（整理版）　曲線與方程2

1、55曲線與方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 了解曲線的方程與方程的曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系自主梳理1曲線的方程與方程的曲線在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)_都是這個(gè)方程的_(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是_，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線2平面解析幾何研究的兩個(gè)主要問(wèn)題(1)根據(jù)條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過(guò)曲線的方程研究曲線的性質(zhì)3求曲線方程的一般方法(五步法)求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示_；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)m的集

2、合p_；(3)用坐標(biāo)表示條件p(m)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0為_(kāi)；(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在_自我檢測(cè)1(·湛江月考)動(dòng)點(diǎn)p在曲線2x2y0上移動(dòng)，那么點(diǎn)a(0，1)與點(diǎn)p連線中點(diǎn)的軌跡方程是()ay2x2 by8x2c2y8x21 d2y8x212一動(dòng)圓與圓o：x2y21外切，而與圓c：x2y26x80內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心p的軌跡是()a雙曲線的一支 b橢圓c拋物線 d圓3(·佛山模擬)直線l的方程是f(x，y)0，點(diǎn)m(x0，y0)不在l上，那么方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲線是()a直線l b與l垂直的一條直線c

3、與l平行的一條直線 d與l平行的兩條直線4假設(shè)m、n為兩個(gè)定點(diǎn)且|mn|6，動(dòng)點(diǎn)p滿足·0，那么p點(diǎn)的軌跡是()a圓 b橢圓 c雙曲線 d拋物線5(·江西)假設(shè)曲線c1：x2y22x0與曲線c2：y(ymxm)0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()a(，) b(，0)(0，)c， d(，)(，)探究點(diǎn)一直接法求軌跡方程例1動(dòng)點(diǎn)p與兩定點(diǎn)a(a,0)，b(a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點(diǎn)p的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線變式遷移1兩點(diǎn)m(2,0)、n(2,0)，點(diǎn)p為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|·0，那么動(dòng)點(diǎn)p(x，y)的軌跡方程為_(kāi)探究點(diǎn)二定義法求軌跡方程

4、例2(·包頭模擬)兩個(gè)定圓o1和o2，它們的半徑分別是1和2，且|o1o2m與圓o1內(nèi)切，又與圓o2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線變式遷移2在abc中，a為動(dòng)點(diǎn)，b、c為定點(diǎn)，b，c，且滿足條件sin csin bsin a，那么動(dòng)點(diǎn)a的軌跡方程是()a.1 (y0)b.1 (x0)c.1 (y0)的左支d.1 (y0)的右支探究點(diǎn)三相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程例3如下圖，從雙曲線x2y21上一點(diǎn)q引直線xy2的垂線，垂足為n.求線段qn的中點(diǎn)p的軌跡方程變式遷移3長(zhǎng)為1的線段ab的兩個(gè)端點(diǎn)a、b分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，p是ab上一點(diǎn)，且.求點(diǎn)p

5、的軌跡c的方程分類討論思想的應(yīng)用例(12分)過(guò)定點(diǎn)a(a，b)任作互相垂直的兩直線l1與l2，且l1與x軸交于點(diǎn)m，l2與y軸交于點(diǎn)n，如下圖，求線段mn的中點(diǎn)p的軌跡方程p坐標(biāo)，必須先求m、n兩點(diǎn)，這樣就要求直線l1、l2，又l1、l2過(guò)定點(diǎn)且垂直，只要l1的斜率存在，設(shè)一參數(shù)k1即可求出p點(diǎn)坐標(biāo)，再消去k1即得點(diǎn)p軌跡方程【答題模板】解(1)當(dāng)l1不平行于y軸時(shí)，設(shè)l1的斜率為k1，那么k1l1l2，所以l2的斜率為，l1的方程為ybk1(xa)，l2的方程為yb(xa)，在中令y0，得m點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1a，4分在中令x0，得n點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1b，6分設(shè)mn中點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x，y)，那么有

6、消去k1，得2ax2bya2b20 (x)8分(2)當(dāng)l1平行于y軸時(shí)，mn中點(diǎn)為，其坐標(biāo)滿足方程.綜合(1)(2)知所求mn中點(diǎn)p的軌跡方程為2ax2bya2b20.12分【突破思維障礙】引進(jìn)l1的斜率k1作參數(shù)，寫出l1、l2的直線方程，求出m、n的坐標(biāo)，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，此題還要注意直線l1的斜率是否存在【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】當(dāng)amx軸時(shí)，am的斜率不存在，此時(shí)mn中點(diǎn)為，易錯(cuò)點(diǎn)是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點(diǎn).1求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表達(dá)成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之

7、為直接法用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程一般有建系設(shè)點(diǎn)，列式，代換，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略(2)定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表達(dá)或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)p(x，y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)q(x，y)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)q的軌跡為給定或容易求得，那么可先將x，y表示為x、y的式子，再代入q的軌跡方程，然后整理得p的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法(4)參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，那么可借助中間變量(參數(shù))，使x、y

