【創(chuàng)新設(shè)計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 矩陣與變換課件 理 蘇教版選修4-2

1、選修選修42矩陣與變換矩陣與變換 了解矩陣的概念了解矩陣的概念/理解幾種常見的平面變換理解幾種常見的平面變換/理解矩陣對應(yīng)的變換把平面上的直線理解矩陣對應(yīng)的變換把平面上的直線變成直線變成直線/理解矩陣的復合與矩陣的乘法理解矩陣的復合與矩陣的乘法/理解二階逆矩陣的意義，二階矩陣的特理解二階逆矩陣的意義，二階矩陣的特征值和特征向量征值和特征向量/掌握二階矩陣的簡單應(yīng)用掌握二階矩陣的簡單應(yīng)用 【命題預測】【命題預測】 1矩陣是研究數(shù)學問題和實際問題的一種工具，因此，掌握矩陣的運算方法就矩陣是研究數(shù)學問題和實際問題的一種工具，因此，掌握矩陣的運算方法就 顯得非常重要在高考中對這一部分的考查也主要體現(xiàn)在

2、研究問題的方法顯得非常重要在高考中對這一部分的考查也主要體現(xiàn)在研究問題的方法 中中2由于這一部分是新增加的內(nèi)容，也是高中數(shù)學教材與高等數(shù)學教材的接軌知由于這一部分是新增加的內(nèi)容，也是高中數(shù)學教材與高等數(shù)學教材的接軌知 識，故難度不會很大，通?？疾榫仃嚨幕具\算，或與解析幾何中二次曲線識，故難度不會很大，通?？疾榫仃嚨幕具\算，或與解析幾何中二次曲線 的變換結(jié)合起來進行考查，以二階矩陣的考查為主的變換結(jié)合起來進行考查，以二階矩陣的考查為主3若有涉及生產(chǎn)實際中的問題，通常也會是一些基礎(chǔ)的問題，主要與方程的變?nèi)粲猩婕吧a(chǎn)實際中的問題，通常也會是一些基礎(chǔ)的問題，主要與方程的變 換與求解結(jié)合起來，并且主

3、要強調(diào)做題的技巧矩陣帶來的方便將會是考查換與求解結(jié)合起來，并且主要強調(diào)做題的技巧矩陣帶來的方便將會是考查 的方向，滲透等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學思想的方向，滲透等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學思想 【應(yīng)試對策】【應(yīng)試對策】 1矩陣變換的性質(zhì)從代數(shù)方面可以簡單概括為以下三條：對于給定的矩陣矩陣變換的性質(zhì)從代數(shù)方面可以簡單概括為以下三條：對于給定的矩陣A和任意的向量和任意的向量a和和b，都有，都有(1)A(ab)AaAb；(2)對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)都有都有A(a)(Aa)；(3)綜合綜合(1)(2)可得對于任意實數(shù)可得對于任意實數(shù)和和，都有，都有A(ab)(Aa)(Ab)從幾何角度來看，可逆的矩

4、陣變換把直線變成直線，把線段變成線從幾何角度來看，可逆的矩陣變換把直線變成直線，把線段變成線段，把平行四邊形變成平行四邊形段，把平行四邊形變成平行四邊形2因為矩陣的乘法運算不滿足交換律，對應(yīng)的，對一個向量因為矩陣的乘法運算不滿足交換律，對應(yīng)的，對一個向量a先實施變換先實施變換f，再實施變換再實施變換g和先實施變換和先實施變換g，再實施變換，再實施變換f，其結(jié)果通常也是不一樣的因，其結(jié)果通常也是不一樣的因而做題時必須認真審題，弄清題意，不能混淆而做題時必須認真審題，弄清題意，不能混淆f(ga)和和g(fa)3鑒于大多數(shù)同學對矩陣的運算還不熟練，在求逆矩陣和利用逆矩陣求鑒于大多數(shù)同學對矩陣的運算還

5、不熟練，在求逆矩陣和利用逆矩陣求二元一次方程組時，一定要注意對計算結(jié)果進行檢驗二元一次方程組時，一定要注意對計算結(jié)果進行檢驗4矩陣的特征值和特征向量在求解形如矩陣的特征值和特征向量在求解形如Mna的矩陣與向量的乘法運算中有的矩陣與向量的乘法運算中有重要應(yīng)用，熟練掌握本講知識，將可以大大減少運算量另外，我們重要應(yīng)用，熟練掌握本講知識，將可以大大減少運算量另外，我們還經(jīng)常用它來解決生活類的問題，體現(xiàn)了矩陣知識在現(xiàn)實生活中的廣還經(jīng)常用它來解決生活類的問題，體現(xiàn)了矩陣知識在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用泛應(yīng)用【知識拓展】【知識拓展】 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)設(shè)A ， 所謂所謂A的轉(zhuǎn)置就是指矩陣的轉(zhuǎn)置就是指矩陣A1

