數(shù)與代數(shù)課標(biāo)解讀

1、數(shù)與代數(shù)內(nèi)容分析與教學(xué)建議尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)，各位老師大家好！我是來自東小的數(shù)學(xué)教師賀蕾。首 先，感謝各級領(lǐng)導(dǎo)為我們提供本次交流、學(xué)習(xí)的機會。在這里我們?nèi)还ぷ髡?成員主要對“數(shù)與代數(shù)”這部分內(nèi)容，圍繞以下四個問題，和大家交流我們的 認(rèn)識及理解。在“數(shù)與代數(shù)”這領(lǐng)域中我們要研討的主要問題分別是：1. 如何建立“數(shù)”的概念？2. 如何處理運算教學(xué)中的算理與算法的關(guān)系？3. 如何在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡？4. 如何在正反比例教學(xué)中體現(xiàn)函數(shù)思想？ 我將重點和大家交流數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的數(shù)的認(rèn)識這個話題，主要圍繞“如 何建立“數(shù)”的概念？”和大家談?wù)勎覍π抡n標(biāo)的感悟。希望通過交流能夠引

2、發(fā)大家更多的思考和共鳴。 下面我們先進(jìn)入第一個話題的交流 問題一： 如何建立“數(shù)”的概念一、課標(biāo)中“數(shù)的認(rèn)識”有何變化 。數(shù)的概念是數(shù)的認(rèn)識這部分內(nèi)容當(dāng)中一個重要的內(nèi)容，那關(guān)于數(shù)的認(rèn)識在 新課標(biāo)當(dāng)中又有那些變化呢？整體來說新課標(biāo)中對數(shù)的認(rèn)識的要求變化和調(diào)整不大，主要是在第一學(xué)段 增加了“ 知道用算盤可以表示多位數(shù) ” 。這一要求主要還是考慮到咱們中國 文化的因素，以及許多專家學(xué)者和一線教師對珠算在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用問 題所提出的建議。在第二學(xué)段則重點強調(diào)了要加強對數(shù)的意義的理解。那教學(xué)中我們?nèi)绾谓?shù)的概念呢？怎樣把握這個教學(xué)重點呢？老師們在 實施這部分內(nèi)容當(dāng)中又要注意哪些問題呢？二、在建立

3、數(shù)的概念中要注意的問題 學(xué)習(xí)理解數(shù)的意義，建立正確的數(shù)的概念應(yīng)該說是我們認(rèn)識數(shù)的教學(xué)中重 要的任務(wù)之一，我們一般從兩個角度去理解數(shù)的意義， 一是從數(shù)的組成去理 解，通過組成理解數(shù)的大小和多少，加強對數(shù)的感知。二是聯(lián)系生活實際來體 會 ，通過在具體的現(xiàn)實情境中，理解數(shù)在生活實際中的意義，使抽象的數(shù)和具 體的量有機的結(jié)合，進(jìn)一步理解數(shù)的意義。在實際教學(xué)中 我們要把這兩種方式 有機地結(jié)合起來 ，這樣更有利于學(xué)生體會數(shù)的意義，建立數(shù)的概念。那么關(guān)于如何建立數(shù)的概念，在這里我們給大家提五點建議，供老師們參 考：因為整數(shù)教學(xué)的重點是在于是學(xué)生從數(shù)量抽象到數(shù)，而抽象就離不開直觀 的現(xiàn)實的情景做支撐，所以第一

4、點要提到的就是：1、注重借助具體情境理解數(shù)的意義 學(xué)生對數(shù)并不陌生，在入學(xué)之前，學(xué)生已對具體的數(shù)有了比較豐富的感 知，他們會讀、會寫，會說一些具體的數(shù)。我們在教學(xué)中就要關(guān)注從現(xiàn)實情景 抽象出數(shù)的過程，例如從具體的 2 頭牛， 2 個人， 2 個小櫻桃等等，抽象為 2 這個數(shù)。這時用一個數(shù)字也是一個特殊的符號來表示數(shù)量，已經(jīng)把具體的單位 和這個數(shù)量的具體含義去掉，抽象為數(shù)“ 2 ”。反過來， 2 可以表示任何具 有 2 這樣數(shù)量特征的事物，例如 2 只鉛筆， 2 個人、 2 只小動物等等，隨 著教學(xué)的深入，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)的豐富含義，比如計數(shù)的數(shù)、數(shù)量的 數(shù)、度量的數(shù)和計算的數(shù)。也就是說在教

5、學(xué)中我們要讓孩子經(jīng)歷從生活具體到數(shù)的抽象的過渡，然后 再由抽象到具體的一個過程。2、注重借助動手操作理解數(shù)的意義 我們還可以通過非常熟悉的計數(shù)器，小棒等等這些教具和學(xué)具，讓孩子通 過數(shù)一數(shù)，擺一擺，圈一圈、畫一畫，來感受具體的數(shù)量。3 、注重借助多種模型理解數(shù)的意義在數(shù)的認(rèn)識過程中，我們要注意運用多種模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義建立 數(shù)的概念，比如說：計數(shù)器、數(shù)位桶，方格圖、數(shù)位順序表等，這樣逐漸建立 起抽象的數(shù)和現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且能夠知道這個大小和現(xiàn)實中的多 少之間的關(guān)系，這也是數(shù)感很重要的本質(zhì)問題。下面我們給老師舉個例子，就 以方塊模型為例，比如說： 10 個一是十， 10 個十是一

6、百， 10 個一百是一 千，10個一千是一萬，通過幾何圖形的點、線、面、體，使學(xué)生在頭腦 中建立“一、十、百、千”的映像，同時建立十個千就是一個萬，在學(xué)生的頭 腦中建立一個清晰的模型“滿十進(jìn)一”，對于學(xué)生理解基數(shù)單位和位值制是有 很大好處的。其實，在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識中我們也可以借助多種模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意 義。首先，分?jǐn)?shù)面積模型就很好的幫助孩子們理解分?jǐn)?shù)的意義，教材中呈現(xiàn)了 部分和整體的關(guān)系表示分?jǐn)?shù)，如一個圓平均分成四份，一份就是整體的 1/4 ，引 導(dǎo)孩子理解分?jǐn)?shù)的意義呈現(xiàn)了許多面積模型；還有一種分?jǐn)?shù)集合模型，分?jǐn)?shù)集 合模型與面積模型有著密切的聯(lián)系，它是用子集和全集表示分?jǐn)?shù)。不過從理解 上看，

7、集合模型更難，水平上升了一層。難就難在單位一不再是一個整體，而 是把幾個或更多的物體看成一個整體，所取的一份也不再是一個，可能是幾個或更多。這就需要孩子有更高程度的抽象能力。核心在于把整體看做一個整 體，孩子們的認(rèn)識更抽象了；在分?jǐn)?shù)教學(xué)當(dāng)中，數(shù)線模型也是孩子們認(rèn)識分?jǐn)?shù)的一個更高水平的體現(xiàn)， 從面積模型到有序地排列在一起，就抽象出了數(shù)軸，在數(shù)線上找到分?jǐn)?shù)的對應(yīng) 點，每個分?jǐn)?shù)都有了位置感。反過來，每個分?jǐn)?shù)又能找到相對應(yīng)的點；分?jǐn)?shù)墻 對幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)意義上也發(fā)揮著形象直觀的作用，尤其對分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù) 單位的個數(shù)，簡單的分?jǐn)?shù)加減法，分?jǐn)?shù)墻讀能發(fā)揮很大的作用。這些模型在幫 助學(xué)生理解數(shù)的概念起到了很好

