以.【例 27】 試說(shuō)明一個(gè)4位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是11的倍數(shù)(如：1236為原序數(shù)，那么它對(duì)應(yīng)的反序數(shù)為6321，它們的和7557是11的倍數(shù)) 【解析】 設(shè)原序數(shù)為，則反序數(shù)為，則 ，因?yàn)榈仁降挠疫吥鼙徽?，所?能被11整除【鞏固】 試說(shuō)明一個(gè)兩位數(shù)，如果將個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，則新數(shù)與原數(shù)的差一定能被9整除. 【解析】 設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)為，則新的兩位數(shù)為.

37、.因?yàn)槟鼙?整除，所以他們的差能被9整除.【鞏固】 試說(shuō)明一個(gè)5位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是99的倍數(shù)(如：12367為原序數(shù)，那么它對(duì)應(yīng)的反序數(shù)為76321，它們的差是99的倍數(shù)) 【解析】 設(shè)原序數(shù)為，則反序數(shù)為，則因?yàn)榈仁降挠疫吥鼙?9整除，所以能被99整除【鞏固】 1至9這9個(gè)數(shù)字，按圖所示的次序排成一個(gè)圓圈請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)(例如，在1和7之間剪開，得到兩個(gè)數(shù)是和)如果要求剪開后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被整除，那么剪開處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是多少?【解析】 互為反序的兩個(gè)九位數(shù)的差，一定能被99整除而，所以我們只用考察它能否能被4整除于是

38、只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當(dāng)剪開處兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同時(shí)才有可能注意圖中的具體數(shù)字，有(3，4)處、（8，5)處的兩個(gè)數(shù)字奇偶性均不相同，所以一定不滿足而剩下的幾個(gè)位置奇偶性相同，有可能滿足進(jìn)一步驗(yàn)證，有(9，3)處剪開的末兩位數(shù)字之差為，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)處剪開的末兩位數(shù)字之差為，所以從(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處剪開，所得的兩個(gè)互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處左右兩個(gè)數(shù)的乘積為27，8，1

39、2，48，35，9【例 28】 一個(gè)六位數(shù)，如果滿足，則稱為“迎春數(shù)”(如，則就是“迎春數(shù)”).請(qǐng)你求出所有“迎春數(shù)”的總和. 【解析】 方法一：顯然，不小于4，原等式變形為化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，于是為同理，6，7，8，9，可以得到為，. 所有的和是方法二：顯然，不小于4，若，為末尾數(shù)字，所以；為的末2位，所以；為的末3位，所以； 為的末4位，所以；為的末5位，所以；于是為同理，6，7，8，9，可以得到為，. 所有的和是【例 29】 一個(gè)4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)新的4位數(shù).已知這兩個(gè)4位數(shù)的和是以下5個(gè)數(shù)的一個(gè)：9865；9866；9867；9868；9869.這兩個(gè)4位數(shù)的和到底是多少

40、? 【解析】 設(shè)這個(gè)4位數(shù)是，則新的4位數(shù)是.兩個(gè)數(shù)的和為,是11的倍數(shù).在所給的5個(gè)數(shù)中只有9867是11的倍數(shù)，故正確的答案為9867【鞏固】 一個(gè)4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)新的4位數(shù).再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個(gè)數(shù)的一個(gè)：9865；9867；9462；9696；9869.這兩個(gè)4位數(shù)的和到底是多少? 【解析】 設(shè)這個(gè)4位數(shù)是，則最新的4位數(shù)是.兩個(gè)數(shù)的和為,是101的倍數(shù).在所給的5個(gè)數(shù)中只有9696是101的倍數(shù)，故正確的答案為9696.模塊三、整除與其他知識(shí)綜合性題目【例 30】 在小于5000的自然

41、數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有多少個(gè). 【解析】 兩位數(shù)字中能被11整除的數(shù)字是11、22、99這些數(shù)字中顯然沒有這樣的數(shù).三位數(shù)，設(shè)這個(gè)三位數(shù)為，有和，顯然有，所以就有，814，715，616，517，418，319這7個(gè).四位數(shù)，設(shè)這個(gè)四位數(shù)為， 有和()()中，若，則或4有2種組合，b和d有2種.因此有4種； 有和()()，則只能，和有7種組合.綜上所述，這樣的數(shù)有個(gè).【鞏固】 用1，9，8，8這四個(gè)數(shù)字能排成幾個(gè)被11除余8的四位數(shù)? 【解析】 現(xiàn)在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數(shù)加上3后，就能被11整除了所以我們得到“一個(gè)數(shù)被11除余8”的判定法則：將偶位

42、數(shù)字相加得一個(gè)和數(shù)，再將奇位數(shù)字相加再加3，得另一個(gè)和數(shù)，如果這兩個(gè)和數(shù)之差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)是被11除余8的數(shù)；否則就不是要把1，9，8，8排成一個(gè)被11除余8的四位數(shù)，可以把這4個(gè)數(shù)分成兩組，每組2個(gè)數(shù)字其中一組作為千位和十位數(shù)，它們的和記作；另外一組作為百位和個(gè)位數(shù)，它們之和加上3記作我們要適當(dāng)分組，使得能被11整除現(xiàn)在只有下面4種分組法： 偶位 奇位 1，8 9，8 1，9 8，8 9，8 1，8 8，8 1，9經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，只有第種分組法滿足前面的要求：，能被11整除其余三種分組都不滿足要求根據(jù)判定法則還可以知道，如果一個(gè)數(shù)被11除余8，那么在奇位的任意兩個(gè)數(shù)字互換，或者在偶位的任

43、意兩個(gè)數(shù)字互換得到的新數(shù)被11除也余8于是，上面第種分組中，1和8任一個(gè)可以作為千位數(shù)，9和8中任一個(gè)可以作為百位數(shù)這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819【例 31】 在1至2008這2008個(gè)自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？ 【解析】 1到2008這2008個(gè)自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有個(gè)，3和7的倍數(shù)有個(gè)，5和7的倍數(shù)有個(gè)，3、5和7的倍數(shù)有個(gè)所以，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的共有個(gè)【例 32】 有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1號(hào)到15號(hào)，1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，其余各位同學(xué)都說(shuō)這個(gè)數(shù)能被自己的編號(hào)數(shù)整除1號(hào)作了檢驗(yàn)：只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)的不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問：說(shuō)的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？