6、矩陣矩陣(1)在在數(shù)學中，把形如數(shù)學中，把形如 這樣的矩形數(shù)字這樣的矩形數(shù)字(或字或字母母)陣列稱做陣列稱做 .把像把像a11a12這樣只有一行的矩陣稱為這樣只有一行的矩陣稱為 ， 像像 這樣只有一列的矩陣稱為這樣只有一列的矩陣稱為 .同一橫排中按原來的次序排列的一行同一橫排中按原來的次序排列的一行數(shù)數(shù)(或字母或字母)叫做矩陣的叫做矩陣的 ，同一豎排中按原來的次序排列的一列數(shù)，同一豎排中按原來的次序排列的一列數(shù)(或字母或字母)叫做叫做矩陣的矩陣的 ，而組成矩陣的每一個數(shù)，而組成矩陣的每一個數(shù)(或字母或字母)稱為矩陣的稱為矩陣的 .(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣(3)只有

7、一列的矩陣稱為列矩陣只有一列的矩陣稱為列矩陣(4)所有元素都為所有元素都為0的矩陣叫做的矩陣叫做 矩陣矩陣(5)對于兩個矩陣對于兩個矩陣A，B，只有當，只有當A，B的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對應(yīng)位置的元的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對應(yīng)位置的元素素 ，A和和B才相等，記作才相等，記作 .矩陣矩陣行矩陣行矩陣列矩陣列矩陣元素元素列列零零也分別相等時也分別相等時AB行行2幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換(1)矩矩陣陣E 稱為恒等變換矩陣或稱為恒等變換矩陣或 矩陣矩陣(2)像像 這樣的矩陣，稱為沿這樣的矩陣，稱為沿y軸或軸或x軸的垂直軸的垂直 變換矩陣變換矩陣(3)像像 這樣的矩陣，稱為反射變換矩陣

8、這樣的矩陣，稱為反射變換矩陣(4)像像 這樣的矩陣，稱為旋轉(zhuǎn)變換矩陣這樣的矩陣，稱為旋轉(zhuǎn)變換矩陣(5)像像 這類將平面內(nèi)圖形投影到某條直線這類將平面內(nèi)圖形投影到某條直線(或某個點或某個點)上的矩陣，稱上的矩陣，稱為投影變換矩陣為投影變換矩陣(6)像像 (kR，k0)這樣的矩陣，稱為切變變換矩陣這樣的矩陣，稱為切變變換矩陣單位單位伸壓伸壓3變換的復合與矩陣的乘法變換的復合與矩陣的乘法(1)對對于矩陣于矩陣 ，規(guī)定乘法法則如下：，規(guī)定乘法法則如下：(2)一般情況下，一般情況下，ABBA，即矩陣的乘法不滿足交換律，即矩陣的乘法不滿足交換律(3)矩陣的乘法滿足結(jié)合律，即矩陣的乘法滿足結(jié)合律，即 (4)

9、矩陣的乘法不滿足消去律矩陣的乘法不滿足消去律(AB)CA(BC)4.逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣(1)對對于二階矩陣于二階矩陣A、B，若有，若有ABBAE，則稱，則稱A是可逆的，是可逆的，B稱為稱為A的的 . A的逆矩陣記作的逆矩陣記作A1.( 2 ) 若 二 階 矩 陣若 二 階 矩 陣 A 、 B 均 存 在 逆 矩 陣 ， 則均 存 在 逆 矩 陣 ， 則 A B 也 存 在 逆 矩 陣 ，也 存 在 逆 矩 陣 ，且且 .(3)已知已知A、B、C為二階矩陣，且為二階矩陣，且ABAC，若矩陣，若矩陣A存在逆矩陣，則存在逆矩陣，則BC.(4)我們把我們把 稱為稱為 ，記為，記為 .逆矩陣逆