8、的作用。剛才說了 3 點要注意的問題，下面說一說第四點，也就是在數(shù)的概念建立的 過程中最重要的一點。4、注重把握核心概念理解數(shù)的意義 老師們都不陌生的，一說到數(shù)的認(rèn)識，位置制，也就是十進(jìn)制計數(shù)法，包 括數(shù)位，計數(shù)單位等一系列都是孩子們在認(rèn)數(shù)過程當(dāng)中老師應(yīng)當(dāng)重點講解的核 心概念，所以在這里還是要給老師們提出幾點想法：第一點就是（ 1 ）重視 10 的概念的建立10 的認(rèn)識應(yīng)當(dāng)說是學(xué)生認(rèn)識整數(shù)的一個重要基礎(chǔ)，因此在教學(xué) 10 的認(rèn)識 時，我們一定要注意要讓學(xué)生在親自動手操作當(dāng)中去感受到由 9 再加 1 變成 10 的過程，在這里小棒的作用是相當(dāng)重要的，可以通過數(shù)、擺、捆、撥、說等 活動，讓學(xué)生感受

9、 10 個一是 1 個十。在后續(xù)教學(xué)當(dāng)中， 比如 11-20 各數(shù)的 認(rèn)識中仍然要關(guān)注 10 的概念的建立，讓學(xué)生體會滿十進(jìn)一的過程。在這里給 大家舉個例子吧：比如在教學(xué) 1120的認(rèn)識時，為了凸顯 10 的作用，教師可設(shè) 計擺小棒的活動，怎樣擺一眼就能看出是多少根小棒呢？那肯定是 10 根一捆的 容易看出，如果有學(xué)生不認(rèn)可，我們可以做個小游戲，同樣 13 根小棒，一種擺 法是零散擺的，另一種是 10根一捆，再擺 3 根，2 秒鐘看誰能快速數(shù)出小棒的根 數(shù)，那肯定是 10根一捆這種擺法數(shù)得快，由此讓學(xué)生感受了 10 的作用。我想在我們的教學(xué)當(dāng)中為了幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法和位置制，我們還 要重

10、視計數(shù)單位的建立，這就是第二點建議：（ 2 ）重視計數(shù)單位： 為幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法和位置制，要重視數(shù)計數(shù)單位 逐步建立新的 計數(shù)單位， 10 個一是 1 個十， 10 個十是一百， 10 個百是一千， 10 個千是一 萬， 10 個萬是十萬， 10 個十萬是一百萬， 10 個百萬是一千萬，從而引出新的 計數(shù)單位十萬，在一個單位、一個單位地數(shù)的活動中，學(xué)生充分體會每數(shù)滿 10 個單位就產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位，感受了兩個相鄰計數(shù)單位間的進(jìn)率是十。計數(shù)單位是數(shù)的核心，也是非常重要的一個概念，要讓孩子親身經(jīng)歷這樣 數(shù)的一個過程，而不是把它作為一個事實，讓孩子記住就可以了，經(jīng)歷過程很 重要。（3）重

11、視數(shù)位和位置制的理解 說到數(shù)位，大家都不陌生，為了表示更大的數(shù)，數(shù)位的概念的建立是必要 的，認(rèn)識個位，十位，百位，千位，萬位等不同數(shù)位，理解不同數(shù)位上的數(shù)字 表示的是大小不同的數(shù)，這對于孩子們理解整數(shù)概念是必須的，讓孩子們必須 清楚的了解同樣是這樣一個數(shù)字，比如 3，在個位上，就表示 3 個一，在十位 上，就表示 3 個十，在百位上就表示 3 個百，就把剛才孩子們在數(shù)數(shù)的 大小的 感覺用位置簡潔明了地表示出來。剛才說到要重視數(shù)位和位置制的理解，那所謂的位置制其實就是相同的計 數(shù)符號由于它所處的位置不同，它表示的數(shù)的大小就不同，有了位置值，可以 說就是用有限的數(shù)字來表示無限的數(shù)，應(yīng)該說位置值是記

12、錄歷史上一個創(chuàng)造， 一個奇跡。馬克思在他的數(shù)學(xué)手稿當(dāng)中就稱十進(jìn)位置值計數(shù)法為最妙的發(fā)明 之一，這也是人類文明的一個精華。（ 4 ）重視數(shù)位順序表的使用隨著認(rèn)識的數(shù)越來越大教師應(yīng)不斷擴充完善數(shù)位順序表，從認(rèn)識 20 以內(nèi) 的數(shù)起就讓學(xué)生了解個位和十位，認(rèn)識百以內(nèi)數(shù)時補充認(rèn)識百位，在認(rèn)識萬以 內(nèi)數(shù)的時候第一次出現(xiàn)了數(shù)位順序表，在認(rèn)識整數(shù)的最后一個單元里學(xué)生將認(rèn) 識萬級和億級的數(shù)以及比億更大的數(shù)。數(shù)位順序表可以分兩次擴展，先擴展到 萬級，再擴展到億級。數(shù)位順序表有助于學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法，理解數(shù)的意 義并掌握讀、寫數(shù)的方法。剛才在數(shù)概念的建立的第 4 點建議“注重把握核心概念理解數(shù)的意義”中， 我講

13、了四個關(guān)鍵的著力點。關(guān)于如何建立數(shù)的概念，還有最后一點建議：5、注重在循序漸進(jìn)中理解數(shù)的意義 學(xué)生對數(shù)概念的理解絕不是一蹴而就的，需要一個循序漸進(jìn)的過程，其實 教材的編排也體現(xiàn)了這個原則，比如說自然數(shù)，從 10 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，然后到 11 20 各數(shù)的認(rèn)識，百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，甚至到萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，億以內(nèi)數(shù)的認(rèn) 識，到大數(shù)的認(rèn)識都是遵循這種原則的。再比如小數(shù)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識也是這樣的： 從初步認(rèn)識，到小數(shù)分?jǐn)?shù)意義的理解，那么學(xué)生的認(rèn)識也是在這種不斷地螺旋 上升的過程當(dāng)中來逐漸形成的，因此在教學(xué)當(dāng)中我們要注重把握好每一階段我們所要完成的任務(wù)那我們就以分?jǐn)?shù)的認(rèn)識的五個階段來說明，我們共同來看一下：第一階段

14、平均分，二年級時就認(rèn)識，它對認(rèn)識分?jǐn)?shù)起著至關(guān)重要的作用；第二階段在分 數(shù)初步認(rèn)識的教學(xué)當(dāng)中要幫助學(xué)生建立部分與整體關(guān)系的認(rèn)識，讓孩子去感受 分?jǐn)?shù)；第三個階段是在分?jǐn)?shù)意義和基本性質(zhì)的教學(xué)當(dāng)中要重點使學(xué)生理解分?jǐn)?shù) 的比率和度量這兩個維度，比率也就是分?jǐn)?shù)，它不僅表示數(shù)，比如 1/2 米， 3/5 千米，還表示一種關(guān)系，即部分與整體的關(guān)系，如把一個原平均分成 4 份，每份 就是它的 1/4 ，還有部分與部分的關(guān)系，如妹妹有 3 個蘋果，姐姐有 5 個蘋果， 那妹妹的蘋果就是姐姐的 3/5 。這樣就是讓孩子從不同方面加深對比率維度的理 解。度量是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積，比如 3/4 里面有 3個

