數(shù)值分析考試復(fù)習(xí)總結(jié)

1、第一章1誤差相對誤差和絕對誤差得概念例題：當(dāng)用數(shù)值計(jì)算方法求解一個(gè)實(shí)際的物理運(yùn)動(dòng)過程時(shí)，一般要經(jīng)歷哪幾個(gè)階段？在哪些階段將有哪些誤差產(chǎn)生？答：實(shí)際問題-數(shù)學(xué)模型-數(shù)值方法-計(jì)算結(jié)果在這個(gè)過程中存在一下幾種誤差：建立數(shù)學(xué)模型過程中產(chǎn)生：模型誤差參數(shù)誤差選用數(shù)值方法產(chǎn)生：截?cái)嗾`差計(jì)算過程產(chǎn)生：舍入誤差傳播誤差6設(shè)a =0.937關(guān)于精確數(shù)x有3位有效數(shù)字，估計(jì)a的相對誤差.對于f(x .j_x，估計(jì)f(a)對于f(x)的誤差和相對誤差a的相對誤差:由于1_3x a|E(x)|<x a<-10 .Er(X)=2XEr(x) <12 72 1 210 = 10 .18(Th1)解f(

2、a)對于f(x)的誤差和相對誤差I(lǐng) l / £、I I 匚.a-x I .(210. _ _3| E( f)冃心 _x G a |= _,= <=10、1x+H a|2 沃 0.25| Er(f)|E10，1 -a =4 10；.2有效數(shù)字基本原則：1兩個(gè)很接近的數(shù)字不做減法：2：不用很小得數(shù)做分母(不用很大的數(shù)做分子)例題：4 改變下列表達(dá)式使計(jì)算結(jié)果比較精確：(1)(2)11 - x1 2x 1 x1x(3)解1 - COS Xx對 x 0,| x 卜：1.2x1(1x)(12x).2 x( X 1 X 、X - 1 x)21 -cosx sin xsin x=asx x(

3、1 cosx) 1 cosx第二章拉格朗日插值公式（即公式（1）插值基函數(shù)（因子）可簡潔表示為n其中：n(x) - JI. 1n(X - Xj ),n Xi =(Xi - Xj )j /j工j料例1 n=1時(shí)，線性插值公式R(x) = y° x () +y1(x-X0)X ?(xo-xj '(X1 -Xo)例2 n=2時(shí)，拋物插值公式牛頓（Newton）插值公式由差商的引入，知（1）過點(diǎn)x0, x1的一次插值多項(xiàng)式 為其中（2）過點(diǎn)x0, x1, x2的二次插值多項(xiàng)式為其中重點(diǎn)是分段插值：例題：1.利用Lagrange插值公式求下列各離散函數(shù)的插值多項(xiàng)式（結(jié)果要簡化）：(1)

4、-101/21-3-1/201(2)-101/21-3/2001/2解：方法一.由Lagrange 插值公式可得：L3（x） =x2（x -1 2）方法二令31由L3（-1）=-3 ， L3（1）=,定A, B（稱之為待定系數(shù)法）2215.設(shè)f（x） =x2，求f（x）在區(qū)間0,1上的分段線性插值函數(shù)fh（x），并估計(jì)誤差，取等距節(jié) 點(diǎn)，且 h =1/10.解f（x） =x2，人=ih ， i =0,1, ,10，110設(shè) Xi乞X乞Xi 1 ，貝U:誤差估計(jì):I f(x) fh(x)忙2T ixRW(x ih)(x (i +1)h)第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近主要分兩種情形：1.

5、 連續(xù)意義下在空間L2a,b中討論2. 離散意義下在n維歐氏空間Rn中討論，只要求提供f的樣本值1. 最佳逼近多項(xiàng)式的法方程組設(shè) L2a,b的 n 1 維子空間 P =span1,x,x2, xn,其中1,x,x2，xn是L2a,b的線性無關(guān)多項(xiàng)式系.n對-f L2a,b，設(shè)其最佳逼近多項(xiàng)式''可表示為：''二ai xi i=0由(f - *, )=o, -Pn即 n (xi,xj)a* =(f ,xi),0(1) n(*2)j=o其中稱(*2)式為最佳逼近多項(xiàng)式的法方程組(或正規(guī)方程組) .由x二的線性無關(guān)性，可證明G正定，即上述法方程組的解存在且唯一.11、

6、求f(x)二cos二X ， X- 0,1的一次和二次最佳平方逼近多項(xiàng)式.解： 設(shè) P；(X) =a0 a1x ，P；(x)二 b0 b,x b2x2分別為f (x)的一次、二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。1內(nèi)積(f, g)二 0f (x) g(x)dx計(jì)算如下內(nèi)積：(1,1)=1 ,(1,x)二 12 ,(1, X2) = 13(X, X)= 13 , (x, X2)、, (xlx2)：.建立法方程組:(1)于是解得:1a0 + 印=02-12a0 +(%)a1m*12P1 (x)2b。+(%)d +fb2 =0234jt21Urk2b0 + b 十d =一b _12b0 - 22 二2得:12a0

