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1、向量中的三角形四“心探究三角形的四“心與平面向量有著千絲萬縷的關(guān)系,對這兩者進(jìn)行一定的探究,有助于我們更準(zhǔn)確把握向量的本質(zhì)在10年全國卷里有這樣一道高考題:o是平面上一定點,a、b、c是平面上不共線的三點,動點p滿足 ,那么p點的軌跡一定通過的 xa圖1.amoycpqnba外心 b內(nèi)心 c重心 d垂心簡析:此題通過考察平面向量中的向量與相關(guān)運算相關(guān)知識,來探究三角形中的四“心問題 取 , ,那么、是向量,如圖1,四邊形amqn是菱形,且aq是的角平分線 , 即,點的軌跡就是射線,點的軌跡一定通過的內(nèi)心,應(yīng)選b.這里我們很自然地會聯(lián)想:滿足條件的點p的軌跡通過的內(nèi)心,那么能不能構(gòu)造一個類似的向
2、量式子,使點p的軌跡通過的外心,重心或垂心?變題1:o是平面上一定點,a,b,c 是平面上不共線的三點,動點p滿足 ,那么p點的軌跡一定通過的 a外心 b內(nèi)心 c重心 d垂心簡析:如圖2,取bc邊上的中點d,連接ad.bx.acdoy.p圖2p,圖2點的軌跡就是射線.點的軌跡一定通過的重心,應(yīng)選c.其實眾所周知,在平面向量中,三角形的重心還有一個非常重要的結(jié)論:點g為的重心的充要條件是:證明:假設(shè)點g是的重心,o是任意一點,易得,當(dāng)o與g重合時得;另一方面,以gc、gb為邊作平行四邊形gbec,那么,a、g、e三點共線,可知g必為的重心應(yīng)用1:全國聯(lián)賽的三邊長,g為的重心,假設(shè)滿足,那么的形狀
3、是 a直角三角形 b等腰三角形 c等邊三角形 d鈍角三角形簡析:g為重心,那么有代入,得,故,所以應(yīng)選c應(yīng)用2:全國聯(lián)賽 設(shè)o點在內(nèi)部,且有,那么 的面積與的面積比為 a2 b c3 dbocfe圖3簡析:如圖3,延長至,使;延長至,使, 由題意知,可知o是的重心有,而同理得,所以,故有,所以選c.變題2:o是平面上一定點,a,b,c 是平面上不共線的三點,動點p滿足 ,那么p點的軌跡一定通過的 a外心 b內(nèi)心 c重心 d垂心y圖4b.acxop.簡析:在式子的兩邊點乘,=0, 如圖4 點的軌跡過點a且垂直于邊bc,點的軌跡一定通過的垂心,應(yīng)選d.變題3:o是平面上一定點,a,b,c 是平面上
4、不共線的三點,動點p滿足 ,那么p點的軌跡一定通過的 a外心 b內(nèi)心 c重心 d垂心圖5p.bacdxoy.簡析:如圖5,取bc邊上的中點d,如圖4所以式子可化簡成在式子的兩邊點乘, = 0 , 點的軌跡過邊bc的中點d且垂直于邊bc點的軌跡一定通過的外心,應(yīng)選a.通過前面幾個變題的探究,我們看到了平面向量與三角形四“心的內(nèi)在聯(lián)系,當(dāng)然三角形四“心在向量中的表現(xiàn)形式不是唯一的,我們再來欣賞其它的向量等式:1o是所在平面上的一點,假設(shè)有,那么o是 的內(nèi)心簡證:,所以題中可變?yōu)椋?,可知,與共線,即:是的角平分線,同理可得:分別為的角平分線,所以o是的內(nèi)心2o是所在平面上的一點,假設(shè)有,那么o是的內(nèi)心簡證:由題知,所以點o是的三條角平分線的交點,即o是的內(nèi)心3設(shè)o為所在平面上的一點,假設(shè) ,那么點o為的垂心 簡證:由題得,即,同理可證、,所以o為的垂心4設(shè)外心為o,假設(shè)點m滿足,那么點m為垂心簡證:, 而,故,所以有,同理,所以點m為垂心.5設(shè)o為所在平面上的一點,假設(shè),點o為的外心 簡證:由題可得所以:,故,可得點o為的外心向量的內(nèi)涵是十分豐富的,本文從向量這個角度對三角形的四“心進(jìn)行一定的總結(jié)歸納,使我們對三角形的四“心在向量中的表現(xiàn)形式有了進(jìn)一步的
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