15、 1/4 ，實際 上就是將 1/4 作為單位來度量 3 次的結(jié)果，著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過“數(shù)起 源于數(shù)，量起源于量”，所以對度量的研究可以大大的豐富學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn) 識，那么度量維度的體驗也直接作用于分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)當(dāng)中去；第四個階段 就是在與除法的關(guān)系的教學(xué)當(dāng)中重點發(fā)展學(xué)生對分?jǐn)?shù)運作的理解，“運作”主 要是將分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為運算的過程；到了第五個階段就是在分?jǐn)?shù)的運算和解 決問題的教學(xué)當(dāng)中要鼓勵學(xué)生綜合運用對分?jǐn)?shù)意義理解的多個維度。其實這五個階段并不是孤立的，更不是線性的排列的。所以我們在教學(xué)當(dāng) 中不能僵化的理解為到了這個階段就必須或者是只能達(dá)成對某個維度的學(xué)習(xí)， 在這五個階段要不斷的幫助學(xué)

16、生去完成對分?jǐn)?shù)的意義的認(rèn)識，來共同幫助學(xué)生 實現(xiàn)對分?jǐn)?shù)意義理解的不斷地發(fā)展和整體的建構(gòu)的這樣一個過程?？傊?，數(shù)的 認(rèn)識是一個循序漸進(jìn)的過程，需要我們老師在日常的教學(xué)當(dāng)中系統(tǒng)的進(jìn)行教學(xué) 設(shè)計，這樣才能讓學(xué)生真正理解，熟練的運用。我感覺就分?jǐn)?shù)這一個概念，其實孩子的認(rèn)識是一個全面的過程，剛才提到 了一個詞叫整體建構(gòu)，我想作為老師首先應(yīng)該對每一個核心的數(shù)的概念有一個 整體的認(rèn)識，才能夠全面布局，有的放矢，在不同的課時當(dāng)中達(dá)到不同的目 的，也就是吳老師說的專業(yè)的讀教材。那關(guān)于如何建立數(shù)的概念這部分教學(xué)，接下來我結(jié)合剛才的講解給老師們 提一些具體可行的教學(xué)建議：三、建立數(shù)概念教學(xué)的具體建議（一）在數(shù)認(rèn)識中

17、體現(xiàn)數(shù)感。 數(shù)感的建立非常重要，教師要設(shè)計多種活動 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。（二）整體把握內(nèi)容之間的聯(lián)系： 兩個學(xué)段相關(guān)內(nèi)容的整體把握和遞進(jìn)與 銜接。（三）鼓勵學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，關(guān)注數(shù)的應(yīng)用。關(guān)于數(shù)的認(rèn)識包括從數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用；其中數(shù)的應(yīng)用不僅僅是一條 主線，而且滲透在整個學(xué)習(xí)中。教學(xué)中要提供機會鼓勵學(xué)生運用數(shù)來表示日常 生活中的一些事物，并進(jìn)行交流。第一個問題“如何建立數(shù)的概念”我就和大家交流到這，下面請聶秀 琴老師繼續(xù)和大家交流第二個問題“如何處理運算教學(xué)中的算理與算法的關(guān) 系？”下面由我和大家交流第二個話題。二、如何處理運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。大家都知道，在我們

18、小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，孩子們伴隨對整數(shù)，分?jǐn)?shù)和小 數(shù)的陸續(xù)的認(rèn)識，還要系統(tǒng)學(xué)習(xí)加減乘除的運算法則，甚至還有綜合在一起的 綜合運算，那有關(guān)數(shù)的運算這部分教學(xué)內(nèi)容老師們都不陌生，都是傳統(tǒng)的內(nèi) 容，但在我們以往的教學(xué)當(dāng)中，一提到運算，似乎就是教會孩子們怎么算，孩 子們只要算對就好了，要是算的又對又好就更好了，只要結(jié)果對就達(dá)到教學(xué)目 標(biāo)了。那在我們課標(biāo)的修訂版當(dāng)中對這部分教學(xué)內(nèi)容又有哪些新的要求呢？當(dāng) 我們面臨著算理與算法如何有機結(jié)合的時候，還是我們教師師教學(xué)當(dāng)中的一個 難點，那首先我先圍繞課標(biāo)這部分內(nèi)容的變化之處跟大家進(jìn)行交流。一、課標(biāo)對“數(shù)的運算”有什么新要求 新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)

19、當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運算能力。 那什么是運算能力呢？其實運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn) 行運算的能力。 培養(yǎng)運算能力其實非常有助于學(xué)生理解運算的算理，從而尋求 合理簡潔的運算途徑解決問題。也就是說學(xué)生不僅要會算，更要關(guān)注算理的理 解。孩子如果掌握算理了，在運算的時候就會合理的選擇，去運用了。同時在 課標(biāo)解讀中也強調(diào)“應(yīng)當(dāng)?shù)瘜\算的熟練程度的要求。注重選擇正確的計 算方法，準(zhǔn)確地得到運算結(jié)果，比運算的熟練程度更重要，更有價值。所以我 們應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運算的結(jié)果，而不 是單純地看運算的速度?！边@一目標(biāo)的提出就要求教師在數(shù)的運算教學(xué)中，不 能僅僅關(guān)注于

20、學(xué)生運算技能的掌握，更要注重學(xué)生理解算理、掌握算法的學(xué)習(xí) 過程，也就是在教學(xué)中要注重將算理與算法有機的結(jié)合在一起，從而發(fā)展學(xué)生 的運算能力。這樣看來，雖然速度要求降低了，其實目標(biāo)要求更多元了，對孩子綜合能 力的要求更高了，也就是更關(guān)注孩子的思維發(fā)展了。其實學(xué)習(xí)數(shù)的運算的過程 就是發(fā)展邏輯思維、能力的過程，因為學(xué)生學(xué)習(xí)理解和掌握數(shù)的運算的內(nèi)容的 時候，它首先要經(jīng)過從具體到抽象，然后再從感性到理性的這樣一個過程。當(dāng) 他掌握了以后又要把這些知識應(yīng)用到實際當(dāng)中去，在應(yīng)用的過程當(dāng)中其實他又 要經(jīng)過一個由一般到特殊的這種演繹的過程。因此數(shù)的運算的學(xué)習(xí)確實有利于 發(fā)展學(xué)生的思維能力。這就需要我們教師在教學(xué)過

21、程當(dāng)中不僅僅要關(guān)注結(jié)果關(guān) 注方法，其實更要關(guān)注的是得到結(jié)果和得到方法的思維過程，這個思維過程其 實就是學(xué)生理解算理、掌握算法的過程。那小學(xué)生其實仍然是以直觀形象思維 為主的，可是算理算法呢，又十分的抽象，因此如何去結(jié)合學(xué)生的思維特點去 處理好運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系往往就是我們教學(xué)的難點所在。那我們可 以結(jié)合學(xué)生的年齡特點借助生動有趣的童話情境、借助直觀模型、借助學(xué)生已 有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，處理好運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。那在這里我結(jié)合具體的課例跟老師們交流三個策略。二、如何處理運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系 策略一、借助生動有趣的童話情境，處理好運算教學(xué)中算理與算法的 關(guān)系。小學(xué)生，尤其