7、= 2 nai24224 x13 一1 241 .2 JI于是:P2(x)蘭一孚 X.n n第四章?常用哪些公式,方法？simps on復(fù)化求積公式.1為什么要進(jìn)行數(shù)值積分 答：梯形復(fù)化求積公式和2:方法好壞的判斷：代數(shù)精度誤差分析1代數(shù)精度的概念bn定義 若求積公式f(x)dx：、7 Wjf(Xj) (*)對所有次數(shù) m的多項(xiàng)式是精確的，但ai=0對m1次多項(xiàng)式不精確，則稱(*)具有m次代數(shù)精度。等價(jià)定義若求積公式(* )對1,x,x2，,xm是精確的，但對xm 1不精確，則(*)具有m次代數(shù)精度。3:誤差1等距剖分下的數(shù)值求積公式:公式特點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)預(yù)先給定，均勻分布,系數(shù)w二0(1) n待定

8、利用插值多項(xiàng)式pn(x)近似代替f(x)，即得插值型求積公式Newton-Cotes公式2給定節(jié)點(diǎn)數(shù)下的具有最佳逼近性質(zhì)(具有最高次代數(shù)精度)的數(shù)值求積公式：Gauss求積公式 公式特點(diǎn)：系數(shù)wj =0(1 )n和節(jié)點(diǎn)xj =0(1 )n均待定3分段插值多項(xiàng)式n(x)近似代替f (x)(分段求積)復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式通過高次求積公式提高精度的途徑不行，類似函數(shù)插值分而治之：分段+低次求積公式 稱為復(fù)化求積法兩類低次(n乞4)求積公式：1. Newton Cotes 型：矩形、梯形、Simpson、Cotes 公式分別稱為復(fù)化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型：一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn)

9、 Gauss求積公式稱為復(fù)化一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn) Gauss公式復(fù)化梯形公式(Tn)f(Xn-1)f(Xn)復(fù)化辛甫生b - anTn 二 f(X。) f(Xj f(X"f(X2)2h2f(a) 2'、f (xQf (b),h 二2k討公式：(每個(gè)ek上用辛甫生公式求積)Sn 三 f (Xo) 4 f (X1 ) f(X1) f (X1) 4 f (X3 ) f(X2)6 2 2+ + f (Xn)+4 f (x+ f (Xn)hnn 1-f (a)4 f (xk _丄)2、f (Xk ) f (b)6k =12k =1其中xkx/2為ek的中點(diǎn)復(fù)化辛甫生公式是最常用的數(shù)值求積方

10、法。常采用其等價(jià)形式:復(fù)化柯特斯公式b a其中，h =, xk_i 為xk-1, xk的中點(diǎn),n2Xk-寸,Xk -3為xk_1,xk的四等分的分點(diǎn)自適應(yīng)復(fù)化求積法計(jì)算時(shí)，要預(yù)先給定n或步長h，在實(shí)際中難以把握因?yàn)?，h取得太大則精度難以保證，h太小則增加計(jì)算工作量 自適應(yīng)復(fù)化梯形法的具有計(jì)算過程如下：步 1 n1,h b - a,一 f (a) f (b)步 3 判斷 |T2-TJ：；? 若是， 則轉(zhuǎn)步5;步 4 n ： 2n, h ： h/2,： T?，轉(zhuǎn)步 2；步5輸出T2 .第五章1:常用方法：（1）.直接解法：Gauss逐步（順序）消去法、Gauss 主元素法、矩陣分解法等；（2）.迭

11、代解法：構(gòu)造某種極限過程去逐步逼近方程組的解 經(jīng)典迭代法Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、逐次超松弛（SOR迭代法等； .Krolov子空間的迭代法根據(jù)A的對稱性，又分為：A對稱正定共軛梯度法A非對稱BICG 、GMRes最小殘量法） .解一類特定背景問題的迭代法 多重網(wǎng)格法2:幾類迭代法優(yōu)缺點(diǎn)比較：3:迭代方法目標(biāo)：求解Ax = b 其中，A非奇異?；舅枷耄喊丫€性方程組Ax二b的解x，化為一個(gè)迭代序列極限解關(guān)鍵：構(gòu)造迭代序列所滿足的公式：迭代格式。構(gòu)造迭代格式基本步驟：1. 將A分裂：A:=B-C,其中，B非奇異2. 構(gòu)造迭代格式其中G二B，C，稱之為迭代矩陣,g二B