8、之間建立起聯(lián)系，然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程2本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)容易忽略直線斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線方程時(shí)，應(yīng)考慮是否符合曲線的定義(總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)1橢圓的焦點(diǎn)是f1、f2，p是橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果m是線段f1p的中點(diǎn)，那么動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是()a圓 b橢圓c雙曲線的一支 d拋物線2(·唐山模擬)a、b是兩個(gè)定點(diǎn)，且|ab|3，|cb|ca|2，那么點(diǎn)c的軌跡為()a雙曲線 b雙曲線的一支c橢圓 d線段3長(zhǎng)為3的線段ab的端點(diǎn)a、b分別在x軸、y軸上移動(dòng)，2，那么點(diǎn)c的軌跡是()a線段 b圓 c橢圓 d雙曲線4(·

9、;銀川模擬)如圖，圓o：x2y216，a(2，0)，b(2,0)為兩個(gè)定點(diǎn)直線l是圓o的一條切線，假設(shè)經(jīng)過(guò)a、b兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線，那么拋物線焦點(diǎn)所在的軌跡是()a雙曲線 b橢圓c拋物線 d圓5f1、f2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)m滿足|mf1|mf2|2，那么動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是()a雙曲線 b雙曲線的一個(gè)分支c兩條射線 d一條射線二、填空題(每題4分，共12分)6兩定點(diǎn)a(2,0)，b(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)p滿足|pa|2|pb|，那么點(diǎn)p的軌跡所包圍的圖形的面積等于_7(·泰安月考)abc的頂點(diǎn)b(0,0)，c(5,0)，ab邊上的中線長(zhǎng)|cd|3，那么頂點(diǎn)a的軌跡方程

10、為_(kāi)8平面上有三點(diǎn)a(2，y)，b，c(x，y)，假設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)c的軌跡方程為_(kāi)三、解答題(共38分)9(12分)拋物線y24px (p>0)，o為頂點(diǎn)，a，b為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足oaob，如果omab于點(diǎn)m，求點(diǎn)m的軌跡方程10(12分)(·寧夏，海南)橢圓c的中心為平面直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.(1)求橢圓c的方程；(2)假設(shè)p為橢圓c上的動(dòng)點(diǎn)，m為過(guò)p且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，求點(diǎn)m的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線11(14分)(·石家莊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，有一個(gè)以f1(0，)和f2(0，

11、)為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的局部為曲線c，動(dòng)點(diǎn)p在c上，c在點(diǎn)p處的切線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為a，b，且.求：(1)點(diǎn)m的軌跡方程；(2)|的最小值55曲線與方程自主梳理1(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)解(2)曲線上的點(diǎn)3.(1)曲線上任意一點(diǎn)m的坐標(biāo)(2)m|p(m)(4)最簡(jiǎn)形式(5)曲線上自我檢測(cè)5bc1：(x1)2y21，c2：y0或ymxmm(x1)當(dāng)m0時(shí)，c2：y0，此時(shí)c1與c2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，要滿足題意，需圓(x1)2y21與直線ym(x1)有兩交點(diǎn)，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，m±，即直線處于兩切線之間時(shí)滿足題意，那么<m<0或0<m

12、<.綜上知<m<0或0<m<.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引在判斷含參數(shù)的方程所表示的曲線類型時(shí)，不能僅僅根據(jù)方程的外表草率地作出判斷；由于條件中，直線pa、pb的斜率存在，因此軌跡曲線應(yīng)除去a、b兩點(diǎn)；一般地，方程1所表示的曲線有以下幾種情況：1°a>b>0，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；2°ab>0，表示圓；3°0<a<b，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；4°a>0>b，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；5°a<0<b，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；6°a，b<0，無(wú)軌跡解設(shè)

13、點(diǎn)p(x，y)，那么kap，kbp.由題意得·k，即kx2y2ka2.點(diǎn)p的軌跡方程為kx2y2ka2 (x±a)(*)(1)當(dāng)k0時(shí)，(*)式即y0，點(diǎn)p的軌跡是直線ab(除去a、b兩點(diǎn))(2)當(dāng)k0時(shí)，(*)式即1，假設(shè)k>0，點(diǎn)p的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去a、b兩點(diǎn))假設(shè)k<0，(*)式可化為1.1°當(dāng)1<k<0時(shí)，點(diǎn)p的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去a、b兩點(diǎn))；2°當(dāng)k1時(shí)，(*)式即x2y2a2，點(diǎn)p的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，|a|為半徑的圓(除去a、b兩點(diǎn))；3°當(dāng)k<1時(shí)，點(diǎn)p的軌跡是焦點(diǎn)在y軸

