推理3.7立足三維超越三維抽象變自然

1、3.7立足三維超越三維抽象變自然1 公開課教學簡案課題：線性空間有關(guān)概念時間：1980。7.14 下午 2。00-3。40班級：江蘇電視大學無錫分?；そ虒W班教學目的：理解線性空間、子空間、基、維數(shù)、同構(gòu)等概念，會判斷一個集合對所指運算是否構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間、線性子空間，會確定維數(shù)與基。教學過程與內(nèi)容：一.考察下列集合：歸納它們的共性V i=|=(a , b,c ), a,b , c R，這是普通的空間向量的集合；V2= f|f=ax 2+bx+c,a , b, c R ，這是次數(shù)小于 3的多項式集 合；這些集合與實數(shù)數(shù)域，普通加法、數(shù)乘組成的四元組合(V, R,+,)滿足以下8條公理：(

2、Vi, R +, )(V, R,+, )加法交換律+ = +f+g=g+f結(jié)合律(+ )+ = +( + )(f+g)+h=f+(g+h)零元+0=f+0=f負兀+ (- ) =0f+(-f)=0數(shù)乘單位元1 =1 f=f結(jié)合律k (l ) = (k i)k( lf)= (k l )f數(shù)乘與加法分配律1(k+ l ) =k +1(k+ l ) f=kf+ l f分配律2k (+) =k +kk(f+g)=kf+kg類比，抽象出線性空間定義一般來說，線性空間是一個滿足以下 8條公理的四元組合(V, P, ®,* )，其中V是一個非空集合，P是一個數(shù)域，V上有一種代數(shù)運 算®，

3、叫做加法，P與V之間有一種運算*，叫做數(shù)量乘法，且滿足V, k,l P有:1.3.4.(+)+=+( +存在零元0 V,使得存在5. 1 *V,都有+0=；V,使得V,都有+(-)=0 ；6. k ( l )= (kl )7。(k+ l) =k +1小結(jié)：線性空間的抽象性、整體性、規(guī)律性、運算封閉性、元素答：復數(shù)集合、實數(shù)域、普通加法與數(shù)乘構(gòu)成線性空間。5.在四維實空間 R4中，求齊次方程組8 °k (+)=k +k 。三檢驗，在辨析與變式中深化概念1. 在Vi中限定c=0,或c=1，或b+2c=0 ,其他規(guī)定不變,是否還 構(gòu)成線性空間？答：c=0, b+2c=0時還是線性空間，只要

4、驗證+ , k仍然屬于Vi就可以了，即運算的封閉性；c=1時因為沒有零向量，不是線性空 間。2. 在V2中限定0,或a, b, c Z,其他規(guī)定不變，是否還構(gòu) 成線性空間？答：0時,沒有零多項式，且f+g不一定屬于 V2,不是線性空 間；a,b , c是整數(shù)時，對于實數(shù) k= 2 , kf 一般不屬于 V2,也不是 線性空間?？梢娋€性空間與數(shù)域有關(guān)系，而四元組合(V2, Q, +, )構(gòu)成線性空間。a b3 .所有二階矩陣 a b的集合在實數(shù)域上對于矩陣的加法與數(shù)c d乘是否構(gòu)成線性空間？答：可以對照8條公理，逐一驗證，構(gòu)成線性空間。4.四元組合(C, R, +,)是否構(gòu)成線性空間？無限性、與

5、數(shù)域有關(guān)性。四.推廣，定義 n維線性空間、子空間、基與維數(shù)的概念1. 四元組合(V R,+ , )構(gòu)成線性空間，其中乂= | = (X1, X2,x n), x i R,i=1 , 2,n。2 .定義基的概念，求V1、V2、所有二階矩陣、復數(shù)集合所構(gòu)成的線性空間的一個基。3 .定義維數(shù)概念，求V1、V2、所有二階矩陣、復數(shù)集合所構(gòu)成的線性空間的維數(shù)。思考：下列集合在怎樣的數(shù)域上構(gòu)成線性空間？求其一個基與維 數(shù)。1 . V=|是A的屬于°的特征向量;再添一個零向量呢？去掉“屬于° ”之后呢？2. V= f (x) | f (x)是次數(shù)小于n的多項式;若將“小于”改成 “等于”

6、呢？若f(x)是整系數(shù)多項式呢？若 f(x)是定義在a, b :上的連續(xù)函數(shù)呢？3. V= a + b爲 | a, b Q;若 a , b R呢？1 14. 證明V= B|BA=AB A= , V按矩陣運算構(gòu)成一個實線性0 1空間，并求它的基與維數(shù)。3x1 2x2 5x3 4x403x1 x2 3x3 3x403x1 5x213x311x40確定的解空間的基與維數(shù)，并判斷（-1,15，3， 3）是否屬于這個解空間。小結(jié)：判斷線性空間、子空間的一般方法?；灰欢ù嬖?，存在也不唯一；維數(shù)是唯一的，但與數(shù)域有關(guān)。五.比較，在對應的基礎上導出同構(gòu)概念同構(gòu)概念（簡明定義）2 .回顧與反思這是線性空間有關(guān)