12、b其中，b-Ax"k）為x""的殘余向量此時(shí)，G = I - BA, g 二 Bb常用的迭代方法將A =仙分裂為其中A 二 D -L -U-00 一0+I，U =0- a012+_ a 1naL =a 219+ an1 -an,n 二00a n J,n0Jacobi迭代方法若a豐0，迭代格式X(k41)X=Gj ，x(k)+ g其中Jacobi迭代矩陣：Gj=D，(L+U)式可寫為分量形式1nx(k 1)Lbi 八 ajx(k), k 一0.(*1)aiij=1j -*：方法(*1 )或稱為Jacobi迭代方法.Gauss Seidle迭代方法若aii = 0，迭

13、代格式x(k Gg -x(k) g其中，Gauss-Seidel 迭代矩陣：GG=(D-L)'U其分量形式i -1n(k 1)1(k 1) a(k)XibiajXj- ' ajXj , i=1,2, ,n.( *2)aiij=j占也即,在計(jì)算新分量x(k時(shí)，利用新值x(k °，j -1,2/ ,i -1。迭代法（*2 ）或稱為Gauss-Seidel迭代方法超松弛方法（SOR）方法定義SOF方法的迭代格式如下：z(k1)aHi -4(k 1)b i -a ij x jj mnv小(k).a ij X j ,jT 1i 二 1,2廠，n(*3)(k -1)(k -1)(

14、k)XiZi(1 - )Xi稱為松弛因子，：=1即為G-S方法.其矩陣形式其中，SOR 法的迭代矩陣：G . = (D丄廠心八)。Ug = (D :L)_1 b .第七章1:解非線性方程與方程組的方法：1. 準(zhǔn)確方法女口：用求根公式對n空4次的代數(shù)多項(xiàng)式求根。但：絕大多數(shù)的方程并無準(zhǔn)確方法可用。如：n _ 5次的代數(shù)多項(xiàng)式并無求根公式。2. 數(shù)值方法(實(shí)際中大多采用)基本思想：設(shè)法找到一個(gè)能收斂到方程的解的序列。(1) .區(qū)間套法二分法。(2) .迭代法：簡單迭代法；.Newton迭代法；.割線法；.加速算法。2:收斂條件：二分法無條件簡單迭代法條件：定理1如果 (x)滿足以下條件：1) -x

15、 a,b,(x)a,b;2) 日常數(shù)L: 0cLc1,使得對任意兩點(diǎn) X1,X2“a,b,都有®(X2)蘭 LX1 X2 ,則：方程(*)在a,b上的解存在唯一，且對任給的初值X0,由迭代過程(* *) 所產(chǎn) 生的序列Q 1收斂到.例題：2. 為求方程x -x2 -1 =0在X。=1.5附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫為下列等價(jià)形式，并建立 相應(yīng)的迭代公式：(1) X=11/X2，迭代公式 Xn1=1/X；(2) X3 =1 X2，迭代公式 Xn 1 = (1 X；)1/3 ,(3) X2 =1/(x -1)，迭代公式 Xn 1 =1(Xn-1)1/2，試分析每一種迭代公式的收斂性，并問哪

16、一種迭代收斂得快？解：取x0 =1.5的鄰域1.3, 1.6來考察(1)®(x)=1+1/x2 ,卩(X)= - 2/X3 C2/1.33 =0.901 c1，故迭代公式(1)收斂.(x) =(1x2)4(x)1 = 2x/3(1 +x2)2/3 c2>M.6/3(1 +1.32)2/3 務(wù) 0.5515,故迭代公式(2)也收斂:(x) =1/(x -1)1/2 ,故迭代公式(3)發(fā)散.由于® xo)越小，越快地收斂于根G，故(2)式收斂最快。第八章解一階常微分方程的常用方法：Euler 方法Run ge-Kutta 方法2階常微分方程邊值問題的差分方法1 .三類邊值

17、問題1 )第一類邊值問題：y (x)二 f (x, y(x), y (x),y(a)二:,y(b)二-。2 )第二類邊值問題：y (x f (x, y(x), y (x),y (a)二:，y(b)03 )第三類邊值問題：y (x)(x, y(x), y (x),a 乞 x 乞 b ,( 3.1)(3.2)a 豈 x 乞 b ,( 3.3)(3.4)a 乞 x 乞 b ,( 3.5)2.y (a) - ： °y(a) = ： 1, y (b),(3.6)其中，00 - 0,>000 0差分格式的建立針對方程(3.1 )而言.Step 1取a,b的離散節(jié)點(diǎn)：_Xn =b,第 m 步步長 hxxmJ, 一般可取等 步長：hm = h , m =1,2, N.Step 2 將y(Xm)用二階差商、y(Xm)用一階差商近似：y(Xm)從1)一2仔)We),1,2, Nh，yWmJ-WXm), m = 1,2N.2h理由：由Taylor展開，有兩式相加得y (Xm)二y(Xm 1)- 2y(Xm) y(Xm_1)12y(4)( m),m = 1,2, N - 1，其中， Xm：m以Xm .兩式相減得y (Xm)2y(Xm 1)- y(XmG h_2h6y (m),m = 1,2, N - 1，其中， Xm .4 m ：:, Xm .2Step 3 略去O(h