全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

1、2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1.已知。+ 6 = 2, 匕/+支心匚=_4,則出?的值為（B ）b a1 1A. 1.B. 1. C. D.2 22 .已知A5C的兩條高線的長分別為5和20,若第三條高線的長也是整數(shù)，則第三條高線長的最 大值為（B ）A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.3 .方程|1|=（4一2“）（r + 2）的解的個數(shù)為（C ）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個1 /1.4,今有長度分別為1, 2,，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個正方形,則這樣

2、的“線段組”的組數(shù)有A. 5組. B. 7 組.5.如圖，菱形ABC。中,NEFG=15。, FG±BC,C. 9組.AB=3 ，則=D. 11 組.DF = l , (ZDAB= 60° ，D )C. 2V3-1.n”16.己知一 十X1 1iy z + x1 1-+Z x+y12 3 4上，則± +巳+2的值為 (C )4x y zFC. 2. D.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1 .在回(?中，已知4 = 2NA, 6c = 2, A5 = 2 + 2JJ,則 NA= 15° .2 .二次函數(shù)y = /+bx + c的圖象的頂點為O,與

3、x軸正方向從左至右依次交于A, 8兩點，與），軸正方向交于C點，若ABO和O8C均為等腰直角三角形（O為坐標(biāo)原點），則b + 2c= 23 .能使2"+256是完全平方數(shù)的正整數(shù)的值為4 如 圖， 已 知 AB 是。的直徑，弦CO與A3交于點E,過點A作圓的切線與CD的延長線交于點 F,如果0E = 3cE, AC = 8j5,。為四的中點，則AB= 24 .4第二試（A）一、（本題滿分20分）已知三個不同的實數(shù)a,b,c滿足a-b + c = 3 ,方程x2+ax+l = 0和 x2 + bx+c = 0有一個相同的實根，方程x2+ x+a = 0和x2 + cx + b = 0也

4、有一個相同的實根.求4,4C的值.解依次將題設(shè)中所給的四個方程編號為，.可解得用=- a-b設(shè)是方程和方程的一個相同的實根，則：，I 一兩式相減， 匯 + bxl + c = 0,可解得x,= TC-1設(shè)廠是方程和方程的一個相同的實根，則1 +/+： = °'兩式相減， x； + cx2 + b = Qy所以 xkx2 =1.又方程的兩根之積等于1,于是七也是方程的根，則后+。甚+1 = 0。又 X；+X2+ = 0，兩式相減，得（。一 1）工2 =若4 = 1,則方程無實根，所以。#1,故公=1.于是。=-2,6 +。= 一1.又a b + c = 3,解得 6 = 3,c

5、 = 2.二.（本題滿分25分）如圖，在四邊形A8CO中，已知 ZBAD = 60°, 48 = 120。，對角線AC,BD交于點S ，且DS = 2SB ，尸為AC的中點.求證：（1） ZPBD= 30°； （2） AD=DC.證明（1）由已知得NADC = 90。，從而A,6,C,O四點共圓，4C為直徑，尸為該圓的圓心.作PMLBD于點M ,知M 為BD的中點，所以ZBPM = -ZBPD = ZA = 60° ，從而 2NP6M = 30。.(2)作SN上BP于點N ,則SN =S6. 2又 DS = 2SB,DM = MB=3BD,：.MS = DS-DM

6、 =2SB-SB = -SB = SN, 22 RtA PMSRtA PNS , ZMPS=ZNPS = 3QQ,又PA=PB,所以NPA6 =NNPS = 15。，故NDAC= 45。= NDC4,所以AO=OC. 2三.（本題滿分25分）己知也,p為正整數(shù)，團(tuán).設(shè)4（一見0）, 6（小0）, COp）, 0為坐標(biāo) 原點.若4c8 = 90。，且OA2 + Q82 +OC? =3(3 +Q5 + 0C).(1)證明：m + n= p + 3；(2)求圖象經(jīng)過A,6,C三點的二次函數(shù)的解析式.解 (1)因為NA8 = 90。，OC_L A6,所以QA O6 = OC2,即，加=p，由 OV +

7、 05? + OC? = 3(04 + OB + OC),得m？ +1 + p? = 3(加 + + p).y,m2 +n2 + p2 =(m + n+ p)2 - 2(inn + np + mp) = (in + n + p)2 - 2(p2 + np + mp)=(in + n+ p) - 2p(in + n+ p) = (77? + n + p)(m + - p),從而有? + "-p = 3,即機(jī)+ = p + 3.（2）由zn = p2, m + = p + 3知/w,是關(guān)于%的一元二次方程x2 -(p + 3)x+ p2 =0的兩個不相等的正整數(shù)根，從而 = （.+ 3）

