材料力學(xué)課件 劉鴻文 第四章彎曲內(nèi)力X

1、第四章第四章 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力4-1 彎曲的概念與實例彎曲的概念與實例AB以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁具有縱向?qū)ΨQ面具有縱向?qū)ΨQ面外力都作用在此面內(nèi)外力都作用在此面內(nèi)(包括支反力包括支反力) 彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線 對稱彎曲對稱彎曲(平面彎曲）平面彎曲）_固定鉸支座固定鉸支座活動鉸支座活動鉸支座固定端固定端24-2 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化一、支座的幾種基本形式：一、支座的幾種基本形式：簡化原則：最后的計算結(jié)果盡可能接近實際簡化原則：最后的計算結(jié)果盡可能接近實際二、載荷的簡化二、載荷的簡化集中載荷集中載荷分布

2、載荷分布載荷集中力偶集中力偶2簡支梁簡支梁外伸梁外伸梁懸臂梁懸臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA三、靜定梁的基本形式三、靜定梁的基本形式4-3 剪力和彎矩剪力和彎矩xLBP2aaAP1FAFBFSMP1axFA梁橫截面上的梁橫截面上的內(nèi)力分量內(nèi)力分量:剪力剪力FS：分布內(nèi)力系主矢，方：分布內(nèi)力系主矢，方向平行于橫截面向平行于橫截面彎矩彎矩M：分布內(nèi)力系主矩，作用：分布內(nèi)力系主矩，作用在縱向截面內(nèi)在縱向截面內(nèi)FSaFBP2LxMFAP2aaxLABP1FBP1axFSFAMFS ：使保留的分離體產(chǎn)生左上：使保留的分離體產(chǎn)生左上右下變形時為正，反之為負(fù)。右下變形時為正，反之為

3、負(fù)。M: 當(dāng)梁段的彎曲為向下凸當(dāng)梁段的彎曲為向下凸時為正時為正,反之為負(fù)。反之為負(fù)。FSaFBP2LxM剪力剪力:使桿件截開部分產(chǎn)生順時使桿件截開部分產(chǎn)生順時針方向針方向 轉(zhuǎn)動者為轉(zhuǎn)動者為 正正,逆時針方向逆時針方向轉(zhuǎn)動者為負(fù)轉(zhuǎn)動者為負(fù) 。 FSMFSM剪力、彎矩剪力、彎矩符號規(guī)定符號規(guī)定:左：左：Y = 0，F(xiàn)AFP1FS1= 0mc = 0，M1+FP1（x a） FAx = 0右：右：Y = 0，mc = 0，M+FP2（Lxa）FB（Lx） = 0剪力等于截面以左（或右）所有橫向外力的代數(shù)和；剪力等于截面以左（或右）所有橫向外力的代數(shù)和；彎矩等于截面以左（或右）所有外力（包括外力偶）對

4、截面形心力彎矩等于截面以左（或右）所有外力（包括外力偶）對截面形心力矩的代數(shù)和。矩的代數(shù)和。例、用截面法求圖示梁例、用截面法求圖示梁FS、 MFAFS1M1FS1aFBFP2LxM1FP2=2 FP1aaxLABFP1FByx解：求反力解：求反力laFFFPPA11laFFFPPB112111PPASFlaFFFaFxlaFaxFxFMPPPA111)(1121PBPSFlaFFFaFxlaFaxlFxlFMPPPB112)()(1FP1axcFA左：左：右：右：FAFP2=2 FP1aaxLABFP1FByx111PPASFlaFFFaFxlaFaxFxFMPPPA111)(1121PBPS

5、FlaFFFaFxlaFaxlFxlFMPPPB112)()(1無論左側(cè)或右側(cè)，總是向上的外力產(chǎn)生正彎矩。無論左側(cè)或右側(cè)，總是向上的外力產(chǎn)生正彎矩。對水平梁某一指定截面而言：對水平梁某一指定截面而言：在它左側(cè)的向上外力，或右側(cè)的向下外力，將產(chǎn)生正剪力；在它左側(cè)的向上外力，或右側(cè)的向下外力，將產(chǎn)生正剪力；FS1M1FS1aFBFP2LxM1FP1axcFA例：求圖示梁例：求圖示梁II、截面剪力、彎矩截面剪力、彎矩解：解：FS= qa，2MI = qa2右右:FS= qa，MI = qa2a22qqa2 = a22q：FS= qa，a22qM = qa2 = a22q左：左：IIqaFB22qaM

