高數(shù)函數(shù)習(xí)題課ppt課件

1、二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三章 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用難點(diǎn)難點(diǎn)1. 微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!

2、10n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2. 微分中值定理的主要應(yīng)用微分中值定理的主要應(yīng)用(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2) 證明恒等式或不等式證明恒等式或不等式(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 3. 有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法利用逆向思維利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù) . 一般解題方法一般解題方法:證明含一個(gè)中值的等式或根的存在證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù)可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) 。多用羅爾定理多用羅爾定理,機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)

3、下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 有時(shí)也會(huì)用到費(fèi)馬引理，零點(diǎn)定理有時(shí)也會(huì)用到費(fèi)馬引理，零點(diǎn)定理.(2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù)若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,可考慮用可考慮用柯西中值定理柯西中值定理 .必須多次應(yīng)用必須多次應(yīng)用中值定理中值定理 .(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式多考慮用泰勒公式 ,(5) 若結(jié)論為不等式若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .在在( )f x 1

4、,0內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且(0)(1) ,ff 證明至少存在一點(diǎn)證明至少存在一點(diǎn)( )f , ) 1 ,0(使使上連續(xù)上連續(xù), 在在) 1 ,0(2( )1f 分析分析: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證(1)( )2( )0 .ff 設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)2( )( )(1)xfxx 由由( )f x在在 0 , 1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件知上滿足羅爾定理?xiàng)l件知, 至至0(0,1),x 使使少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 0()0,fx 例例1. 設(shè)設(shè)設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)2( )( )(1)xfxx 再由再由( )x 在在 x0 , 1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件知上

5、滿足羅爾定理?xiàng)l件知,至至0(,1),x 使使少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 ( )0, 2( )( )(1)2( )(1)0ff 即有即有( )f 2( )1f 例例2. 設(shè)實(shí)數(shù)設(shè)實(shí)數(shù)滿足下述等式滿足下述等式naaa,1001210naaan證明方程證明方程在在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根個(gè)實(shí)根 .010nnxaxaa證證: 令令,)(10nnxaxaaxF則可設(shè)則可設(shè)121012)(nnxnaxaxaxF, 1,0)(,上連續(xù)在顯然xF且且)0(F由羅爾定理知存在一點(diǎn)由羅爾定理知存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使使,0)(F即即.1

6、0010內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根），（在nnxaxaa機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 ,) 1,0(內(nèi)可導(dǎo)在,0) 1 (F例例3.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 設(shè)函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo), 且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f分析: 所給條件可寫(xiě)為1)3(, 13)2() 1 ()0(ffff(03考研) 試證必存在 想到找一點(diǎn) c , 使3)2() 1 ()0()(fffcf證證: 因因 f (x) 在在0, 3上連續(xù)上連續(xù), 所以在0, 2上連續(xù), 且在0, 2上有最大值 M 與

7、最小值 m, 故Mfffm)2(),1 (),0(Mmfff3)2() 1 ()0(由介值定理, 至少存在一點(diǎn) 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在且ccxf由羅爾定理知, 必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使例例4. 設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上可導(dǎo), 且 ( )( )0,f af b( ,),ab 使使( )0.f 試證必存在 證證: 由條件不妨假設(shè)( )0,( )0f af b ( )( )0,fafb 而( )fa ( )( )limxaf xf axa ( )lim0,xaf xxa 由

8、極限的保號(hào)性由極限的保號(hào)性, 存在存在10, 當(dāng)1( ,)xa a 時(shí)，( )0.f x 同理存在20, 當(dāng)2(, )xbb 時(shí)，( )0.f x 任取1122( ,),(, ),xa axbb 則有12( ), , f xx xa b 在在上連續(xù)，且12() ()0,f xf x 從而由零點(diǎn)定理知結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 考慮：考慮： 設(shè) f (x) 在a, b 上二階可導(dǎo), 且 ( )( )0,f af b( ,),ab 使使( )0.f 試證必存在 ( )( )0,fafb 如何證明？如何證明？思路：（1證明在(a, b)內(nèi)存在f (x) 的零

