大學(xué)數(shù)學(xué)概率篇之隨機(jī)變量及其分布——隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1、 本節(jié)任務(wù)：本節(jié)任務(wù)： ), 2 , 1( npxXPnn,21nyyy, 2 , 1),( nxgynn一一 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)或或其中其中), 2 , 1( nxXPyYPnn), 2 , 1( npyYPnn由由或或【例【例1】，1591359 解解這些取值兩兩互不相同這些取值兩兩互不相同Y的取值為的取值為 0，1，4. 所以所以, PY=0=PX=1=0.1,【例【例2】且且 Y=0 對應(yīng)于對應(yīng)于 ( X-1)2=0， 解得解得 X=1， 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 具有以下的分布律，具有以下的分布律， pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4解解PY=

2、1=PY=4=pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，所以，Y=(X-1)2 的分布律為：的分布律為：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.42)1( XYPX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PX= -1= 0.2,的分布律為的分布律為設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X 為偶數(shù)為偶數(shù)若若為奇數(shù)為奇數(shù)若若XXXgY11的的分分布布律律求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量Y為奇數(shù)nnXPYP1012kkXP01221kk32為偶數(shù)nnXPYP102kkXP0221kk31Y-11P3231的分布律為所以，隨機(jī)變量Y解解 ，其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為是一連續(xù)型隨機(jī)變量，是一連續(xù)型隨機(jī)變量，

3、設(shè)設(shè)xfXX 隨機(jī)變量隨機(jī)變量也是連續(xù)型也是連續(xù)型，我們假定，我們假定的函數(shù)的函數(shù)是是再設(shè)再設(shè)YXXgY 的的密密度度函函數(shù)數(shù)求求的的是是yfXgYY 二二. .連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 的的分分布布函函數(shù)數(shù)先先求求XgY 的的密密度度函函數(shù)數(shù)求求關(guān)關(guān)系系之之間間的的的的分分布布函函數(shù)數(shù)與與密密度度函函數(shù)數(shù)利利用用XgYXgY , yFY yFyfYY yYP yXgP yxgXdxxf)()( ., 0, 40,8)(其它其它xxXfX【例【例3】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 具有具有概率密度：概率密度：試求試求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先

4、求 Y =2X+8 的分布函數(shù)的分布函數(shù) FY(y)：)(yYPyFY 82yXP 28 yXP 28.)(yXdxxf可可以以求求得得：利利用用)()()2(yfyFYY )(yfY 28.)(yXdxxf )(yFY ., 0, 4280,21)28(81其它其它yy)28()28( yyfX ., 0, 40,8)(其它其它xxXfX ., 0,168,328)(其它其它yyyfY 整理得整理得 Y=2X+8 的概率密度為：的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx 則則如果如果)()

5、()(,)()()(xxfxFdttfxFxa 則則如果如果說明說明),(xfX解：解：(1) 先求先求 Y = X 2 的分布函數(shù)的分布函數(shù) FY(y)：. 0)(0, 0120 yFyXYY時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)由于由于,020時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) y【例【例4】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 具有具有概率密度概率密度求求 Y = X 2 的概率密度的概率密度., x)(yYPyFY yXyP 2yXP yyXdxxf.)(得：得：及變限定積分求導(dǎo)公式及變限定積分求導(dǎo)公式利用利用)()()2(yfyFYY )(yfY)(yFY yyXdxxf.)(, 0),()(21 yyfyfyXX. 0 y00 y. 0)(0

6、yFyY時(shí)時(shí) . 0, 0, 0,21)(221yyeyyfyYXN(0,1),其概率密度為：其概率密度為：.,21)(22 xexx則則 Y = X 2 的概率密度為：的概率密度為：說明說明 )( yfY, 0),()(21 yyfyfyXX. 0 y0 定理定理則則 Y =g(X ) 是是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為其概率密度為 ., 0,|,)(|)()(其它其它yyhyhfyfXY其中其中 h(y) 是是 g(x) 的反函數(shù)的反函數(shù)，即，即 )()(1yhygx 此此時(shí)時(shí)仍仍有有：或或恒恒有有上上恒恒有有在在設(shè)設(shè)以以外外等等于于零零，則則只只須須假假在在有有限限區(qū)

