【創(chuàng)新設(shè)計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 第4單元 4.1 平面向量的概念及線性運算課件 理 新人教B版

1、(了解向量的實際背景了解向量的實際背景/理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義/理理解向量的幾何表示解向量的幾何表示/掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義/掌握向掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義/了解向量線性運算的性了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義質(zhì)及其幾何意義) 4.1 4.1 平面向量的概念及線性運算平面向量的概念及線性運算1向量的定義：向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量既有大小又有方向的量叫做向量2. 有向線段的定義：有向線段

2、的定義：帶有方向的線段叫有向線段帶有方向的線段叫有向線段. 有向線段包括：起點、方向、長度有向線段包括：起點、方向、長度. 向量可以用有向線段表示向量可以用有向線段表示 3模的定義：模的定義：向量向量 的大小的大小(長度長度)叫向量的模，記作叫向量的模，記作 長度為長度為0的向量叫做零向量，記作的向量叫做零向量，記作0；長度為；長度為1個單位長度的向量叫單位向個單位長度的向量叫單位向量量 4向量相等定義：向量相等定義：長長度相等且方向相同的向量叫做相等向量度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 5共線向量的定義：共線向量的定義：通過有向線段通過有向線段AB的直線，叫做向量的直線，叫做向量AB的基

3、線，如果向量的基線，如果向量的基線平行或重合，則稱這些向量共線或平行的基線平行或重合，則稱這些向量共線或平行.6向量的加向量的加(減減)法：法：求求兩向量和兩向量和(差差)的運算叫向量的加的運算叫向量的加(減減)法運算法運算(1) 這種求向量和的方法叫三角形法則這種求向量和的方法叫三角形法則 (2)平行四邊形法則：由同一點平行四邊形法則：由同一點A為起點的兩個已知向量為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作平行四為鄰邊作平行四邊形邊形ABCD，則以，則以A為起點的向量為起點的向量 就是向量就是向量a，b的和這種作兩個向量和的和這種作兩個向量和的方法叫做平行四邊形法則，如右圖的方法叫做平行四邊形法則，

4、如右圖(3)相反向量的定義：與向量相反向量的定義：與向量a的長度相等、方向相反的向量叫做向量的長度相等、方向相反的向量叫做向量a的相反的相反向量，記作：向量，記作：a，規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量，規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量(4)定義定義aba(b)7向量的數(shù)乘：向量的數(shù)乘：求求實數(shù)實數(shù)與向量與向量a的乘積的運算叫向量的數(shù)乘，記作：的乘積的運算叫向量的數(shù)乘，記作：a.規(guī)定：規(guī)定：(1)|a|a|；(2)當當0時向量時向量a的方向與的方向與a的方向相同，當?shù)姆较蛳嗤?時，向量時，向量a與與a的方向相反，當?shù)姆较蛳喾?，?時，時，a0.8數(shù)乘運算律數(shù)乘運算律 (1)(a)()a；(2)(

5、)aaa；(3)(ab)ab. 1如圖所示，如圖所示，D是是ABC的邊的邊AB上的中點，則向量上的中點，則向量 等于等于() 解析：解析：D是是AB的中點，的中點， 答案：答案：A2如圖所示，在平行四邊形如圖所示，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是中，下列結(jié)論中錯誤的是()解析：解析：A顯然正確，由平行四邊形法則知顯然正確，由平行四邊形法則知B正確正確C中中 所以錯誤所以錯誤 D中中 3在在ABC中，已知中，已知D是是AB邊上一點，若邊上一點，若AD2DB，CD CACB，則，則等于等于() 解析：解析：由圖知由圖知CDCAADCDCBBD且且AD2BD0.2得：得：3CDCA2CB，