10、矩陣(AB)1B1A1二階行列式二階行列式5特征值與特征向量特征值與特征向量(1)設(shè)設(shè)A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)，存在一個非零向量，存在一個非零向量，使，使A，那么，那么稱為稱為A的一個特征值，而的一個特征值，而稱為稱為A的屬于特征值的屬于特征值的一個特的一個特征向量征向量(2)設(shè)設(shè)A 是一個二階矩陣，是一個二階矩陣，R，我們把行列式，我們把行列式f() 2(ad)adbc稱為稱為A的特征多項式的特征多項式1已知已知A ， B ，且，且AB，則，則x_，y_，z_，m_.答案：答案：30122. _.解析：解析： 答案：答案：3. _.解析：解析： 14(1)(

11、2)2.答案：答案：24A 的特征多項式的特征多項式f()_. 解析：解析：f() (1)24223. 答案：答案：2235A 的特征值為的特征值為_ 解析：解析：f() (2)21243.由由f() 0得得1或或3. 答案：答案：1或或3給給定一個二階矩陣，就確定了一個變換，它的作用是將平面上一個點定一個二階矩陣，就確定了一個變換，它的作用是將平面上一個點( (向量向量) )變變成了另外一個點成了另外一個點( (向量向量) )平面中常見的變換都可以用矩陣來表示平面中常見的變換都可以用矩陣來表示【例【例1】已已知知ABC經(jīng)過矩陣經(jīng)過矩陣M的變換后，變成了的變換后，變成了ABC，且，且A(1,0

12、)，B(1，1)，C(0，1)，A(1,0)，B(0，1)(1)試求出矩陣試求出矩陣M，并說明它的變換類型；，并說明它的變換類型；(2)試求出點試求出點C的坐標的坐標思路點撥：思路點撥：對于已知變換前后的象和原象，求變換矩陣這類問題，我對于已知變換前后的象和原象，求變換矩陣這類問題，我們顯然無法對所有的變換進行一一嘗試，用待定系數(shù)法解題可起到事們顯然無法對所有的變換進行一一嘗試，用待定系數(shù)法解題可起到事半功倍的效果半功倍的效果解：解：設(shè)設(shè)M 依題意得依題意得 且且 (2) 故點故點C的坐標是的坐標是(1，1)變式變式1：(南京調(diào)研南京調(diào)研)已知矩陣已知矩陣M ，N .在平面直角坐標系中，設(shè)在平

13、面直角坐標系中，設(shè)直線直線2xy10在矩陣在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到曲線對應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求曲線，求曲線F的方程的方程它是沿它是沿x軸方向的切變變換軸方向的切變變換解：解：由由題設(shè)得題設(shè)得MN設(shè)設(shè)(x，y)是直線是直線2xy10上任意一點，點上任意一點，點(x，y)在矩陣在矩陣MN對應(yīng)的變對應(yīng)的變 換作用下變?yōu)閾Q作用下變?yōu)?x，y)，則有則有 ，即，即 所以所以因為點因為點(x，y)在直線在直線2xy10上從而上從而2x(y)10，即即2xy10.所以曲線所以曲線F的方程為的方程為2xy10.矩陣相乘時應(yīng)靈活運用運算律，以提高解題效率，但要注意交換律和消去矩陣相乘時應(yīng)靈活運用運算

14、律，以提高解題效率，但要注意交換律和消去律在矩陣的乘法中一般不成立律在矩陣的乘法中一般不成立【例【例2】 (江蘇鎮(zhèn)江江蘇鎮(zhèn)江)已已知知B ， 并且并且(AB)C ，求矩陣求矩陣A.思路點撥：思路點撥：本例在解題中應(yīng)靈活應(yīng)用矩陣乘法的結(jié)合律和逆矩陣的知識，本例在解題中應(yīng)靈活應(yīng)用矩陣乘法的結(jié)合律和逆矩陣的知識，從而避開繁瑣的計算從而避開繁瑣的計算答案：答案：(AB)CA(BC)且且BC ， 故故 A變式變式2：設(shè)設(shè)矩陣矩陣A .求求A2，A4，由此猜想由此猜想An(nN*)解：解：AA2AAA4(A2)2 由此猜想由此猜想An (nN*)逆矩陣是對應(yīng)著原先變換的逆變換，求逆矩陣一般是先設(shè)出逆矩陣，