9、點(diǎn)，于是f (x)有三個(gè)零點(diǎn)：, , .ab （2證明在(a, b)內(nèi)存在f (x) 的兩個(gè)零點(diǎn)；（3證明在(a, b)內(nèi)存在f (x) 的零點(diǎn)。例例5. 設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上可導(dǎo), 且 ( )( ),f af b ( ,),ab 使使( ).fk 之間的任一實(shí)數(shù)，試證必存在 證證:( )( )fafb 和和機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 k為介于 作輔助函數(shù)( )( ), , F xf xkxxa b 顯然F(x)在a , b可導(dǎo)，從而存在最大值 M 和最小值 m.( )( ),f akf b 不妨假設(shè)那么( )( )F afak ( )( )lim

10、xaF xF axa 0 由極限的保號(hào)性由極限的保號(hào)性, 存在存在10, 當(dāng)1( ,)xa a 時(shí)，( )( )0.F xF a ( )( ).F xF a 同理因?yàn)? )( )F bfbk ( )( )limxbF xF bxb 0 存在20, 當(dāng)2(, )xbb 時(shí)，( )( )0.F xF b ( )( ).F xF b 從而存在( , ),a b 使得( )Fm 由費(fèi)馬引理理知( )0,F 即( ).fk 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例6.,)(,)(內(nèi)可導(dǎo)，在，上連續(xù)在設(shè)babaxf且且,0ba 試證存在試證存在).(2)(fbaf使, ),(,ba證證: 欲證欲證,2)(

11、)(fbaf因因 f ( x ) 在在 a , b 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有故有),(, )()()(baabfafbf,)(2上滿足柯西定理?xiàng)l件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf將將代入代入 , 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得故有故有),(2)(fbaf),(,ba即要證即要證.2)()(22fababf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 例例7. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在)(xf),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且,)(Mxf證明證明在在)(xf),(ba內(nèi)有界內(nèi)有界. 證證: 取點(diǎn)取點(diǎn), ),(0bax 再取異于再取異于0 x的點(diǎn)的點(diǎn), ),

12、(bax對(duì)對(duì)xxxf,)(0在以為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理, 得得)()()(00 xxfxfxf)(0之間與界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定數(shù)定數(shù))可見(jiàn)對(duì)任意可見(jiàn)對(duì)任意, ),(bax,)(Kxf即得所證即得所證 .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 ,2)( xf例例8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在)(xf 1 ,0上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo), ) 1 ()0(ff且且證明證明. 1)( xf證證:, 1,0 x由泰勒公式得由泰勒公式得)0(f) 1 (f兩式相減得兩式相減得221221)()1)

13、()(0 xfxfxf 221221)()1)()(xfxfxf 221221)()1 ()(xfxf 22)1 (xx)1 (21xx 1,0,1x)(xfxxf)( 221)(xf ) 10() 10()1)()1)()(221 xfxxfxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 , 1 ,0)(上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在設(shè)函數(shù)xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一點(diǎn))(xf)(21之間與在其中x0 , 1 ,x由題設(shè)對(duì)由題設(shè)對(duì)證證:例例9.3121( )()3 !fx )(21f221)( x)(! 2121f 1122( )()fx有有)(

14、21f221)( x)(!2121f 3121( )()3 !fx (0, 1)證明內(nèi)至少存在證明內(nèi)至少存在且且得分別令, 1,0 x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 112(0, )12( )f122( ,1)3211)(! 3)( f3212)(! 3)(f 1(0)f)(21f22121)(! 2)( f2(1)f22121)(! 2)(f 1下式減上式下式減上式 , 得得)()(48112ff )()(48112ff 1( )24f(01)令令)(,)(max)(12fff 24)( f機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 完畢完畢 例例10. 求

15、求201lim(1sin )1xxxx解解: 原式原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 20(1sin )1limxxxx ln(1 sin)201limxxxex 20ln(1sin )limxxxx 20sinlimxxxx 1. 例例11. 求求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求極限。因?yàn)槔弥兄刀ɡ砬髽O限。因?yàn)闄C(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2lim(arctanarctan)1xaaxxx 221lim()11xaaxxx (1aaxx 在與之間）在與之間）22lim(1)1xxax x a所以原式所以原式= a .解法解法2

16、利用泰勒公式利用泰勒公式令,arctan)(xxf那么,11)(2xxf22)1 (2)(xxxf )()0()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox原式2lim nn)0()1arctan(arctanlim2ananann22112)() 1(limnnnonnnaa)1(2nona) 1(1(12nona機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 解法解法3 利用羅必塔法則利用羅必塔法則)0()1arctan(arctanlim2ananann原式2arctanarctan1lim1xaaxxx xt1令20arctanarctan1limtatattt 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