22、是低年級的學(xué)生，他們更多的是以形象思維為主，因此創(chuàng)設(shè) 生動有趣的童話情境，不僅能夠很好地調(diào)動他們的學(xué)習(xí)積極性，更能夠借助童 話情境幫助他們理解算例、掌握算法。在這里我和老師們分享我的一個教學(xué)案例：在教學(xué) 20 以內(nèi)進(jìn)位加法 一課 中，我就為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了學(xué)生喜愛的小動物上車的童話情境來幫助學(xué)生理解進(jìn)位 加的算理。首先孩子們看到了車上一共有 10 個座位，有 9 只小動物坐上來了， 這時又來了 5 只小動物，那么現(xiàn)在一共有多少只小動物呢？這樣就引出了 9+5=？這時孩子們借助自己喜歡的情景立刻就會想到把 5 分成 1 和 4，那這個 “1”自然而然就產(chǎn)生了，孩子們覺得得讓一只小動物先坐上去，這樣10

23、 個座位就滿了，就由剛才的 9+5 通過分析要把 5 分成 1 和 4，于是孩子就轉(zhuǎn)化成了 10+4=14。這樣的一個情境學(xué)生在輕松、愉悅的童話情境中，順利的理解和掌握 了進(jìn)位加的算理與算法。這 10 個座位的設(shè)計，幫助孩子在解決小動物們坐車的問題當(dāng)中就理解了這 個 9+5 怎么變成 10+？，而且是為什么是 10+？，很符合小學(xué)生的年齡和心理需 求以及他們的思維特點，這樣就使枯燥的數(shù)學(xué)變得生動有趣，讓抽象的算理變 得直觀形象，使學(xué)生在明理中順利、自然而然的掌握了算法。低年級學(xué)生更多的是以形象思維為主，我們可以借助學(xué)生喜歡的童話情 景、生活情景來幫助學(xué)生理解算理與算法，那到了中高年級我們就可以

24、借助一 些直觀模型來幫助孩子處理好運算教學(xué)當(dāng)中理與法的掌握。策略二、借助直觀模型，處理好運算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 下面還是結(jié)合一個課例來和老師們交流： 皇城根小學(xué)史冬梅老師上的兩位數(shù)乘兩位數(shù)一課中，史老師就很好的結(jié) 合三年級學(xué)生的思維特點，借助直觀模型較好地處理了算理與算法的關(guān)系。史 老師在這節(jié)課上沒有將會寫“豎式”作為最終的教學(xué)目標(biāo)，而是在學(xué)生已經(jīng)能 夠初步掌握豎式計算方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探尋方法背后的道理。并提供給 學(xué)生直觀的點子圖作為研究素材，在研究中，學(xué)生們呈現(xiàn)了豐富多彩的成果。 雖然學(xué)生們的分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一致的，這一點恰恰 就是乘法豎式運算的基本思路。在

25、這之后，史老師再次將分點子圖與豎式進(jìn)行 了對應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生一步步深入地理解豎式計算中每一個細(xì)節(jié)背后的道理?！胺?點子圖”不僅給學(xué)生創(chuàng)造了積累活動經(jīng)驗的寶貴機會，同時又使學(xué)生能夠借助 直觀模型，較好的理解了兩位數(shù)乘法算法背后的道理。其實在我們以往的教學(xué)中，并不太重視引導(dǎo)學(xué)生探索計算的過程，或者當(dāng) 學(xué)生剛剛探索出方法后，就立即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式，在學(xué)生對豎式運算的每個 環(huán)節(jié)沒有真正理解的情況下就開始追求計算方法。這就很可能造成學(xué)生在沒有 真正理解道理的情況下，只能靠記憶法則來習(xí)得方法和技能。這顯然對學(xué)生的 發(fā)展是不利的，那史老師這節(jié)課恰恰是為學(xué)生真正地、扎扎實實地經(jīng)歷理解的 過程提供了鮮活而典型的案例

26、。所以在教學(xué)中教師要舍得拿出時間讓學(xué)生有機 會經(jīng)歷，有機會感受，有機會理解，有機會創(chuàng)造。新的課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確提出 了學(xué)生活動經(jīng)驗的目標(biāo)，它背后深遠(yuǎn)的意義還需要廣大教師在自己的實踐中開 動腦筋，深入挖掘，潛心感悟。老師們，剛才我們介紹的兩位數(shù)乘法的這個案例是借助直觀模型來幫幫 助孩子們理解算理和算法，那是不是所有的計算課都要借助直觀模型呢？當(dāng)然 不是這樣的。應(yīng)該說直觀模型確實是在幫助學(xué)生理解算理、掌握算法這方面發(fā) 揮了很大的作用，但是我們還要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容借助學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗、 生活經(jīng)驗來理解算理與算法的關(guān)系。策略三、借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，處理好運算教學(xué)中算理與 算法的關(guān)系。我們

27、還是結(jié)合一個案例來說明：北京小學(xué)于萍老師曾經(jīng)上過的小數(shù)加減 法一課，在這節(jié)課中于老師就是借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，幫助學(xué) 生理解小數(shù)加減法的算理。于老師讓學(xué)生自主進(jìn)行編題，看誰能編出新情況， 其中就有一名學(xué)生編出了一道 0.8+3.74= ，老師們一看就能敏銳的捕捉到，這 是一個一位小數(shù)加兩位小數(shù)，這種類型將要揭示的“小數(shù)點對齊”是本節(jié)課的 重點所在，也是小數(shù)加減法處理算法講算理的重要時機。為了讓學(xué)生有機會調(diào) 動已有的整數(shù)加減法的認(rèn)知經(jīng)驗，經(jīng)歷判斷、推理、抽象的思維過程，于老師 就讓每個學(xué)生自己試做，并說明自己這樣做的道理。當(dāng)孩子試做完成后，于老 師就問孩子們：整數(shù)加減法都是把末位的數(shù)

28、字對齊，可這道題為什么不末位對齊呢？ 有的孩子就說：整數(shù)的末位是個位，末位對齊也就是個位對齊了。而小數(shù) 的末位不一定是相同的，所以不能末位對齊。此時老師的這個問題就引發(fā)了他 的辨析和思考。還有的孩子說：把小數(shù)點對齊，也就是相同數(shù)位對齊了。 看來孩子對方法 有了理解了。除此之外還有的孩子說：如果不把小數(shù)點對齊，而把末位對齊的話，十分 位的 8 就和百分位的 4 對齊了，相加之后肯定就不對了。那這時其實孩子已 經(jīng)對計數(shù)單位有了理解了。 正是在這個問題的引導(dǎo)下孩子們思維得到了碰撞，還有的孩子說：我舉個例子說吧，比如買兩樣?xùn)|西，一個是 0.8 元，也就 是 8 角，另一個 3.74 元，也就是 3 元

