（整理版）《計(jì)數(shù)原理》（理）知識(shí)點(diǎn)串講

1、計(jì)數(shù)原理理知識(shí)點(diǎn)串講一、根本計(jì)數(shù)原理1分類加法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有類方法，在第一類方法中有種不同的方法，在第二類方法中有種不同的方法，在第類方法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法2分步乘法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它需要分成個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同的方法，做第個(gè)步驟有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法說明：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)是把一個(gè)原始事件分解成假設(shè)干個(gè)分事件來完成兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)，如果完成一件事情有類方法，這類方法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論哪一類方法中的哪一種方法都能獨(dú)立完成這件事

2、情，可類比物理中的“并聯(lián)電路來理解；如果完成一件事情需要分成個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是相依的、不可缺少的，一個(gè)步驟只能完成事情的一局部，必須依次完成所有的步驟，才能完成這件事情，可類比物理中的“串聯(lián)電路來理解運(yùn)用兩個(gè)根本原理解題時(shí)，應(yīng)善于從語言的差異與變化中弄清面臨怎樣的“一件事，弄清事件之間的關(guān)系是相依還是相斥，然后按照恰當(dāng)?shù)摹皩ο筮M(jìn)行分類或分步，合理的設(shè)計(jì)相應(yīng)的做事方式分類要做到“不重不漏，分步要做到“步驟完整這兩個(gè)原理是解決排列組合問題的理論根底二、排列與組合1排列一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列說明：排列的定義中包括兩個(gè)根本內(nèi)容

3、：一是“取出元素；二是“按照一定的順序排列只有取出的元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列，元素不完全相同，或元素完全相同而順序不同的排列屬于不同排列如1，2，3與2，3，4是不同排列；1，2，3與1，3，2也是不同排列排列中元素的有序性是判斷一個(gè)具體問題是不是排列問題的標(biāo)準(zhǔn)，也是與組合問題的根本區(qū)別例如：從1，2，3，5這四個(gè)數(shù)中每次任取兩個(gè)數(shù)相加或相乘，可得到多少個(gè)不同的和積？因?yàn)榧臃ǔ朔M足交換律，它們的和積與順序無關(guān)，如3+5=5+3，因此不是排列問題如果從四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)相減相除，一共有多少個(gè)不同的差商？因?yàn)闇p法除法不滿足交換律，取出的兩個(gè)數(shù)就與順序有關(guān)了，屬

4、于排列問題2排列數(shù)1定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示說明：排列和排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念：一個(gè)排列是取出的個(gè)元素按照一定順序排成的一個(gè)具體的排列，是具體的“一件事；排列數(shù)是一個(gè)數(shù)，是所有的具體排列的數(shù)目如：從1、2、3中每次任取出兩個(gè)元素，組成一個(gè)兩位數(shù)所有的排列有12，13，23，21，31，32其中每一個(gè)數(shù)都是一個(gè)排列，而排列數(shù)是，2排列數(shù)公式：說明：規(guī)定；乘積形式多用于數(shù)字計(jì)算，階乘形式多用于證明恒等式；排列數(shù)性質(zhì)：；3組合一般地，從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合說明：如果兩個(gè)組合中的

5、元素完全相同，不管它們的順序如何都是相同的組合組合的定義中包含兩個(gè)根本內(nèi)容：一是取出元素；二是并成一組，并成一組表示將元素合在一起與元素取出的順序無關(guān)取出的元素是否有順序，是區(qū)分排列和組合的根本依據(jù)4組合數(shù)1定義：從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的所有的組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示2組合數(shù)公式，5組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：；性質(zhì)說明：性質(zhì)1突出了從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素與從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素是一一對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，不計(jì)算而改為計(jì)算性質(zhì)2中注意它的變形公式的應(yīng)用，如，等6解排列組合問題的方法1先要判斷是組合問題還是排列問題，按照元素的性質(zhì)分類，按照事件的發(fā)生過程分步，不

6、重不漏借助樹形圖，框圖等形的工具直觀幫助解題總體上有三種方法：直接法先安排特殊元素和特殊位置，間接法正難那么反，分類討論法2排列組合問題的16字方針，12個(gè)技巧方針是：分類相加、分步相乘、有序排列、無序組合；技巧是：相鄰問題捆綁法莫忘松綁，不相鄰問題插空法，多排問題直排法，定序問題可能法，定位問題優(yōu)先法，有序分配問題先整體后局局部步法，多元問題分類法，構(gòu)造模型處理法，至少、至多問題間接法，選排問題先選后排法，局部與整體問題排除法，復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化法3分組問題的求法：設(shè)有個(gè)元素，平均分成組，每組個(gè)，那么有種分法；平均分成組，再分配到個(gè)位置，有種分法假設(shè)不平均分組或不平均分組再分配，如：6個(gè)元素分成3

7、組，一組1個(gè)，二組2個(gè)，三組3個(gè)，那么有；假設(shè)再將這3組分配給3個(gè)位置，那么有種分法三、二項(xiàng)式定理1二項(xiàng)展開式在中，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)；，此公式稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式說明：其右端展開式共有項(xiàng)通項(xiàng)公式表示的是第項(xiàng)與的位置不能互換，對于任意實(shí)數(shù)與，上面的等式恒成立二項(xiàng)式系數(shù)指，二項(xiàng)展開式的系數(shù)與前面的系數(shù)有關(guān)2楊輝三角楊輝三角是我國古代數(shù)學(xué)的研究成果，它給我們提供了一種研究問題的數(shù)學(xué)模型，從不同的角度觀察研究模型，就可以得到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：一是對稱性，結(jié)合公式 理解；二是增減性與最大值，如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大為；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，最大為；三是各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即，它說明集合含有個(gè)元素，那么它的所有的子集包括空集的個(gè)數(shù)為個(gè)另外，二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即3二項(xiàng)展開式的應(yīng)用1利用通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)、特征項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng)等或特征項(xiàng)的系數(shù)2近似計(jì)算，當(dāng)與1相比擬很小且不大時(shí)，常用近似公式，使用公式時(shí)要注意的條件以及對計(jì)算精確度的要求3整除性問題與求余數(shù)問題，對被除式進(jìn)行合理的變形，把它寫成恰當(dāng)?shù)亩?xiàng)式的形式，使其展開后的每一項(xiàng)含有除式的因式或只有一、二項(xiàng)不能整除4求展開式的