6、BB2qaACaaII：求反力求反力q一、剪力、彎矩方程一、剪力、彎矩方程剪力方程剪力方程FS= FS（x）彎矩方程彎矩方程M = M（x）二、剪力、彎矩圖二、剪力、彎矩圖剪力、彎矩沿梁軸變化規(guī)律的圖線剪力、彎矩沿梁軸變化規(guī)律的圖線橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)表示橫截面沿梁軸線的位置表示橫截面沿梁軸線的位置縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力或彎矩表示相應(yīng)截面上的剪力或彎矩xxFSxM44 剪力方程、彎矩方程剪力方程、彎矩方程 剪力圖、彎矩圖剪力圖、彎矩圖三、實例三、實例例例1、寫出圖示梁、寫出圖示梁FS 、M方程方程,并作并作FS 、M圖圖二、建坐標(biāo)系二、建坐標(biāo)系解：一、求反力解：一、求反力FB =LP aFA

7、 =LP b三、求三、求 FS 、M方程方程四、畫四、畫 FS、M 圖圖CB：LP aLP bFS（x2）= FA P = P = LP aM（x2）= FB (L x2) = （Lx2）x1x2abPL+PPbLaPLPbL+PaLAC：LP bFS（x1）= FA = LP bM（x1）= FA x1 = x1yAabPxBCLFBFAMxxFS+例例2、求、求FS、M方程，畫方程，畫FS、M圖圖解：一、求反力解：一、求反力FA=FB = qL 2二、建坐標(biāo)系二、建坐標(biāo)系FS（x）= FAqx = qL 2qxM（x）= FA x （qx）x2三、列方程三、列方程=qLx2 qx22四、作

8、圖四、作圖M（0）= 0M（L）= 0qL2+qL2FAABCxLqFBML2（ ） =qL28MxxFS（令（令M（x）=0）qL28寫FS、M方程、畫FS、M圖步驟1、求支反力、求支反力;2、定坐標(biāo)、定坐標(biāo)（注意分段）（注意分段）;3、列內(nèi)力方程、列內(nèi)力方程:在集中力作用處在集中力作用處;在在M作用處作用處;在在q作用的起點、終點截面處作用的起點、終點截面處;4、畫圖、畫圖:判斷各段圖形狀判斷各段圖形狀;求控制面內(nèi)力數(shù)值：求控制面內(nèi)力數(shù)值：直線直線首點首點末點末點曲線曲線首點首點末點末點極點極點分段根據(jù)分段根據(jù)x1x2yAabPxBCL在各段內(nèi)任選一截面，用變量表示該截面位置，在各段內(nèi)任選

9、一截面，用變量表示該截面位置，寫出該截面剪力、彎矩，即為相應(yīng)段內(nèi)力方程；寫出該截面剪力、彎矩，即為相應(yīng)段內(nèi)力方程；約定約定：q（x）向上為正）向上為正:0Y 0 xdFxFdxxqxFSSS xqdxxdFS, 0CM dMMdxFdxxdxqxMS2 SFdxxdM求導(dǎo)再利用求導(dǎo)再利用 xqdxMd22dxFS(x)+d FS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)q(x)dxCyP1M0P2xq(x)x45 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系一、微分關(guān)系一、微分關(guān)系abPL+PbL+PaLyAabPxBCLMxxFS+qL2+qL2ABCLqMxxFSqL281.

10、1. q q0 0，F(xiàn) Fs s= =常數(shù)，常數(shù)， 剪力圖為直線；剪力圖為直線；M M(x(x) ) 為為 x x 的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。2.q2.q常數(shù)，常數(shù)，F(xiàn) Fs s( (x x) ) 為為 x x 的一次函數(shù)，剪力的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；圖為斜直線；M M(x(x) ) 為為 x x 的二次函數(shù)，彎的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。矩圖為拋物線。分布載荷向上（分布載荷向上（q q 0 0），拋物線呈凹形；），拋物線呈凹形；分布載荷向下（分布載荷向下（q q 0 0），拋物線呈凸形。），拋物線呈凸形。3.3. 剪力剪力F Fs s=0=0處，彎矩取極值。

11、處，彎矩取極值。4.4. 集中力作用處，剪力圖突變；集中力作用處，剪力圖突變； 集中力偶作用處，彎矩圖突變集中力偶作用處，彎矩圖突變載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：FSFBFAFSFSFS二、二、q（x）、）、 FS 、M之間的積分關(guān)系之間的積分關(guān)系abbaSSdxxqaFbF)()()()(xqdxdFSbabaSdxxqdF)(SdFdxdM同理，由同理，由baSdxFaMbM)()( 梁任意兩截面間的剪力改變量等于這兩截面之間的梁段梁任意兩截面間的剪力改變量等于這兩截面之間的梁段上的分布載荷之合力；上的分布載荷之合力； 梁任意兩截面間的彎矩改變量等于這兩截面之間的梁段