29、 7 角 4 分，如果把末位的 8 和 4 相加， 就是用 8 角加 4 分，那肯定不對了。 孩子們一下就明白了為什么這樣算，淺 顯的例子說明了深奧的道理。所以正是在這樣的探究過程當(dāng)中孩子們從小數(shù)點 對齊這個方法探尋到了背后相同數(shù)位對齊的道理，以至于深入的理解到了計數(shù) 單位在計算當(dāng)中的作用。那小數(shù)加減法在小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)這個學(xué)習(xí)領(lǐng)域當(dāng)中到底占有什么樣的位 置？我們又如何把握他與整數(shù)加減法的關(guān)系呢？在這節(jié)課上，我們又如何呈現(xiàn) 知識的本質(zhì)，去抓住核心的概念進(jìn)行教學(xué)呢？我想于老師的教學(xué)實踐很好的回 答了這個問題。于老師在引導(dǎo)學(xué)生在探究小數(shù)加減法的過程當(dāng)中于老師始終抓 住了本節(jié)課知識的“魂”實施教學(xué)，

30、她沒有滿足學(xué)生能正確地計算出結(jié)果，而 是步步深入引導(dǎo)學(xué)生逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，來引發(fā)學(xué)生對小數(shù)加減計算道理的 深刻理解，也就是：小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的本質(zhì)意義是一致的，即相同的 計數(shù)單位相加減。像這樣，將“講理”與“明法”有機的結(jié)合，讓學(xué)生在理解 算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，掌握算法，有助于學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)核心概念， 才能夠更好地 實現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力”的目 標(biāo)。在剛才這個案例當(dāng)中提到了數(shù)學(xué)核心概念，那數(shù)的運算當(dāng)中核心概念到底 有哪些呢 ?我想無論是整數(shù)小數(shù)還是分?jǐn)?shù)的運算，其背后最核心的概念就是計數(shù) 單位。整數(shù)和小數(shù)運算當(dāng)中的末位對齊也好，小數(shù)點對齊也好，其實都是在

31、統(tǒng) 一計數(shù)單位，在計數(shù)單位相同的情況下，其實我們在算的就是計數(shù)單位的個 數(shù)。而分?jǐn)?shù)運算同樣也凸顯了這個特點，比如說同分母分?jǐn)?shù)相加減，為什么分 母不變，分子相加減，就是計數(shù)單位是相同的，那到了異分母分?jǐn)?shù)要先通分， 其實通分的目的也就是要統(tǒng)一計數(shù)單位。所以說從這一點來看，應(yīng)該說抓住了 計數(shù)單位的教學(xué)，也就是抓住了數(shù)的運算的教學(xué)的核心。因此運算教學(xué)要講理法融合，只有讓學(xué)生真切的理解了每一種運算背后的 道理，才能夠讓孩子更好的掌握算法，同時呢，也只有抓住了這種不變的理， 學(xué)生們才能夠可以具備自主探索運算方法甚至是創(chuàng)造性的選擇運算方法的意識 和能力。新課程標(biāo)準(zhǔn)中對課程內(nèi)容也有這樣的表述，就是課程內(nèi)容要反

32、映社會 的需要，數(shù)學(xué)的特點要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，我想他不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也 包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程，以及蘊含著數(shù)學(xué)思想方法的一個重要的方面，那課 程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實際，要有利于學(xué)生的思考和探索，這種組織要注 重過程，處理好過程和結(jié)果的關(guān)系。剛才我們的這個案例就是要向老師說明就 是在以往比較重視結(jié)果的教學(xué)當(dāng)中如何把握好孩子們經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程。剛才在數(shù)的運算教學(xué)這個專題和大家進(jìn)行了交流，在這個專題的最后圍繞 著數(shù)的運算給老師們提一些教學(xué)方面的建議：三、對“數(shù)的運算”教學(xué)的建議（一）處理好算理直觀與算法抽象的關(guān)系。這個理是學(xué)生不容易理解的，教師可以通過現(xiàn)實情境、直觀的圖、學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)等

33、幫助學(xué)生去理解。（二）處理好算法多樣化與算法優(yōu)化的關(guān)系。算法多樣化，要關(guān)注學(xué)生的個性，可能這個學(xué)生適合這樣的方法，那個學(xué)生喜歡另一種方法，但是它們背 后的道理是一樣的，老師要想辦法通過不同的方法，讓學(xué)生去理解這個道理，使學(xué)生能夠更有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。（三）處理好技能訓(xùn)練與思維訓(xùn)練的關(guān)系。它不是一種單純的、機械的、做題量的積累，在這個過程當(dāng)中，要注重幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，發(fā)展思維。（四）注重計算與日常生活以及解決問題的聯(lián)系。學(xué)習(xí)加減乘除的計算，最終要為解決問題服務(wù)，在解決問題過程中，讓學(xué)生體會到計算方法的實際價 值。以上就是我對前兩個問題的感悟理解，下面請趙麗君老師和大家談?wù)勱P(guān)于 方程教學(xué)如何滲透代

34、數(shù)思想三、如何在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡 下面我和老師們一起交流第三個話題：如何在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從 算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡 ？有的老師也說這叫如何滲透代數(shù)思想。老師們都非常清楚：數(shù)學(xué)思想方法呢，應(yīng)該說它是人們對數(shù)學(xué)知識和本質(zhì)規(guī)律的認(rèn)識，也是我 們分析、處理與解決數(shù)學(xué)問題的根本途徑。那么代數(shù)思想方法呢，它是數(shù)學(xué)思 想方法當(dāng)中最重要的內(nèi)容之一，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的重要的素材。那么到底什么是這種代數(shù)思想呢？我想在這里簡單地跟老師們做一個解 讀。代數(shù)思想是運用字母來代替具體數(shù)值進(jìn)行思考的一種思維形式。它是一種 特殊的抽象思維形式。老師們都知道，算術(shù)是“數(shù)”的運算，而

35、代數(shù)則是“式”的運算，這也是算術(shù)與代數(shù)的一個根本的區(qū)別，一個差異。算術(shù)它應(yīng)該是代數(shù)的基礎(chǔ)，沒有算術(shù)那么孩子們很難去理解代數(shù)中的很多 的知識及一些核心的東西，所以說算術(shù)是代數(shù)的基礎(chǔ)。而方程呢，則是我們代 數(shù)的一個主題。所以有關(guān)方程的教學(xué)也自然而然的就跟代數(shù)思維，和這樣的一 個思維水平緊密的掛起鉤了。算術(shù)思維方法應(yīng)該說它主要是從具體問題的已知數(shù)出發(fā)，通過對已知數(shù)或 計算產(chǎn)生的中間數(shù)來進(jìn)行的一系列的計算而達(dá)到問題的解。思考的過程往往是 從已知數(shù)出發(fā)，最后達(dá)到未知數(shù)。它建立在數(shù)的運算之上的。而方程的思想方法呢，它是從設(shè)立未知數(shù)出發(fā)，根據(jù)未知數(shù)所應(yīng)滿足的條 件，把問題表示為含有未知數(shù)的等式，也就是建立我

36、們的數(shù)學(xué)模型。然后利用 等式的性質(zhì)對方程進(jìn)行同解變形，在變化的過程中它始終保持方程兩端對稱的 這種等量關(guān)系。從表示等量關(guān)系、保持等量關(guān)系，一直到求得方程的解，它很 好地體現(xiàn)了方程的這種結(jié)構(gòu)的特點。所以維果茨基說代數(shù)對算術(shù)就像書面語言 對口頭語言。這一比喻是非常形象的。那么如何在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡呢？在這里想提幾點建議。一是打好算術(shù)的基礎(chǔ)，為學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡做好積淀。這 一點非常好理解就不再展開解讀了。第二點是用字母代表數(shù)應(yīng)該說是從算數(shù)思維邁向代數(shù)思維的起步，所以一 定要提前做好孕伏。提到這個孕伏，我想一定不是等到了五年級學(xué)習(xí)字母表示 數(shù)，學(xué)習(xí)方程的時