7、區(qū)間間若若),0)(0)(,)( xgxgbabaxf).(),(max),(),(minbgagbgag 這里這里 ., 0,|,)(|)()(其它其它yyhyhfyfXY).(),(max),(),(min gggg證明： yhXPygXPyFY1因此， yhXdxxf ，的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量yFXgYY yXgPyYPyFY則有 加的函數(shù)是嚴(yán)格增，則由題設(shè)，不妨假設(shè)xgxg0上變化，在區(qū)間隨機(jī)變量上變化時(shí)，在區(qū)間由題設(shè)，當(dāng)隨機(jī)變量YX其中，gggg，maxmin yhXYdxxfyF時(shí)，當(dāng)因此，y yhXYdxxfdydyFyf所以， yhXYdxxfdydyFyf所以，時(shí)，當(dāng)因此，y

8、 是嚴(yán)格減少的函數(shù)，則若xgxg0 yhXdxxf yXgPyYPyFY yhXPygXP1 yhyhfX yhyhfX yhyhfX 的密度函數(shù)為綜上所述，得XgY yhyhfX 其它0yyhyhfyfXY 的密度函數(shù)的密度函數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量，試求，試求，設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量yfYeYNXYX 2解解：的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為，知知題題設(shè)設(shè)由由X xexfx22221【例【例5】 上上變變化化，在在區(qū)區(qū)間間，上上變變化化時(shí)時(shí)，在在區(qū)區(qū)間間并并且且當(dāng)當(dāng)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 0XeYX,嚴(yán)格增加函數(shù)嚴(yán)格增加函數(shù)為為xey 它的反函數(shù)為它的反函數(shù)為yxln 時(shí)時(shí)，所所以以，當(dāng)當(dāng) 0y yyfyfXY

9、lnln yy12lnexp2122 0002lnexp2122yyyyyfY的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量XeY X的概率密度為：的概率密度為：.,21)(222)( xexfxX 【例【例6】證證,)(baxxgy ,)(abyyhxy 的的反反函函數(shù)數(shù)為為：滿足定理的條件，滿足定理的條件，,)(axg .1)(ayh | )(|)()(yhyhfyfXY .)( ,2abaNbaXY 即有即有222)(21|1 abyea)(|1abyfaX .|2122)(2)(abayea 均勻分布，試求電壓均勻分布，試求電壓V的概率密度的概率密度.上上服服從從在在區(qū)區(qū)間間是是一一個(gè)個(gè)隨隨

10、機(jī)機(jī)變變量量相相角角是是一一個(gè)個(gè)已已知知的的正正常常數(shù)數(shù)其其中中設(shè)設(shè)電電壓壓 2,2,sin AAV解：解：）上恒有）上恒有，在（在（22,sin)( Agv【例【例7】, 0cos)( Axg,1)(22vAvh 以及以及,arcsin)(Avvh 且有反函數(shù)且有反函數(shù)的的概概率率密密度度為為： ., 0,22,1)(其它其它f ., 0,|,)(|)()(:其其它它利利用用定定理理的的結(jié)結(jié)論論yyhyhfyfXY,1)(22vAvh ., 0,11)(sin22其它其它的概率密度為：的概率密度為：得得AvAvAyfAVY1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)（分為函數(shù)值（分為函數(shù)值兩兩互不相同兩兩互不相同和和有相同的項(xiàng)有相同的項(xiàng)兩種情況）兩種情況） 直接求；或者如果是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)用定理求直接求；或者如果是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)用定理求 的密度函數(shù)的密度函數(shù)試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量，的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為隨機(jī)變量隨機(jī)變量設(shè)設(shè)yfYXYxfXYX 解解： yFYyFXYX的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為，隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為設(shè)