17、 返回 完畢 P139 B-3P148 B-3P176 10(2,4)此處不能使用洛必達(dá)法則.(0)0,(0)0,(0)ggg 且( ),0( ),0g xxf xxax 解解:例例12. 設(shè)設(shè) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 要使f ( x )在 x = 0 處連續(xù)，則應(yīng)有0(0)lim( )xaff x 存在，確定a 的值使f (x)在 x = 0處連續(xù)，并求出(0).f 0( )limxg xx 0lim( )xg x (0)0g 0( )(0)(0)lim0 xf xffx 0( )0lim0 xg xxx 20( )limxg xx 0( )lim2xg xx 01( )(0)l

18、im20 xg xgx 1(0).2g 二、二、 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用重點(diǎn)重點(diǎn)1. 研究函數(shù)的性態(tài):增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點(diǎn) , 漸近線 ,曲率2. 解決最值問(wèn)題 目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化 最值的判別問(wèn)題3. 其他應(yīng)用 :求不定式極限 ;幾何應(yīng)用 ;相關(guān)變化率;證明不等式 ;研究方程實(shí)根等.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例例1. 填空題填空題(1) 設(shè)函數(shù)上連續(xù)，在),()(xf的則)(xf其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點(diǎn)為 ;極大值點(diǎn)為 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示

19、提示:)(xf根據(jù)的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 單調(diào)增區(qū)間為 ;o2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx .在區(qū)間 上是上凸弧 ;拐點(diǎn)為 ),0(),(21xx)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可導(dǎo)性及根據(jù)的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是下凸弧; 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù)上可導(dǎo)，在),()(xf的圖形如圖所示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1xln)1ln()()(1xxxfxf例例2. 證明證明在xxxf)1 ()(1),0(上

20、單調(diào)增加.證證:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故當(dāng) x 0 時(shí),0)( xf從而)(xf在),0(上單調(diào)增.得例例3. 設(shè)設(shè)在)(xf),(上可導(dǎo), 且證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) . 證證: 設(shè)設(shè))()(xfexx那么 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上連續(xù)單調(diào)遞增, 從而至多只有一個(gè)零點(diǎn) .又因,0 xe因而)(xf也至多只有一個(gè)零點(diǎn) .考慮

21、考慮: 若題中若題中0)()(xfxf改為,0)()(xfxf其它不變時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)?)()(xfexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例4. 求數(shù)列求數(shù)列nn的最大項(xiàng) .證證: 設(shè)設(shè)),1()(1xxxfx用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1因?yàn)?(xf在),1只有唯一的極大點(diǎn),ex 因此在ex 處)(xf也取最大值 .又因,32 e442 且,33nn為數(shù)列故33中的最大項(xiàng) .極大值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 列表判別:. )0(1arctan)1ln(xxxx證證: 設(shè)設(shè)xxxxarct

22、an)1ln()1 ()(,那么(0)0,( )0,)xC 且且211)1ln(1)(xxx)0(0 x故( )0,)x 在在上單調(diào)增加 , 從而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx考慮考慮: 證明證明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5. 證明證明0)0(,0)( fxf例例6. 設(shè)設(shè) 證明對(duì)任意0,0ab有()( )( )f abf af b 證：證：0ab()( )( )f abf bf a 2()fa 21()() 0ffa()( )( )f

23、 abf af b 2(,bab不妨設(shè) ()( )( )(0)f abf bf af 10)a 1( )fa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例13. ,10:時(shí)當(dāng)證明 x.112xxex證證: 只要證只要證) 10(01)1 (2xxexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ,1)1 ()(2xexxfx設(shè)0)0(f則, 1)21 ()(2xexxf0)0( f) 10(04)(2 xexxfx利用一階泰勒公式, 得2!2)()0()0()(xfxffxf ) 10(0222xxe故原不等式成立.例例7. 證明當(dāng)證明當(dāng) x 0 時(shí)時(shí),.) 1(ln) 1(22xxx證證: 令令,) 1(

24、ln) 1()(22xxxxf那么0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf xx1, ) 1(2x法法1 由由)(xf在1x處的二階泰勒公式 , 得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所證不等式成立 .與 1 之間)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 法法2 列表判別列表判別:,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f1( )2 ln2xfxxxx 0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx時(shí)故當(dāng)即.) 1(ln) 1(22xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 法法3 利用極值第二判別法利用極值第二判別法.,0)(1的唯一根是易知xfx的唯一為)(1xfx 故0) 1