6、CD 答案：答案：A 4下列各命題中，真命題的個數(shù)為下列各命題中，真命題的個數(shù)為()若若|a|b|，則，則ab或或ab；若若ABDC，則，則A、B、C、D是一個平行四是一個平行四邊形的四個頂點；邊形的四個頂點；若若ab，bc，則，則ac；若若ab，bc，則，則ac.A4 B3 C2 D1解析：解析：由由|a|b|可知向量可知向量a，b模長相等但不能確定向量的方向，如在正方模長相等但不能確定向量的方向，如在正方形形ABCD中，中，|AB|AD|，但，但AB與與AD既不相等也不互為相反向量，故此命題既不相等也不互為相反向量，故此命題錯誤錯誤由由ABDC可得可得|AB|DC|且且ABDC，由于，由于

7、ABDC可能是可能是A，B，C，D在同一條直線上，故此命題不正確在同一條直線上，故此命題不正確正確正確不正確當不正確當b0時，時，ac不一定成立不一定成立答案：答案：D 正確理解向量有關(guān)概念及運算法則，注意區(qū)分向量運算與實數(shù)運算的異同是解答正確理解向量有關(guān)概念及運算法則，注意區(qū)分向量運算與實數(shù)運算的異同是解答該類題型的關(guān)鍵該類題型的關(guān)鍵 【例【例1】給給出下列六個命題：出下列六個命題：兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若若|a|b|，則，則ab；若若ABDC，則，則ABCD為平行四邊形；為平行四邊形；若若mn，np，則，則mp；若若ab，bc，

8、則，則ac.其中不正確的個數(shù)是其中不正確的個數(shù)是()A2 B3 C4 D5解析：解析：兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩個向量相等，不一兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點，所以定有相同的起點和終點，所以不正確；不正確；|a|b|，但，但a，b方向不確定，所以方向不確定，所以a，b不一定相等，故不一定相等，故不正確；因為不正確；因為ABDC可能有可能有A、B、C、D在同一直線上，所在同一直線上，所以以不正確；零向量與任一非零向量都平行，當不正確；零向量與任一非零向量都平行，當b0時，時，a與與c不一定平行，故不一定平行，故不正確不正確答

9、案：答案：C 變式變式1.判判斷下列命題是否正確，不正確的說明理由斷下列命題是否正確，不正確的說明理由(1)若向量若向量a與與b同向，且同向，且|a|b|，則，則ab；(2)若若|a|b|，則，則a與與b的長度相等且方向相同或相反；的長度相等且方向相同或相反；(3)若若|a|b|，且，且a與與b的方向相同，則的方向相同，則ab；(4)由于零向量由于零向量0方向不確定，故方向不確定，故0不能與任意向量平行不能與任意向量平行解答：解答：(1)不不正確因為向量是不同于數(shù)量的一種量，它由兩個因素來確定，即正確因為向量是不同于數(shù)量的一種量，它由兩個因素來確定，即大小與方向，所以兩個向量不能比較大小，故大

10、小與方向，所以兩個向量不能比較大小，故不正確不正確(2)不正確由不正確由|a|b|只能判斷兩向量長度相等，不能判斷方向只能判斷兩向量長度相等，不能判斷方向(3)正確正確|a|b|，且，且a與與b同向，由兩向量相等的條件可得同向，由兩向量相等的條件可得ab.(4)不正確由零向量性質(zhì)可得不正確由零向量性質(zhì)可得0與任一向量平行，可知與任一向量平行，可知不正確不正確.在求向量時，要盡可能地將其轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去，選用從同一頂在求向量時，要盡可能地將其轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量的加減法及數(shù)乘運算來求解點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運

11、用向量的加減法及數(shù)乘運算來求解 【例【例2】在在ABC中，中，D、E分別為分別為BC、AC邊上的中點，邊上的中點，G為為BE上一點，且上一點，且GB2GE，設(shè)，設(shè) 試用試用a、b表示表示 .解答：解答： 變式變式2.在在ABC中，中，E、F分別為分別為AC，AB的中點，的中點，BE與與CF相交于相交于G點，設(shè)點，設(shè)ABa，ACb，試用，試用a，b表示表示AG.解答：解答：1. 證明三點證明三點A、B、C共線，借助向量，只需要證明由這三點共線，借助向量，只需要證明由這三點A、B、C所組成的向所組成的向量中有兩個向量共線，即這兩個向量之間存在一個實數(shù)量中有兩個向量共線，即這兩個向量之間存在一個實數(shù)