15、通過與逆矩陣是對應(yīng)著原先變換的逆變換，求逆矩陣一般是先設(shè)出逆矩陣，通過與原矩陣相乘得到的矩陣等于單位矩陣，由此得到方程組，解方程組便能求出原矩陣相乘得到的矩陣等于單位矩陣，由此得到方程組，解方程組便能求出逆矩陣逆矩陣【例【例3】已已知以原點為中心旋轉(zhuǎn)知以原點為中心旋轉(zhuǎn)60的變換的變換f對應(yīng)于矩陣對應(yīng)于矩陣A，切變變換切變變換g：對應(yīng)于矩陣對應(yīng)于矩陣B.(1)寫出矩陣寫出矩陣A和矩陣和矩陣B；(2)從逆變換的角度求解矩陣從逆變換的角度求解矩陣A和矩陣和矩陣B的逆矩陣的逆矩陣；(3)計算計算(AB)1.思路點撥：思路點撥：對于幾何意義明顯的線性變換對于幾何意義明顯的線性變換(如題中的變換如題中的變

16、換f和變換和變換g)，要撐握它的逆變，要撐握它的逆變換，利用逆變換求逆矩陣有時比利用行列式求逆矩陣要來得快捷簡便換，利用逆變換求逆矩陣有時比利用行列式求逆矩陣要來得快捷簡便解：解：(1)A B(2)變換變換f的逆變換的逆變換f是以原點為中心旋轉(zhuǎn)是以原點為中心旋轉(zhuǎn)60的旋轉(zhuǎn)變換，故的旋轉(zhuǎn)變換，故A1 變換變換g把任一向量把任一向量 變成變成 ，如要變回，如要變回 ，只需，只需用實施一次切變變換用實施一次切變變換 故故B1 (AB)1B1A1變式變式3：(鹽城調(diào)研鹽城調(diào)研)已已知矩陣知矩陣M ，N ，試求曲線試求曲線ycos x在矩在矩陣陣M1N變換下的函數(shù)解析式變換下的函數(shù)解析式解：解：M1 ，

17、所所以以M1N 即在矩陣即在矩陣M1N的變換下有如下過程的變換下有如下過程,則則 ycos 2x，即曲線即曲線ycos x在矩陣在矩陣M1N的變換下的解析式為的變換下的解析式為y2 cos 2x.矩陣的特征值和特征向量在求解形如矩陣的特征值和特征向量在求解形如Mna的矩陣與向量的乘法運算中有重要的矩陣與向量的乘法運算中有重要應(yīng)用，應(yīng)掌握求解二階方陣的特征向量和特征值的基本方法關(guān)于特征值問應(yīng)用，應(yīng)掌握求解二階方陣的特征向量和特征值的基本方法關(guān)于特征值問題的一般解法探究如下：題的一般解法探究如下：給定矩陣給定矩陣A ，向量向量a ，若有特征值若有特征值，則則 ，即即 ，所以所以 ，即即2(ad)(

18、adbc)0.【例【例4】 (江蘇南京江蘇南京)已知矩陣已知矩陣M(1)判判斷矩陣斷矩陣M是否有特征值和特征向量是否有特征值和特征向量，如果有，求出它的特征值和特征向量如果有，求出它的特征值和特征向量；(2)若向量若向量c 求求M5c.思路點撥：思路點撥：求解特征值和特征向量是基本功，是后繼應(yīng)用的前提，同學們要在理解求解特征值和特征向量是基本功，是后繼應(yīng)用的前提，同學們要在理解其解題原理的基礎(chǔ)上加以熟練掌握其解題原理的基礎(chǔ)上加以熟練掌握解：解：(1)方程方程 2560有解，故矩陣有解，故矩陣M有特征值和特征向量，有特征值和特征向量，由由2560得得12，23.對于特征值對于特征值12，設(shè)，設(shè)1

19、對應(yīng)的特征向量是對應(yīng)的特征向量是a ，則，則Ma1a，即，即 ，整理得整理得 取取a 作為特征值作為特征值12的特征向量的特征向量同理，設(shè)對應(yīng)特征值同理，設(shè)對應(yīng)特征值23的特征向量為的特征向量為b ，得相應(yīng)的線性方，得相應(yīng)的線性方程組程組取取b 作為特征值作為特征值23的特征向量的特征向量(2) ， 故故變式變式4：(蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)查蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)查)已已知矩陣知矩陣M ，其中其中aR，若若點點P(1，2)在矩陣在矩陣M的變換下得到點的變換下得到點P(4,0)(1)求實數(shù)求實數(shù)a的值的值；(2)求矩陣求矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量的特征值及其對應(yīng)的特征向量解：解：(

