（整理版）　不等式選講

1、77不等式選講(二)證明不等式的根本方法導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解證明不等式的根本方法：比擬法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.2.會用比擬法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明比擬簡單的不等式自主梳理1三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式：如果a，b，c>0，那么_，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立2根本不等式(根本不等式的推廣)：對于n個正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)_時等號成立3二維形式的柯西不等式及推論：假設(shè)a，b，c，d都是實數(shù)，那么(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時等號成立；|acbd|，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時等號成立；|ac|bd|，當(dāng)且

2、僅當(dāng)_時等號成立4證明不等式的常用五種方法(1)比擬法：比擬法是證明不等式最根本的方法，具體有作差比擬和作商比擬兩種，其根本思想是_與0比擬大小或_與1比擬大小(4)反證法反證法的定義反證法的特點(5)放縮法定義：證明不等式時，通過把不等式中的某些局部的值_或_，簡化不等式，從而到達(dá)證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法思路：分析觀察證明式的特點，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵自我檢測1ma2b2，nabab1，那么m，n的大小關(guān)系為()am>n bm<n cmn dmn2(·濱州調(diào)研)設(shè)a>b0，p，q，那么()apq bpqcp<q dp、q大小關(guān)系不定3假設(shè)a、

3、b、c、d、x、y均是正實數(shù)，且p，q·，那么()apq bpq cpq dp>q4a>b>0，nn*，那么使不等式a2n成立的n的最大值為()a4 b8 c10 d165(·南陽月考)a，b，c>0，且ab>c，設(shè)m，n，那么m與n的大小關(guān)系是_.探究點一比擬法證明不等式例1a>0，b>0，求證：.變式遷移1(·福建)設(shè)不等式|2x1|<1的解集為m.(1)求集合m；(2)假設(shè)a，bm，試比擬ab1與ab的大小探究點二用綜合法證明不等式例2設(shè)a、b、c均為正數(shù)，求證：.變式遷移2設(shè)x是正實數(shù)，求證：(x1)(x21

4、)(x31)8x3.探究點三用分析法證明不等式例3(·武漢模擬)a>b>0，求證：<<.變式遷移3a>0，求證： a2.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(10分)f(x)x2pxq.求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于.f(x)，要證f(1)f(3)2f(2)2，只須化簡左邊式子，看是怎樣的形式，然后才能視情況而定如何證明求證|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于包括：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一個大于等于，其余兩個小于；三個中有2個大于等于，另一個小于；三

5、個都大于等于.如果從正面證明，將有7種情況需要證明，非常繁雜，可考慮用反證法證明【答題模板】證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.2分(2)假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，那么|f(1)|2|f(2)|f(3)|<2，4分而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|(1pq)(93pq)(84p2q)|2，與假設(shè)矛盾9分|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于.10分【突破思維障礙】根據(jù)正難那么反的證明原那么，|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一個不小于的反面為|f(1)|、|f

6、(2)|、|f(3)|都小于【易錯點剖析】在證明(2)中如果不知道用反證法證，而是從正面分七種情況證明，往往會出現(xiàn)這樣或那樣的失誤1證明不等式的常用方法有五種，即比擬法、分析法、綜合法、反證法、放縮法3放縮法證明不等式時，常見的放縮法依據(jù)或技巧主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(母)異分母(子)的兩個分式大小的比擬縮小分母、擴大分子，分式值增大；縮小分子、擴大分母，分式值減??；全量不少于局部；每一次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮有時需便于求和4放縮法的常用措施：(1)舍去或加上一些項，如2&g

7、t;2；(2)將分子或分母放大(縮小)，如<，>，<，> (kn*且k>1)等(總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共20分)1(·煙臺月考)a、b、mr且a>b，那么()a.>b.c.<d.與間的大小不能確定2(·黃岡期中)設(shè)a、br，且ab，ab2，那么必有()a.<ab<1 bab<<1cab<1< d1ab3設(shè)ar且a0，以下四個式子中恒大于1的個數(shù)是()a31；a22a2；a；a2.a1 b2 c3 d44(·保定調(diào)研)在以下不等式中，一定成立的是()a48a<8

