（整理版）全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細解析3

1、1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細解析一、選擇題(每題6分，共36分)1數(shù)列xn滿足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 記sn=x1+x2+l+xn，那么以下結(jié)論正確的選項是(a)x100=-a，s100=2b-a (b)x100=-b，s100=2b-a(c)x100=-b，s100=b-a (d)x100=-a，s100=b-a4在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲線為橢圓，那么m的取值范圍為 (a)(0，1) (b)(1，+) (c)(0，5) (d)(5，+)5設(shè)f(x)=x2x，a = arcsin，=arctan，=a

2、rcos()，d=arccot()，那么(a)f()>f()>f(d)>f() (b) f()> f(d)>f()>f() (c) f(d)>f()>f()>f() (d) f(d)>f()>f()>f() 6如果空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都相交的直線有(a) 0條 (b) 1條 (c)多于1 的有限條 (d) 無窮多條二填空題(每題9分，共54分)1設(shè)x，y為實數(shù)，且滿足那么x+y = .2過雙曲線x2=1的右焦點作直線l交雙曲線于a、b兩點，假設(shè)實數(shù)使得|ab| =的直線l恰有3條，那么=

3、.3復(fù)數(shù)z滿足=1，那么z的幅角主值范圍是 4三棱錐s-abc的底面是以ab為斜邊的等腰直角三角形，sa=sb=sc=2，ab=2，設(shè)s、a、b、c四點均在以o為球心的某個球面上，那么點o到平面abc的距離為 5設(shè)abcdef為正六邊形，一只青蛙開始在頂點a處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一假設(shè)在5次之內(nèi)跳到d點，那么停止跳動；假設(shè)5次之內(nèi)不能到達d點，那么跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共 種6設(shè)a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，記a，b，c中最大數(shù)為m，那么m的最小

4、值為 三、此題總分值20分設(shè)xyz，且x+y+z =，求乘積cosx siny cosz的最大值和最小值五、(此題總分值20分)設(shè)非零復(fù)數(shù)a1，a2，a3，a4，a5滿足其中s為實數(shù)且|s|2求證：復(fù)數(shù)a1，a2，a3，a4，a5在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上第二試(10月5日上午10:30-12:30)一、此題50分如圖，兩個半徑不相等的o1與o2相交于m、n兩點，且o1、o2分別與o內(nèi)切于s、t兩點。求證：ommn的充分必要條件是s、n、t三點共線。求最小的自然數(shù)k，使得只要表1中填入的數(shù)滿足xi，j1i=1，2，100，那么當(dāng)ik時，在表2中就能保證x¢i，j1成立。表1表

5、2x1,1x1,2x1,25x¢1,1x¢1,2x¢1,25x2,1x2,2x2,25x¢2,1x¢2,2x¢2,25x100,1x100,2x100,25x¢100,1x¢100,2x¢100,251997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一、選擇題(每題6分，共36分)1數(shù)列xn滿足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 記sn=x1+x2+l+xn，那么以下結(jié)論正確的選項是(a)x100=-a，s100=2b-a (b)x100=-b，s100=2b-a(c)x100=-b，s100=b-a

6、 (d)x100=-a，s100=b-a【答案】a【解析】x1=a，x2=b，x3=ba，x4=a，x5=b，x6=ab，x7=a，x8=b，易知此數(shù)列循環(huán)，xn+6=xn，于是x100=x4=a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故s100=2ba選a3設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項的和為972，那么這樣的數(shù)列共有(a)2個 (b)3個 (c)4個 (d)5個【答案】c4在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲線為橢圓，那么m的取值范圍為 (a)(0，1) (b)(1，+) (c)(0，5) (d)(5，+)【答案】d

7、【解析】看成是軌跡上點到(0，1)的距離與到直線x2y+3=0的距離的比：=<1Þm>5，選d5設(shè)f(x)=x2x，a = arcsin，=arctan，=arcos()，d=arccot()，那么 (a)f()>f()>f(d)>f() (b) f()> f(d)>f()>f() (c) f(i)>f()>f()>f() (d) f(d)>f()>f()>f() 【答案】b【解析】f(x)的對稱軸為x=， 易得， 0<<<<<<<<<<&l