37、候，老師才想到，哦，我要培養(yǎng)孩子們的代數(shù)思維。一定是 在前期的很長的學(xué)習(xí)當(dāng)中，老師就應(yīng)該不斷的有這樣的一種意識，逐漸地給孩 子種下代數(shù)思維的種子，這樣，到了五年級孩子們才能夠比較好地完成這樣一 次認(rèn)識上的飛躍。從我們的教材來看，其實也有很多這樣的孕伏的契機，值得老師們關(guān)注。比如說在一年級的教材當(dāng)中就有這種用括號來表示一個未知的數(shù)，其實這就是 一個初步的孕伏。到了二年級也有一些用符號來表示未知數(shù)的，這是孩子們初 步感受的一個機會。我們學(xué)校就有老師圍繞這樣的內(nèi)容展開過一些深入的研 究，上過相關(guān)的研究課。再比如說教材當(dāng)中還有一些用實物圖片來表示未知數(shù) 的，在這里其實這個天平就已經(jīng)是“方程”這樣具體的

38、這種模型的一種初步的 滲透了。到了字母表示數(shù)，其實就是對孩子們的這種代數(shù)思維提升的一次重要 的挑戰(zhàn)。其實在教學(xué)當(dāng)中，可能老師們也都有這樣的感受，就是每一個孩子經(jīng)歷從 算術(shù)到代數(shù)的這種認(rèn)識的轉(zhuǎn)變，都會是一個很艱難的一個過程。而且這個轉(zhuǎn) 變，對孩子們來說通常都不會是很快就完成的，需要經(jīng)歷一個比較漫長的過 程。我想這也體現(xiàn)了孩子們認(rèn)知的一個客觀的特點，需要我們老師們充分的給 予關(guān)注，并且給孩子漫長的轉(zhuǎn)變過程、提升過程，創(chuàng)造條件，并且給予一些必 要的輔導(dǎo)。下面以一些具體的案例和老師們交流一下。用字母表示數(shù)這節(jié)課老師們 都非常熟悉。在這節(jié)課當(dāng)中，老師一上來就給孩子們帶來一個神奇的魔盒，一 下子就抓住了孩

39、子們的興趣點。一個數(shù)進(jìn)去之后進(jìn)行加工，出來了一個數(shù)，好 像看不出什么。換了一個數(shù)再加工又出來了一個，先后進(jìn)去幾個不同的數(shù)，出 來的數(shù)有規(guī)律，孩子自然而然地就感受到了這個魔盒神奇的地方所在，也就感 受到了數(shù)的一種統(tǒng)一的變化規(guī)律。在這之后呢，就是數(shù)青蛙的活動，這也是很多教材的一種呈現(xiàn)方式。孩子 們隨著一只青蛙、兩只青蛙、三只青蛙，以及很多只青蛙數(shù)的過程當(dāng)中就會感 受到：幾只眼睛，幾張嘴，幾條腿，數(shù)起來，用數(shù)總這樣表示下去有困難，自 然而然也就產(chǎn)生了希望尋求一種新的方式來表達(dá)這種規(guī)律的認(rèn)知需求。這個時 候老師把機會和空間留給了孩子們，給每個孩子這樣一個小條，請你來填一 填，根據(jù)你的思路，幾只青蛙，幾

40、張嘴，幾只眼睛，幾條腿。于是孩子們不同 的認(rèn)知水平，也可以說我們課堂上豐富的課程資源就在這個填空的過程當(dāng)中呈 現(xiàn)了。有的孩子寫無數(shù)只，都是無數(shù)只，只要這樣數(shù)下去。有的孩子就寫 a 只 青蛙 b 張嘴， c 只眼睛 d 條腿。是不太一樣，但是也都用字母來表示了。也有 的孩子說a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿。從這就能看出，孩子已經(jīng)能夠關(guān) 注到這個只數(shù)和嘴數(shù)是相關(guān)的，所以在選用字母的時候他也一定有自己的思 考。也有的孩子說a只青蛙a張嘴，aa只眼睛aaaa條腿。其實很兒童化的一 種表示方式，已經(jīng)展現(xiàn)出了孩子對字母以及抽象的這樣的一種理解水平。當(dāng)然 也有的孩子能夠達(dá)到這種水平， a 只青蛙 a 張嘴，

41、 2a 只眼睛 4a 條腿。老師在這節(jié)課當(dāng)中呈現(xiàn)了學(xué)生不同的思維層次。第一個學(xué)生我們看到他還 沒有走近用字母來表示數(shù)，而且他只停留在用語言來描述數(shù)量以及它們之間的 關(guān)系。而第二個孩子他已經(jīng)逐漸地開始走近了用字母表示數(shù)，但是他沒有表示 出數(shù)量關(guān)系。第三個孩子走近了“用字母表示數(shù)”，而且有了一定的數(shù)量關(guān) 系，但是還不全面。到了第四個孩子，應(yīng)該說不僅走近了“用字母表示數(shù)”， 而且他還明白了數(shù)量之間的這種關(guān)系，但是表示得還不夠準(zhǔn)確，還需要教師的 引導(dǎo)。 那么最后一個孩子，應(yīng)該說他是完全走進(jìn)了“用字母表示數(shù)”，而且能 夠準(zhǔn)確地用字母來表示出數(shù)量之間的這種關(guān)系。在這節(jié)課上，最重要的、特別寶貴的就是老師把孩

42、子們這些不同的認(rèn)知水 平的素材都拿到課堂上，和孩子們一起探討，一起去交流，在對比當(dāng)中讓孩子 們感覺到這些不同方法，它們哪一種更好，它們表示的意思有什么不同？其實 這個過程就是在幫助孩子們從算術(shù)思維逐漸地走向代數(shù)思維的一個重要的過 程。第三點建議就是，抓住方程思想的本質(zhì)、核心，體現(xiàn)它的價值和意義。 那到底什么是方程呢？教材為我們呈現(xiàn)的概念是，含有未知數(shù)的等式就叫 做方程。那么西南大學(xué)的陳重穆教授呢，也有他的想法。他認(rèn)為：教材這樣的 定義要淡化，不要記，更無需背，更不要考，關(guān)鍵在于理解方程思想的本質(zhì)， 它的價值和意義。比如函數(shù)也是含有未知數(shù)的等式，我們教材當(dāng)中許多的數(shù)量關(guān)系，也都是 用關(guān)系式的形式

43、來呈現(xiàn)的，如 s=vt ，就容易和方程混淆。用字母來表示運算定 律也存在這樣的問題，如a+b二b+a,那它是不是方程呢？還有我們老師經(jīng)常有爭議的，孩子們也經(jīng)常會寫的 x=0，到底是不是方程？其實這些在我們小學(xué)階 段,我們是不研究的,因為它不能夠幫助我們尋求未知的信息。那在我們小學(xué)要研究的,應(yīng)該說是,為了尋求未知數(shù),在未知數(shù)和已知數(shù) 之間建立起來的等式關(guān)系。應(yīng)該說方程是一種關(guān)系,它的特征是“等式”的關(guān) 系,這種等式的關(guān)系,就把未知數(shù)和已知數(shù)聯(lián)系了起來。我們借助這一關(guān)系, 就可以幫助我們?nèi)で笪粗獢?shù)。所以方程的核心是要求未知數(shù),是把未知當(dāng)成 已知來對待,并且參與到運算當(dāng)中,進(jìn)而求出未知數(shù)。而教材的