14、上的橢圓(除去a、b兩點(diǎn))變式遷移1y28x解析由題意：(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|·0，·(x2)·4y·00，移項(xiàng)兩邊平方，化簡(jiǎn)得y28x.例2解題導(dǎo)引(1)由于動(dòng)點(diǎn)m到兩定點(diǎn)o1、o2的距離的差為常數(shù)，故應(yīng)考慮是否符合雙曲線的定義，是雙曲線的一支還是兩支，能否確定實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)等，以便直接寫出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標(biāo)轉(zhuǎn)化；(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程時(shí)需注意：“軌跡和“軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)解如下圖，以o1o2的中點(diǎn)o為原點(diǎn)，o1o2所在直線為x軸建立平面直角

15、坐標(biāo)系由|o1o2|4，得o1(2,0)、o2(2,0)設(shè)動(dòng)圓m的半徑為r，那么由動(dòng)圓m與圓o1內(nèi)切，有|mo1|r1；由動(dòng)圓m與圓o2外切，有|mo2|r2.|mo2|mo1|3<4.點(diǎn)m的軌跡是以o1、o2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點(diǎn)m的軌跡方程為1 (x<0)變式遷移2dsin csin bsin a，由正弦定理得到|ab|ac|bc|a(定值)a點(diǎn)軌跡是以b，c為焦點(diǎn)的雙曲線右支，其中實(shí)半軸長(zhǎng)為，焦距為|bc|a.虛半軸長(zhǎng)為 a，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得為1 (y0)的右支例3解題導(dǎo)引相關(guān)點(diǎn)法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移(代入)法，是求軌跡方程常用的方法其題目特征是

16、：點(diǎn)a的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)b的運(yùn)動(dòng)相關(guān)，且點(diǎn)b的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律(有方程)，只需將a的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到b的坐標(biāo)中，整理即可得點(diǎn)a的軌跡方程解設(shè)動(dòng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)q的坐標(biāo)為(x1，y1)，那么點(diǎn)n的坐標(biāo)為(2xx1,2yy1)n在直線xy2上，2xx12yy12.又pq垂直于直線xy2，1，即xyy1x10.聯(lián)立解得又點(diǎn)q在雙曲線x2y21上，xy1.代入，得動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程是2x22y22x2y10.變式遷移3解設(shè)a(x0,0)，b(0，y0)，p(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)得x0x，y0(1)y.因?yàn)閨ab|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化簡(jiǎn)得

17、y21.點(diǎn)p的軌跡方程為y21.課后練習(xí)區(qū)1b如下圖，由題知|pf1|pf2|2a(設(shè)橢圓方程為1，其中a>b>0)連接mo，由三角形的中位線可得|f1m|mo|a (a>|f1o|)，那么m的軌跡為以f1、o為焦點(diǎn)的橢圓2ba、b是兩個(gè)定點(diǎn)，|cb|ca|2<|ab|，所以點(diǎn)c軌跡為雙曲線的一支3c設(shè)c(x，y)，a(a,0)，b(0，b)，那么a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.4b設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f，因?yàn)閍、b在拋物線上，所以由拋物線的定義知，a、b到f的距離af、bf分別等于a、b到準(zhǔn)線l的距離am、bn(如下圖)，于是|a

18、f|bf|am|bn|.過(guò)o作orl，由于l是圓o的一條切線，所以四邊形amnb是直角梯形，or是中位線，故有|af|bf|am|bn|2|or|8>4|ab|.根據(jù)橢圓的定義知，焦點(diǎn)f的軌跡是一個(gè)橢圓5d因?yàn)閨f1f2|2，|mf1|mf2|2，所以軌跡為一條射線64解析設(shè)p(x，y)，由題知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24，可知圓的面積為4.7(x10)2y236 (y0)解析方法一直接法設(shè)a(x，y)，y0，那么d，|cd| 3.化簡(jiǎn)得(x10)2y236，a、b、c三點(diǎn)構(gòu)成三角形，a不能落在x軸上，即y0.方法二定義法如下圖，設(shè)a(

19、x，y)，d為ab的中點(diǎn)，過(guò)a作aecd交x軸于e，那么e(10,0)|cd|3，|ae|6，a到e的距離為常數(shù)6.a的軌跡為以e為圓心，6為半徑的圓，即(x10)2y236.又a、b、c不共線，故a點(diǎn)縱坐標(biāo)y0.故a點(diǎn)軌跡方程為(x10)2y236 (y0)8y28x解析，.，·0，得2·x·0，得y28x.9解設(shè)m(x，y)，直線ab斜率存在時(shí)，設(shè)直線ab的方程為ykxb.由omab得k.設(shè)a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，由y24px及ykxb消去y，得k2x2x(2kb4p)b20，所以x1x2.消去x，得ky24py4pb0，所以y1y2.(4分)由oaob，得y1y2x1x2，所以，b4kp.故ykxbk(x4p)(8分)用k代入，得x2y24px0 (x0