8、4b baabb>abbaca3>a2a1 d()m2<二、填空題(每題4分，共12分)5(·湖南)設(shè)x，yr，且xy0，那么(x2)(4y2)的最小值為_6x>0，y>0，lg 2xlg 8xlg 2，那么的最小值為_7設(shè)xa2b25，y2aba24a，假設(shè)x>y，那么實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為_三、解答題(共43分)8(10分)x，y，z均為正數(shù)，求證：.9(10分)(·包頭模擬)正數(shù)a、b、c滿足ab<2c，求證：c<a<c.10(10分)假設(shè)ab1，求證： 2.11(13分)實數(shù)x、y、z不全為零求證：>(x

9、yz)77不等式選講(二)證明不等式的根本方法自主梳理1.2.a1a2an3.adbc且abcd04.(1)差商(2)公理定理(3)充分(5)放大縮小自我檢測1cmna2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時“成立mn.2ap2q2ab2ab2()0.pq.3cq·p.pq.4bna2，b(ab) (20)a2a228(a2，b1時取“)即a2的最小值為8，nmax8.5m>n解析a，b，c>0，且ab>c，m>設(shè)f(x) (x>0)，f(x)>

10、0，即f(x)在(0，)上為增函數(shù)，f(ab)>f(c)，即>，m>n.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引不等式左、右兩邊是多項式形式，可用作差或作商比擬法，也可用分析法、綜合法證明()，又>0，>0，()20，(.變式遷移1解(1)由|2x1|<1得1<2x1<1，解得0<x<1，所以mx|0<x<1(2)由(1)和a，bm可知0<a<1,0<b<1.所以(ab1)(ab)(a1)(b1)>0，故ab1>ab.例2解題導(dǎo)引本例不等式中的a、b、c具有同等的地位，證明此類型不等式往往需要通過系數(shù)的變

11、化，利用根本不等式進(jìn)行放縮，得到要證明的結(jié)論證明a、b、c均為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立；同理：，當(dāng)且僅當(dāng)bc時等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立三個不等式相加即得，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立變式遷移2證明x是正實數(shù)，由根本不等式知，x12，1x22x，x312，故(x1)(x21)(x31)2·2x·28x3 (當(dāng)且僅當(dāng)x1時等號成立)例3解題導(dǎo)引當(dāng)要證的不等式較復(fù)雜，條件信息量太少，與待證間的聯(lián)系不明顯時，一般可采用分析法分析法是步步尋求不等式成立的充分條件，而實際操作時往往是先從要證的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的必要條件，再考慮這個必要條件是否充分，這種“逆求過程能

12、培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，也是分析問題、解決問題時常用的思考方法證明欲證<<，只需證<<.a>b>0，只需證<<，即<1<.欲證<1，只需證<2，即<.該式顯然成立欲證1<，只需證2<，即<.該式顯然成立<1<成立，且以上各步均可逆<<成立變式遷移3證明要證 a2，只需證 2a，a>0，只須證22，從而只要證2 ，只要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立課后練習(xí)區(qū)1a>0，>.2c當(dāng)a>0，b>0時，2ab>2，0<a

13、b<1；當(dāng)ab0時，ab<1.又(ab)2a2b22ab<2(a2b2)a2b2>2，>1，又ab.選c.3a只有a22>1，應(yīng)選a.4d取ab1，顯然有4·44416>1，48>84，a不成立；a·bab，當(dāng)a<b<0時，ab<1，b不一定成立；a3a2a1(a1)(a21)，當(dāng)a<1時，c不成立；()272，2(2)272，<，又m2<m21，()m2<，應(yīng)選d.59解析(x2)(4y2)54x2y2529，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2時“成立64解析由題意2x·8y2，x3y1，&

14、#183;(x3y)2224，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時等號成立7ab1或a2解析由x>y，得a2b252aba24a(ab1)2(a2)2>0，所以有ab1或a2.8證明因為x，y，z均為正數(shù)，所以，同理可得，(5分)當(dāng)且僅當(dāng)xyz時，以上三式等號都成立，將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得.(10分)9證明要證c<a<c，只需證<ac<，(2分)即只要證|ac|<.(4分)兩邊都是非負(fù)數(shù)，只要證(ac)2<c2ab，(6分)只要證a22ac<ab，即只要證a(ab)<2ac.(8分)a>0，只需證ab<2c，這就是條件，且以上各步都可逆，c<