12、，使，使ab(b0)即可即可 2在求與一個已知向量在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為共線的向量時，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于他條件列出關(guān)于的方程，求出的方程，求出的值后代入的值后代入a即可得到欲求向量即可得到欲求向量【例【例3】設(shè)設(shè)兩個非零向量兩個非零向量e1和和e2不共線不共線(1)如果如果ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2，求證：，求證：A、C、D三點共線；三點共線；(2)如果如果ABe1e2，BC2e13e2，CD2e1k ke2，且，且A、C、D三點共三點共線，求線，求k k的值的值提示：提示：A、C、D三三點共線點共線存在

13、實數(shù)存在實數(shù)使使ACCD. 證明：證明：(1)ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2，ACABBC4e1e2 (8e12e2) CD， AC與與CD共線，又共線，又AC與與CD有公共點有公共點C，A、C、D三點共線三點共線 (2)解答：解答：ACABBC(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三三點點共線，共線，AC與與CD共線，從而存在實數(shù)共線，從而存在實數(shù)使得使得ACCD，即即3e12e2(2e1k ke2)，由平面向量的基本定理，由平面向量的基本定理，得得 解之得解之得 變式變式3.若若a，b是兩個不共線的非零向量，是兩個不共線的非零向量，a與與b起點相同，則當起點

14、相同，則當t為何值時，為何值時，a，tb， (ab)三向量的終點在同一條直線上？三向量的終點在同一條直線上？ 解答：解答：設(shè)設(shè)OAa，OBtb，OC (ab)，ACOCOA ABOBOAtba.要使要使A、B、C三點共線，只需三點共線，只需ACAB，即，即 tba 有有 當當t 時，三向量終點在同一直線上時，三向量終點在同一直線上. 【方法規(guī)律方法規(guī)律】1向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既有代數(shù)特征又有幾向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，又可何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問

15、題轉(zhuǎn)化為幾何問題，又可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，故向量能起數(shù)形結(jié)合的橋梁作用將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，故向量能起數(shù)形結(jié)合的橋梁作用2能否正確理解和牢固掌握共線向量、相等向量的概念很重要，它關(guān)系到我們能否正確理解和牢固掌握共線向量、相等向量的概念很重要，它關(guān)系到我們今后在解決相關(guān)問題時能否靈活應用的問題今后在解決相關(guān)問題時能否靈活應用的問題3將向量用其他向量將向量用其他向量(特別是基向量特別是基向量)線性表示，是十分重要的技能，也是向量線性表示，是十分重要的技能，也是向量坐標形式的基礎(chǔ)坐標形式的基礎(chǔ)4首尾相連的若干向量之和等于以最初的向量起點為起點，最后的向量終點為首尾相連的若干向量之和等于以最初的向量起點為起點，最后的向量終點為終點的向量；若這兩點重合，則和為零向量終點的向量；若這兩點重合，則和為零向量 (本題滿分本題滿分5分分)如圖如圖，OMAB，點點P在由射線在由射線OM、線段線段OB及及AB的延長線圍成的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界不含邊界)，且且OPxOAyOB，則實數(shù)對則實數(shù)對(x，y)可以是可以是() 解析：解析： 若若x 則則P、A、B三點共線；三點共線；若若x 則點則點P在直線在直線OM上；上； 若若x 則點則點P在陰影區(qū)域內(nèi)若在陰影區(qū)域內(nèi)若x y 則則P點應在直線點應在直線AB的右側(cè)，故選的右側(cè)，故選C.答案答案：C 【答