7、概念是線性代數(shù)中最基本、最重要，也是最抽象的概念之一。而概念既是數(shù)學的實體，又是數(shù)學思維的工具；是濃縮的知識點，是數(shù)學內(nèi)容的基本點，是邏輯導出定理、公式、性質(zhì)、 法則的出發(fā)點，是建立學生認知結(jié)構(gòu)的著眼點；所以概念的學習是數(shù)學學習的核心，概念課的教學是教師落實基礎的關(guān)鍵，是學生打好基礎的首要環(huán)節(jié)。 概念課是數(shù)學教學中的一種主要課型。因此，采用行之有效的概念教學方法，突破抽象概念的理解， 對提高教學質(zhì)量至 關(guān)重要.高中數(shù)學里，我們學習了平面向量與空間向量，已經(jīng)看到采用向量的概念，直線、平面及其位置關(guān)系等幾何問題變得特別的簡單和清 楚.當我們把平面向量、空間向量推廣到廣義的n維向量時，自然應該聯(lián)想起

8、在研究空間圖形時形成的幾何里的直觀就是說我們應該立足三維，超越三維；眼觀三維，心懷n維，這樣抽象的概念就感到自然了。事實上，線性代數(shù)的概念正是從幾何直觀中抽象、推廣得來的，并且應用了幾何術(shù)語，這使我們有可能在線性代數(shù)的教學中利用基于 幾何直觀的類比。當然需要很小心地采用這種類比，要估計到只采用概念的定義以及證明了的定理嚴格地驗證幾何直觀的可能性。線性代數(shù)中的概念都應該尋求它的幾何類比，例如，n維向量中的n個有序數(shù)可以看作它在 n維空間的坐標軸上的投影；零向量可以 看作與坐標原點對應;n維向量可以象力、速度、加速度等物理向量那 樣進行加法和數(shù)乘運算；并且對于加法運算，交換律和結(jié)合律成立， 數(shù)乘的

9、分配律也成立； 加法運算是單值可逆的，向量的數(shù)乘積當且僅當這個向量是零向量或這個數(shù)等于零時才等于零向量；等等由此可見，用類比法進行線性代數(shù)概念的教學是恰當而必須的。與此同時，與向量集合類似的具有這些性質(zhì)的還有矩陣集合、一個變數(shù)的多項式的集合、在已知區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)的集合、線性齊次方程組的解的集合等等。歸納這些例子的共性，可以看到 進一步推廣向量空間的概念，即引進一般的線性空間， 是可行而有益的這種廣義空間中的元素可以是任意數(shù)學對象或物理對象，但對于最近拜讀了中國首批18名博士之一、博士生導師、北京航空航它們,可以用某種自然方式來定義加法和乘以數(shù)的乘法 而且，過渡到 線性空間概念這樣一個

10、一般而抽象的過程并不會帶來任何理論上的 困難，因為任何n維線性空間在結(jié)構(gòu)上和性質(zhì)上與幾何直觀的向量空 間沒有什么兩樣。但是這樣推廣之后，應用的范圍擴大了，運用線性 代數(shù)方法到很廣闊的自然科學理論問題上的可能性也增加了由此可見,用歸納法進行線性空間概念的教學也是恰當而必須的。這一堂課正是應用了歸納與類比的方法引入線性空間有關(guān)概念的引入概念只是數(shù)學概念的教學的第一步，概念教學一般都要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應用等階段，否則認 識的概念不夠完善，形成的概念也不鞏固概念課上必須通過具體例子，說明概念的內(nèi)涵與外延，認識概念的本質(zhì)；通過反例、錯解等檢 驗所認識的概念，在辨析與變式中深

11、化概念；然后在應用概念解決問題的過程中鞏固概念。數(shù)學概念是感性認識飛躍到理性認識的結(jié)果，而飛躍的實現(xiàn)要依據(jù)數(shù)學思想方法，經(jīng)過觀察、分析、類比、歸納、猜想、抽象、概括、 推廣等合情推理的邏輯加工。在概念教學中應注意將在解決問題的過 程中所涉及到的數(shù)學思想方法明顯化，對解決問題的思維策略進行提煉，讓學生學會思維，提高自我探索、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的能力。天大學理學院院長李尚志教授的 讓抽象變得顯然 一 建設國家精品 課程的體會一文，耳目一新 ，受益匪淺。李教授精辟的指出：抽象來 自于實際，來自于具體的例子。抽象的過程就是忽略差別的過程，從 不同的事情中發(fā)現(xiàn)共同點的過程，“由聰明而糊涂”的過程。從具體的實例中抽

12、象出線性空間的概念，不但使抽象的線性空間的定義的引 入比較自然，而且對于什么是數(shù)學的抽象、怎樣進行數(shù)學的抽象、怎 樣由直觀而不嚴格的想法建立嚴格的數(shù)學概念提供了一個重要的范 例，讓學生在以后的學習和研究中可以模仿。李教授舉了一個簡單的例子：初中的乘法公式（a-b） 2=a2+b2 2ab將字母a、b所代表的數(shù)的多少也忽略掉了，只關(guān)心它們的共同的運算規(guī)律更進一步的“糊涂”是：公式（a b） 2=a2+b2 2ab中的字母a、b可以不代表數(shù)而代表幾何向量， 將其中的 乘法理解為向量的內(nèi)積，公式照樣成立畫出有向線段來表示公式中向量，如圖：則公式（a-b ） 2=a2+b2-2a b的幾何意義就是:222I BA| = | CA| +|CB | 2|CA| | CB| cosC。這就是余弦定理！當C是直角時就是勾股定理！只不過一念之差，在乘法公式（a-b） 2=a2+b2 2a b中“難得糊涂”，將數(shù)與向量“混為 一談”，就立即得到了余弦定理和勾股定理，數(shù)學的抽象的威力由此可見一斑