8、t;選b二填空題(每題9分，共54分)1設(shè)x，y為實數(shù)，且滿足那么x+y = .【答案】2【解析】原方程組即取 f(t)=t3+1997t+1，f ¢(t)=3t2+1987>0故f(t)單調(diào)增，現(xiàn)x1=1y，x+y=23復(fù)數(shù)z滿足=1，那么z的幅角主值范圍是 4三棱錐s-abc的底面是以ab為斜邊的等腰直角三角形，sa=sb=sc=2，ab=2，設(shè)s、a、b、c四點均在以o為球心的某個球面上，那么點o到平面abc的距離為 5設(shè)abcdef為正六邊形，一只青蛙開始在頂點a處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一假設(shè)在5次之內(nèi)跳到d點，那么停止跳動；假設(shè)5次之內(nèi)不能到達d點，那么跳完

9、5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共 種【答案】26【解析】青蛙跳5次，只可能跳到b、d、f三點(染色可證)青蛙順時針跳1次算+1，逆時針跳1次算1，寫5個“1，在中填“+號或“號： 11111規(guī)那么可解釋為：前三個中如果同號，那么停止填寫；假設(shè)不同號，那么后2個中繼續(xù)填寫符號前三同號的方法有2種；前三個不同號的方法有232=6種，后兩個中填號的方法有22種 共有2+6×4=26種方法6設(shè)a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，記a，b，c中最大數(shù)為m，那么m的最小值為 【

10、答案】log2【解析】a=log(+z)，b=log(yz+)，c=log(+y) a+c=log(+yz+x)2log2于是a、c中必有一個log2即mlog2，于是m的最小值log2但取x=y=z=1，得a=b=c=log2即此時m=log2于是m的最小值log2 所求值=log2四、(此題總分值20分)設(shè)雙曲線xy=1的兩支為c1，c2(如圖)，正三角形pqr的三頂點位于此雙曲線上(1)求證：p、q、r不能都在雙曲線的同一支上；(2)設(shè)p(-1，-1)在c2上， q、r在c1上，求頂點q、r的坐標(biāo)【解析】設(shè)某個正三角形的三個頂點都在同一支上此三點的坐標(biāo)為p(x1，)，q(x2，)，r(x

11、3，)不妨設(shè)0<x1<x2<x3，那么>>>0kpq=；kqr=；tanpqr=<0，從而pqr為鈍角即pqr不可能是正三角形五、(此題總分值20分)設(shè)非零復(fù)數(shù)a1，a2，a3，a4，a5滿足其中s為實數(shù)且|s|2求證：復(fù)數(shù)a1，a2，a3，a4，a5在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上 q+r再令q=r(cos+isin)，(r>0)那么q+=(r+)cos+i(r)sinrÞsin=0或r=1 假設(shè)sin=0，那么q=±r為實數(shù)此時q+2或q+2此時q+，或q+此時，由|(q+)2|1，知q=1此時，|ai|=2 假設(shè)r=1

12、，仍有|ai|=2，故此五點在同一圓周上 假設(shè)1+q+q2+q3+q4=0那么q51=0， |q|=1此時|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五點在同一圓上綜上可知，表示復(fù)數(shù)a1，a2，a3，a4，a5在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上第二試二此題50分試問：當(dāng)且僅當(dāng)實數(shù)x0，x1，xnn2滿足什么條件時，存在實數(shù)y0，y1，yn使得z02=z12+z22+zn2成立，其中zk=xk+iyk，i為虛數(shù)，k=0，1，n。證明你的結(jié)論?！窘馕觥拷猓簔02=x02y02+2x0y0i=(x12+x22+xn2)(y12+y22+yn2)+2(x1y1+x2y2+xnyn)i x02

13、y02=(x12+x22+xn2)(y12+y22+yn2)；x0y0=x1y1+x2y2+xnyn假設(shè)x02> x12+x22+xn2，那么y02> y12+y22+yn2此時x02y02>( x12+x22+xn2)( y12+y22+yn2)(x1y1+x2y2+xnyn)2=(x0y0)2矛盾故必x02x12+x22+xn2反之，假設(shè)x02x12+x22+xn2成立此時，可分兩種情況： 當(dāng)x02=x12+x22+xn2成立時，取yi=xi(i=0，1，2，n)，于是z02=(x0+y0i)2=x02y02+2x0y0i=2x0y0i，而z12+z22+zn2=(x12+x22+xn2)(y12+y22+yn2)+2(x1y1+x2y2+xnyn)i=2(x1y1+x2y2+xnyn)i=2(x12+x22+xn2)i=2x02i=2x0y0i即z02=z12+z22+zn2成立三、此題50分在100×25的長方形表格中每一格填入一個非負實數(shù)，第i行第j列中填入的數(shù)為xi , ji=1，2，100；j=1，2，25如表1。然后將表1每列中的數(shù)按由小到大的次序從上到下重新排列為x¢1 , jx¢2 , jx¢100 , jj=1，2，25