44、定義呢,應(yīng)該 說恰恰沒有很好的體現(xiàn)出這一點。所以我想在教學(xué)當(dāng)中,我們不僅要讓孩子知 道含有未知數(shù)的等式是方程,更應(yīng)該抓住方程的本質(zhì)、方程的核心,它的價值 所在。也就是我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該僅僅的把目光放在形式化的定義上,而是 真正的把握好它的核心的內(nèi)涵,和孩子們共同地朝著理解內(nèi)涵的方向去不斷地 努力。在實踐當(dāng)中，我想關(guān)于方程教學(xué)這一部分，孩子們確實會經(jīng)常出現(xiàn)很多各 種各樣的困難和困惑，老師們也都有自己的想法。比如說，有關(guān)方程很普遍的 一個現(xiàn)象，就是孩子們不能夠很快地理解已知數(shù)和未知數(shù)之間的這種平等的關(guān) 系。其實這種平等的關(guān)系恰恰標(biāo)志著孩子從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的一個水 平，比如教學(xué)中可能經(jīng)常會

45、有孩子列出這樣的方程，你非要讓我用含有未知數(shù) 的等式寫，那就x=100-20 X3,反正也符合要求了，但是很顯然，這是一個披著 代數(shù)思維外衣的一種算術(shù)解法。這僅僅是一個算術(shù)解法，只不過是換了一個形 式。那針對這個困難點，到底我們該怎樣去解決呢？在這里我也提供一個案例 供大家分享。解決辦法的第一點，我想能不能利用直觀，使孩子去感受“=”表示相等的關(guān)系。因為對于孩子來說，從一年級到五年級之前他們認(rèn)為等號就是讓他寫出 算式的結(jié)果，那對于等號表示左右相等關(guān)系的這層意思，應(yīng)該說在孩子認(rèn)識的 前期階段還缺少一些感性的認(rèn)識。在陳千舉老師上的方程這節(jié)課中。吳正憲 老師建議：能不能在教具上做些文章，做一個可以讓

46、學(xué)生到前面動一動的天平 模型，充分發(fā)揮天平的作用。于是陳老師就很好地借助天平這個直觀的教具讓 孩子充分感受到了等號表示的這種相等的關(guān)系。在這節(jié)課的前期陳老師是用天 平作為直觀的一個支撐。在后面的練習(xí)當(dāng)中，吳正憲老師又提出建議：天平教 具做得好，能不能用的再充分些？于是，陳老師就把原來的問題：“想一想， 你能在圖中找到相等的關(guān)系嗎？”進(jìn)行了修改。這樣就更充分發(fā)揮了天平的主 作用。針對圖一他提出的問題是：你能像“天平”那樣觀察圖中誰和誰相等 嗎？這其實就是讓一個隱形的天平出現(xiàn)在孩子的腦子當(dāng)中，其實就是有一個隱 形的天平在支撐著他。對于圖二他提出的問題是：用相等的式子表示這兩幅圖 中蘊含的“天平”。

47、這樣的問題實際上就是讓孩子在思考問題的過程當(dāng)中，借 助這個隱形的天平來感受等號左右兩邊相等的關(guān)系。這樣，通過老師有效的練 習(xí)，就更充分發(fā)揮了天平的主作用，也就可以幫助孩子更好地去理解。解決辦法的第二點，就是將模型與生活建立起聯(lián)系。這節(jié)課，在吳老師的 建議下，陳老師還讓學(xué)生結(jié)合方程來講故事。陳老師請一名學(xué)生和自己站在一 起，問：我們兩個往這兒一站，有方程嗎？然后讓孩子去構(gòu)造方程。在這個過 程中，孩子根據(jù)老師和學(xué)生的身高，老師和學(xué)生的年齡，老師和學(xué)生的體重， 真的構(gòu)造出了不同的方程。這就是把孩子需要的方程植入到生活的實際情境當(dāng) 中，更近一步的來理解。我和老師們分享的第三個方法，是把算術(shù)方法和方程方

48、法進(jìn)行有效的比較，在對比中強化孩子對方程的認(rèn)識和理解。這種方法我覺得在實踐當(dāng)中老師 們用的也比較多。在我們有關(guān)方程的教學(xué)當(dāng)中，剛才已經(jīng)和老師們看了一個孩 子們普遍存在的一個困難，這個例子剛才已經(jīng)看過了，就不再解讀了。另外一個困難，看上去是一個形式的困難，但實際上反映出的也是一個孩子對方程 的理解上的一個認(rèn)識的差距，就是孩子在書寫格式上總是容易出現(xiàn)各種各樣的 問題。尤其是類似這樣的 x+6=10=10-6=4，很顯然孩子的這種變換方式，他是 停留在這種恒等的變換方式上，并沒有提升到對同解的變換的這種理解。我想 這種形式上的書寫格式上的問題也不容我們忽視，也應(yīng)該透過這種現(xiàn)象去分析 孩子在認(rèn)識以及理

49、解水平上的一些差異，給予孩子一些更深層次的指導(dǎo)，而不 是僅僅停留在“這樣寫不對，你擦了重新寫，要這樣來寫”而已。對這一問題，我們有沒有更好的解決的辦法呢 ？我想能不能更好地去發(fā)揮等 式的作用呢。因為孩子在學(xué)等式的性質(zhì)之前，如果借助四則運算各部分之間的 關(guān)系，它同樣也能夠達(dá)到解方程，但是它畢竟還是停留在算術(shù)的思路上，還沒 有邁向方程思想，所以這樣的話，利用四則運算各部分之間的關(guān)系，可以，但 它不利于中小的銜接，也更不利于孩子到中學(xué)學(xué)習(xí)的一個起步。所以這樣的話 呢，我們可以借助等式的性質(zhì)，更好地讓孩子去體驗、感受方程左右兩邊相等 的這種關(guān)系。這樣就從表示等量關(guān)系、保持等量關(guān)系，再到求得方程的解，應(yīng)

50、 該說個過程就體現(xiàn)了方程的結(jié)構(gòu)的特點，也更好、更有利于孩子去理解、感受 方程的這種本質(zhì)。這樣這個心里的天平就從始至終地發(fā)揮著重要的作用。那針對方程的教學(xué)，也和老師們分享兩個教學(xué)建議。第一點建議就是準(zhǔn)確 地把握內(nèi)容定位，正確地理解其價值。那這個定位是不是就指：關(guān)于老師們在 教學(xué)當(dāng)中說的，等式的性質(zhì)解方程有的時候并不好用，我是不是只要用代數(shù)方 法，算術(shù)關(guān)系讓孩子們能解出來就行了。對于這個問題，我想還是需要我們不 斷地提升對“用等式的性質(zhì)解方程這樣的一個教學(xué)要求的價值”的深入的理解，進(jìn)而更好地來設(shè)計我們自己的教學(xué)。第二點建議就是有效地開發(fā)教學(xué)內(nèi) 容，為學(xué)生代數(shù)思維的形成應(yīng)該做好前期的鋪墊和孕伏。關(guān)于