20、1)由由 .得得22a4，即，即a3.(2)由由(1)知，知，M ，則矩陣，則矩陣M的特征多項式為：的特征多項式為：f() (2)(1)6234.令令f()0，得矩陣，得矩陣M的特征值為的特征值為1與與4.當當1時，時， xy0，矩陣矩陣M的屬于特征值的屬于特征值1的一個特征向量為的一個特征向量為 ；當當4時，時， 2x3y0，矩陣矩陣M的屬于特征值的屬于特征值4的一個特征向量為的一個特征向量為 . 1正確理解矩陣乘法的意義，熟練掌握二階矩陣乘法的運算法則，是進行矩陣正確理解矩陣乘法的意義，熟練掌握二階矩陣乘法的運算法則，是進行矩陣乘法運算的關(guān)鍵，需要指出的是：一般地，矩陣乘法不滿足交換律，即

21、乘法運算的關(guān)鍵，需要指出的是：一般地，矩陣乘法不滿足交換律，即MNNM不一定成立，這一點需要仔細體會不一定成立，這一點需要仔細體會2矩陣乘法的代數(shù)運算和幾何意義從兩個不同的方面刻畫了矩陣乘法與變換復矩陣乘法的代數(shù)運算和幾何意義從兩個不同的方面刻畫了矩陣乘法與變換復合之間的內(nèi)在聯(lián)系，復雜的變換都可以通過簡單的初等變換復合而成合之間的內(nèi)在聯(lián)系，復雜的變換都可以通過簡單的初等變換復合而成【規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)】3矩陣與變換的關(guān)系，本質(zhì)上就是數(shù)與形的關(guān)系，在矩陣的乘法運算中，應(yīng)注矩陣與變換的關(guān)系，本質(zhì)上就是數(shù)與形的關(guān)系，在矩陣的乘法運算中，應(yīng)注意抓住矩陣所對應(yīng)變換的幾何意義進行分析，從數(shù)形結(jié)合這一

22、數(shù)學思想方法意抓住矩陣所對應(yīng)變換的幾何意義進行分析，從數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學思想方法的高度來認識和把握矩陣乘法運算的高度來認識和把握矩陣乘法運算4對于特征值與特征向量，關(guān)鍵是要理解特征值與特征向量的本質(zhì)含義，并會對于特征值與特征向量，關(guān)鍵是要理解特征值與特征向量的本質(zhì)含義，并會求特征值與特征向量判斷矩陣的特征值與特征向量可通過驗證求特征值與特征向量判斷矩陣的特征值與特征向量可通過驗證M是是否成立求解矩陣的特征值與特征向量要按步驟進行計算對于特征值否成立求解矩陣的特征值與特征向量要按步驟進行計算對于特征值而而言，它的特征向量不唯一，若言，它的特征向量不唯一，若為一個矩陣的特征向量，則為一個矩陣的特征向

23、量，則t(tR，t0)也也為該矩陣的特征向量為該矩陣的特征向量.【例【例5】 (2009江蘇卷江蘇卷)求求矩陣矩陣A 的逆矩陣的逆矩陣分析：分析：設(shè)出矩陣設(shè)出矩陣A的逆矩陣，通過這個矩陣與其逆矩陣的乘積等于單位矩陣，列的逆矩陣，通過這個矩陣與其逆矩陣的乘積等于單位矩陣，列出方程組求解出方程組求解規(guī)范解答：規(guī)范解答：設(shè)矩陣設(shè)矩陣A的逆矩陣為的逆矩陣為 ，則則 ， 即即 故故解得解得從而從而A的逆矩陣為的逆矩陣為A1【高考真題高考真題】 【課本探源課本探源】本題考查的是矩陣的基礎(chǔ)知識，類似的題目在各個版本本題考查的是矩陣的基礎(chǔ)知識，類似的題目在各個版本矩陣與變矩陣與變換換的教材中均有，如蘇教版教材的教材中均有，如蘇教版教材P95練習題就是：求矩陣練習題就是：求矩陣 的逆矩陣，可以的逆矩陣，可以說本題是一道來源于教材的題目說本題是一道來源于教材的題目【知識鏈接】【知識鏈接】 矩陣的逆矩陣矩陣的逆矩陣逆矩陣是指存在一個矩陣逆矩陣是指存在一個矩陣B，使得矩陣，使得矩陣A與其乘積等于單位矩陣，即矩陣與其乘積等于單位矩陣，即矩陣A的逆矩陣的逆矩陣滿足滿足ABBAI.一個二階矩陣存在逆矩陣的充要條件是這個矩陣的行列式不等