12、梁任意兩截面間的彎矩改變量等于這兩截面之間的梁段上的剪力圖的面積上的剪力圖的面積例：已知梁例：已知梁FS圖，求梁上載荷圖與圖，求梁上載荷圖與M圖圖解：解：斜率：斜率：050 = +2qq = 25kN/m或或E、D間：間：FS = 100kN/m4q = 100kN/m ,q = 25kN/mMB0 = 50kNmME （50） = 50kNmME =050kN50kN100kNq=25kN/m50kN50kN50kNAB E CD1m 1m2m2mxFS+50kNm50kNmMx+微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖的方法：微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖的方法：根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控根據(jù)載荷及

13、約束力的作用位置，確定控制面。制面。應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩數(shù)值。矩數(shù)值。建立建立F FS S一一x x和和M M一一x x坐標(biāo)系，并將控制面上坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。與彎矩圖。 BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNBA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例題：例題：簡支梁受力的大小簡支梁受力的大小和方

14、向如圖示。和方向如圖示。試畫出試畫出其剪力圖和彎矩圖。其剪力圖和彎矩圖。 解：解：1 1確定約束力確定約束力00，BAMM求得求得A、B 二處的約束力二處的約束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根據(jù)力矩平衡方程根據(jù)力矩平衡方程 2 2確定控制面確定控制面在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面。即內(nèi)側(cè)截面均為控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 目錄(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐標(biāo)坐標(biāo)系系

15、5 5根據(jù)微分關(guān)系連圖線根據(jù)微分關(guān)系連圖線4 4應(yīng)用截面法確定控制應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在將其標(biāo)在 F FS S x x和和 M Mx x 坐標(biāo)系中。坐標(biāo)系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)O0.89 kN=1.11 kN（-）（+）解法解法2 2：1 1確定約束力確定約束力F FAyAy0.89 kN0.89 kN F FFyFy1.11 kN1.11 kN 2 2確定控制面為確定控制面為A、C、D、B兩側(cè)截面。兩側(cè)截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3從從A A截面左

16、測開始畫截面左測開始畫剪力圖。剪力圖。 Fs（ kN）0.891.11做法做法 4 4從從A A截面左測開始畫截面左測開始畫彎矩圖。彎矩圖。 M（ kN.m）從從A A左到左到A A右右從從C C左到左到C C右右從從D D左到左到D D右右從從A A右到右到C C左左1.3300.330從從C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.11從從D D右到右到B B左左從從B B左到左到B B右右1.67(-)(-)0.3351.335qBAFAyFBy例題：例題：試畫出梁剪力圖和彎試畫出梁剪力圖和彎矩圖。矩

17、圖。 解：解：1 1確定約束力確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由根據(jù)梁的整體平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二處的約束力二處的約束力qaFqaFByAy4349,qa2 2確定控制面確定控制面 由于由于ABAB段上作用有連續(xù)分布載荷，故段上作用有連續(xù)分布載荷，故A A、B B兩個截兩個截面為控制面，約束力面為控制面，約束力F FByBy右側(cè)的截面，以及集中力右側(cè)的截面，以及集中力qaqa左左側(cè)的截面，也都是控制面。側(cè)的截面，也都是控制面。 C（+）（-）（+）qBAFAyFByC3 3建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐標(biāo)系坐標(biāo)系 OFSxOMx4 4確

18、定控制面上的確定控制面上的剪力值，并將其標(biāo)剪力值，并將其標(biāo)在在F FS Sx x中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5確定控制面上的確定控制面上的彎矩值，并將其標(biāo)在彎矩值，并將其標(biāo)在M Mx x中。中。qa49qa43 （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy解法解法2 2：1 1確定約束力確定約束力2 2確定控制面，確定控制面，即即A A、B B、D D兩側(cè)截面。兩側(cè)截面。 3 3從從A A截面左測開始畫截面左測開始畫剪力圖。剪力圖。 Fs 9qa/4 7qa/4qa（+） M （+） （-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/

19、4qa4 4求出剪力為零的點求出剪力為零的點到到A A的距離。的距離。 B B點的彎矩為點的彎矩為 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2ABAB段段為上凸拋物線。且有為上凸拋物線。且有極大值。該點的極大值。該點的彎矩為彎矩為 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5從從A A截面左測開始畫彎截面左測開始畫彎矩圖矩圖 4/9a 81qa2/32qa2（-）（-）（+）（+）（-） Fs例題例題: :試畫出圖示有中間鉸試畫出圖示有中間鉸梁的梁的剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖。解：解：1 1確定約束力確定約束力2/qaFDy從鉸處將梁截開從鉸處將梁截開qFDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2q