8、一4P* >0,解得1<<3。又p為正整數(shù)，故p = l或p = 2.當(dāng)p = l時，方程為4x+l = 0,沒有整數(shù)解.當(dāng)p = 2時，方程為工2-51+4 = 0,兩根為m=1, = 4.綜合知：= 1, = 4, p = 2.設(shè)圖象經(jīng)過A,B,C三點的二次函數(shù)的解析式為y = /:（% +1）（%-4）,將點C（0,2）的坐標(biāo)代入得2 = %xlx（-4）,解得A=一；.11?所以，圖象經(jīng)過48,C三點的二次函數(shù)的解析式為丁 = 一5。+1）（1-4） = 一5/+21+2.第二試（B）一.（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二.（本題滿分25分）如圖，在

9、四邊形ABCO中，己知 440 = 60。，ZABC = 9Q0 ,48 = 120。,對角線 AC,BD交于點S ,且 DS = 2SB .求證：AD=DC.1<證明由已知得NAZ）C = 90。，從而46,C,O四點共圓，AC為直徑./ /設(shè)尸為AC的中點，則尸為四邊形A8CO的外接圓的圓心./作PMVBD于點M ,則M為BD的中點，所以ZBPM = -ZBPD = ZA = 60° ,從而 2ZPBM = 30。.作 SN_L8 產(chǎn)于點 N,則 SN =S6.又 DS = 2SB、DM = MB = =BD,2 23 1 MS = DS DM = 2SB SB = -SB

10、 = SN,22 RtA PMSRtA PNS , ZMPS= ZNPS = 30°,又PA=PB,所以NPA6 = L/NPS = 15。，所以“AC= 45。= NDC4,所以AO=£>C.2三.(本題滿分25分)己知也,p為正整數(shù)，設(shè)4T幾0), 6(20), COp), O為坐標(biāo)原點.若 NAC3 = 90。，且。42 + 062+0。2 = 3(。4 + 03 + 00.求圖象經(jīng)過 A,6,C 三點的二 次函數(shù)的解析式.解 因為NAC3 = 90。，OC1AB，所以。4 O6 = OC, tnn = p2.由 OV + OC2 = 3(04 + OB + O

11、C),得m？ +1 + p? = 3(6 + + p).Xm2 +n2 + p2 =(m + n+ p)2 -2(mn + np + mp) = (m + n+ p)2 -2(p2 + np + mp)=(in + n + p)2 - 2P(m + n+ p) = (tn + n + p)(m + n- p),從而有? + -p = 3,即川+ = p + 3.又加=p2,故肛，是關(guān)于x的一元二次方程x2 -(p + 3)x+ p2 = 0的兩個不相等的正整數(shù)根，從而 = (.+ 3)一4P* >0,解得1<<3。又p為正整數(shù)，故p = l或p = 2.當(dāng)p = l時，方程為

12、4x+l = 0,沒有整數(shù)解.當(dāng)p = 2時，方程為工2-51+4 = 0,兩根為m=1, = 4.綜合知：= 1, = 4, p = 2.設(shè)圖象經(jīng)過A,B,C三點的二次函數(shù)的解析式為y = /:(% +1)(%-4),將點C(0,2)的坐標(biāo)代入得2 = %xlx(-4),解得A=一；.113所以，圖象經(jīng)過48,C三點的二次函數(shù)的解析式為了 = 一萬。+1)(1-4) = 一/+21+2.第二試（c）1 .（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.2 .（本題滿分25分）如圖，已知 P 為銳角 ABC 內(nèi)一點， 過P分別作6cAe的垂線，垂足分別為O,瓦F，6M為NA5C的平分線，MP

13、的延長線交A6于點N.如果PD=PE+PF,求證：CN是NAC6的平分線.證明1 /1如圖1,作MM】JL 6c于點于點M?, MV】J_5c于點N-NN2LAC于點、N2.沒 NP = XNM-： NN/PDHMM, A N.D =.若NN、MM,如圖2,作NH上MM1,分別交尸0于點，則 NP%sAPH NPNMH ,：= %, PH, = AMH , MH NM PD = PH】+= AMH + NN1 =MMMNN” NN, =+（1-九）NN若 NN=MM,則 PD = NN=MM= AMM +（1-A）NN同理可證PD =+（1-九）NN-V PE II NN., .IPE _ PM _ MW- 一,:P