51、方程教學(xué)的交流，我就交流到這，下面請艾主任和老師們交流第四個 話題“如何在正反比例教學(xué)中體現(xiàn)函數(shù)思想？ ”。四、如何在正反比例教學(xué)中體現(xiàn)函數(shù)思想。在六年級的數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，正比例和反比例一直都是一個很重要的內(nèi)容，這 部分內(nèi)容同樣肩負(fù)了一次讓孩子認(rèn)識上經(jīng)歷飛躍的一個重要任務(wù)?？梢哉f，學(xué) 生在此之前從大量的對“常量”的也就是具體數(shù)據(jù)的認(rèn)識和感受的經(jīng)驗當(dāng)中逐 步的要過渡到認(rèn)識“變量”，這也是函數(shù)思想滲透的重要契機。但是，函數(shù)在我們小學(xué)教學(xué)當(dāng)中是不出現(xiàn)的，那么怎樣在小學(xué)學(xué)習(xí)正比例和 反比例過程中有效地滲透函數(shù)思想呢？在第二學(xué)段中，弓I入正比例與反比例，它是一類常用的數(shù)量關(guān)系，這老師們 都很熟悉，那么這部

52、分內(nèi)容的學(xué)習(xí)是函數(shù)思想在小學(xué)的具體的體現(xiàn)。在現(xiàn)實中，其實有許多數(shù)量關(guān)系可以表示為成正比例的量或成反比例的量， 其本質(zhì)是兩個量按一定的比例關(guān)系發(fā)生變化。我們先來看一下正反比例的含義：其實老師們都很熟悉了。如果一個量增加或者減少，另一個量按一定的比 例增加或減少，這兩個量是成正比例的量；如果分別用X和Y表示兩個變化的量，則可以表示成 Y=aX（這里的a>0）;反之如果一個量增加或減少，另一個 量按一定的比例減少或增加，兩個量是成反比例的量；如果也用X和丫來表示的話，就可以表示成 Y二a/X，或XY=a（這里的a>0）。通過剛才所說的，我們更加明白了正反比例的關(guān)系，知道了正比例和反比例

53、的關(guān)系本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系，小學(xué)階段并不出現(xiàn)函數(shù)的概念，但要讓學(xué)生感知兩 個量之間的關(guān)系。一是使學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識和理解更加豐富，二是為第三 學(xué)段也就是孩子們進(jìn)入中學(xué)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)正反比例函數(shù)以及學(xué)習(xí)一般的 函數(shù)知識做好充分準(zhǔn)備。所以教學(xué)中應(yīng)與實際情境緊密聯(lián)系，用具體的學(xué)生可 以理解的具體的方式呈現(xiàn)這些內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系的角度，以及兩個量 之間變化的規(guī)律的角度來理解和掌握這個內(nèi)容。那例如學(xué)生對“正反比例”的學(xué)習(xí)，其實就是從簡單的“數(shù)量關(guān)系”過渡到 對“變化關(guān)系”的認(rèn)識和學(xué)習(xí)。以前是“數(shù)量”關(guān)系，他現(xiàn)在得學(xué)會認(rèn)識“變 化”，與以往的教材和教學(xué)要求相比，在方格紙上畫圖是一個新的要求，以前

54、就是讓孩子認(rèn)識正比例及反比例的關(guān)系，現(xiàn)在教材中也出現(xiàn)了 “正比例”及“反比例”的圖像，那么這些圖像它的價值是什么？教師該如何發(fā)揮好“圖 像”的作用，更好地去體現(xiàn)和滲透函數(shù)思想呢？下面就結(jié)合具體的案例來談一下這個問題。北京實驗一小郭雯硯老師執(zhí)教的 成正比例的量，在這節(jié)課上郭老師就緊緊抓住了“圖像”，作為幫助學(xué)生認(rèn) 識和理解正比例關(guān)系的重要素材。我們先看一下郭老師是怎樣講的，在當(dāng)時課堂上，孩子們通過數(shù)量的研究， 不難發(fā)現(xiàn)這樣一組關(guān)系，而且也用字母表示出了這樣一組關(guān)系，在這之后，按 以往的教學(xué)，就已經(jīng)達(dá)到目標(biāo)了，就是在這個時候，郭老師把“圖像”作為正 比例關(guān)系表示的第三種方式隆重地介紹給了學(xué)生，把它

55、作為新朋友介紹給孩 子。因為孩子已經(jīng)有了一些畫折線統(tǒng)計圖的經(jīng)驗，根據(jù)表格當(dāng)中的數(shù)據(jù)在圖上 去描點對于孩子們來講并不難，于是郭老師就把完成或者是尋求圖像到底長什么樣子的經(jīng)歷放給了孩子們，讓孩子們自己去描點去畫，但是就在畫的過程當(dāng) 中，孩子們又找到了新的問題，也就是當(dāng)孩子們把點都連好之后，在0和第一個數(shù)據(jù)之間該不該連成了孩子們聚焦的一個新問題，這時候，也就凸顯了圖像的 作用，其實，想想孩子們對于找點連線這個過程并不難，但是這個沒有出現(xiàn)的 這一段數(shù)據(jù)到底有沒有，該不該連就困擾了孩子，其實孩子有點困惑是在哪 呢，就因為他在學(xué)折線統(tǒng)計圖中，其實那樣的認(rèn)識遷移到現(xiàn)在的知識點是錯誤 的，是一種負(fù)遷移，可是就

56、是對這一部分的分析恰恰體現(xiàn)了變量的含義，我們 看看郭老師針對孩子存在困惑的地方也是難點所在，是怎么處理的？當(dāng)時課堂 上郭老師就非常巧妙地利用課件運用信息技術(shù)的輔助手段把這個局部放大，讓 孩子們?nèi)ダ斫?，就在路程和時間的變化當(dāng)中它會不會從“0” 一下就變化到這個點，孩子們馬上就明白了，其實在這個過程當(dāng)中，應(yīng)該有很多很多點，比如說 汽車從0小時開始，到0.2小時、0.4小時，它是要經(jīng)歷這樣一個過程的，孩子 們是有這個生活經(jīng)驗的，這樣孩子們發(fā)現(xiàn)這里面會有很多點，甚至很密，甚至 是連續(xù)的，連成了一條線，就在這個點越來越密的過程當(dāng)中，孩子們就豐富了 對整個這一條圖像的完整的認(rèn)識和理解，在這基礎(chǔ)上形成對正比例圖像的完整 認(rèn)識，看得出來，郭老師在學(xué)生根據(jù)表格、算式等熟悉的方式表示出正比例關(guān) 系之后，巧妙地引出了“圖像”，把它作為新朋友隆重的介紹給孩子們。讓學(xué) 生通過初步的猜想和分析，對圖像有初步的感知，這樣也為后面深入而細(xì)致的 研究奠定了基礎(chǔ)。其實，正比例教學(xué)就是從“常量”數(shù)學(xué)到“變量”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟蒙階段；那 圖像教學(xué)呢能夠直觀地呈現(xiàn)兩個變量之間的相依的關(guān)系，你變了它也隨著變， 使學(xué)生加深對正比例意義的理解。通過這節(jié)課的教學(xué)，可以有效地滲透函數(shù)思 想，促進(jìn)中小的這種認(rèn)識的銜接，為孩子