（整理版）難點36函數方程思想

1、難點36 函數方程思想函數與方程思想是最重要的一種數學思想，高考中所占比重較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多.函數思想簡單，即將所研究的問題借助建立函數關系式亦或構造中間函數，結合初等函數的圖象與性質，加以分析、轉化、解決有關求值、解證不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題；方程思想即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決.難點磁場1.關于x的不等式2·32x3x+a2a30，當0x1時恒成立，那么實數a的取值范圍為 .2.對于函數f(x)，假設存在x0r,使f(x0)=x0成立，那么稱x0為f(xf(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)1假設a=1,b=

2、2時，求f(x)的不動點；2假設對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；3在2的條件下，假設y=f(x)圖象上a、b兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且a、b關于直線y=kx+對稱，求b的最小值.案例探究例1函數f(x)=logm(1)假設f(x)的定義域為，0，判斷f(x)在定義域上的增減性，并加以說明；(2)當0m1時，使f(x)的值域為logmm(1)，logmm(1)的定義域區(qū)間為,(0)是否存在？請說明理由.級題目.知識依托：函數單調性的定義判斷法；單調性的應用；方程根的分布；解不等式組.錯解分析：第(1)問中考生易無視“3這一關鍵隱性條件；第(2)問中轉化

3、出的方程，不能認清其根的實質特點，為兩大于3的根.技巧與方法：此題巧就巧在采用了等價轉化的方法，借助函數方程思想，巧妙解題.解：1x3或x3.f(x)定義域為,3設x1x2，有當0m1時，f(x)為減函數，當m1時，f(x)為增函數.2假設f(x)在,上的值域為logmm(1),logmm(1)0m1, f(x)為減函數.即即,為方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的兩個根 0m故當0m時，滿足題意條件的m存在.例2函數f(x)=x2(m+1)x+m(mr)(1)假設tana,tanb是方程f(x)+4=0的兩個實根，a、b是銳角三角形abc的兩個內角.求證：m5;(2)對任意實數,

4、恒有f(2+cos)0，證明m3;(3)在(2)的條件下，假設函數f(sin)的最大值是8，求m.級題目.知識依托：一元二次方程的韋達定理、特定區(qū)間上正負號的充要條件，三角函數公式.錯解分析：第(1)問中易漏掉0和tan(a+b)0，第(2)問中如何保證f(x)在1,3恒小于等于零為關鍵.技巧與方法：深挖題意，做到題意條件都明確，隱性條件注意列.列式要周到，不遺漏.1證明：f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0.依題意： 又a、b銳角為三角形內兩內角a+btan(a+b)0，即m5(2)證明：f(x)=(x1)(xm)又1cos1，12+cos3，恒有f(2+cos)0即1x3時，恒有

5、f(x)0即(x1)(xm)0mx但xmax=3，mxmax=3(3)解：f(sin)=sin2(m+1)sin+m=且2,當sin=1時，f(sin)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，m=3錦囊妙計函數與方程的思想是最重要的一種數學思想，要注意函數，方程與不等式之間的相互聯(lián)系和轉化.考生應做到：1深刻理解一般函數y=f(x)、y=f1(x)的性質單調性、奇偶性、周期性、最值和圖象變換，熟練掌握根本初等函數的性質，這是應用函數思想解題的根底.2密切注意三個“二次的相關問題，三個“二次殲滅難點訓練一、選擇題1.函數f(x)=loga(2a)2對任意x,+都有意義，那么實數a的取值范圍是( )

6、a.(0, b.(0,) c.,1 d.(,2.函數f(x)的定義域為r，且x1，f(x+1)為奇函數，當x1時，f(x)=2x2x+1，那么當x1時，f(x)的遞減區(qū)間是( )a.，+ b.(1, c.,+ d.(1,二、填空題3.關于x的方程lg(ax1)lg(x3)=1有解，那么a的取值范圍是 .4.如果y=1sin2xmcosx的最小值為4，那么m的值為 .三、解答題5.設集合a=x4x2x+2+a=0,xr.1假設a中僅有一個元素，求實數a的取值集合b；2假設對于任意ab，不等式x26xa(x2)恒成立，求x的取值范圍.6.二次函數f(x)=ax2+bx(a,b為常數，且a0)滿足條

7、件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根.1求f(x)的解析式；2是否存在實數m，n(mn，使f(x)定義域和值域分別為m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由.7.函數f(x)=6x6x2，設函數g1(x)=f(x), g2(x)=fg1(x), g3(x)=f g2(x),gn(x)=fgn1(x),1求證：如果存在一個實數x0，滿足g1(x0)=x0，那么對一切nn，gn(x0)=x0都成立；2假設實數x0滿足gn(x0)=x0，那么稱x0為穩(wěn)定不動點，試求出所有這些穩(wěn)定不動點；3設區(qū)間a=,0,對于任意xa，有g1(x)=f(x)=a0, g2(x

8、)=fg1(x)=f(0)0，且n2時，gn(xbab，對于區(qū)間內任意實數x，只要n2，都有gn(x)0.8.函數f(x)= (a0,x0).1求證:f(x)在(0,+)上是增函數；2假設f(x)2x在(0,+)上恒成立，求a的取值范圍；3假設f(x)在m,n上的值域是m,n(mn)，求a的取值范圍.參 考 答 案難點磁場1.解析：設t=3x，那么t1,3，原不等式可化為a2a32t2+t,t1,3.等價于a2a3大于f(t)=2t2+t在1,3上的最大值.答案：(,1)(2,+)2.解：1當a=1,b=2時，f(x)=x2x3，由題意可知x=x2x3，得x1=1,x2=3.故當a=1,b=2

9、時，f(x)的兩個不動點為1,3.2f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)恒有兩個不動點，x=ax2+(b+1)x+(b1)，即ax2+bx+(b1)=0恒有兩相異實根=b24ab+4a0(br)恒成立.于是=(4a)216a0解得0a1故當br，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0a1.3由題意a、b兩點應在直線y=x上，設a(x1,x1),b(x2,x2)又a、b關于y=kx+對稱.k=ab的中點為m(x,y)x1,x2是方程ax2+bx+(b1)=0的兩個根.x=y=，又點m在直線上有，即a0，2a+2當且僅當2a=即a=(0,1)時取等號，故b，得b的最小值.殲滅難點訓練一、1

10、.解析：考查函數y1=和y2=(2a)x的圖象，顯然有02a得a=，再結合指數函數圖象性質可得答案.答案：a2.解析：由題意可得f(x+1)=f(x+1).令t=x+1，那么x=1t，故f(t)=f(2t)，即f(x)=f(2x).當x1,2x1，于是有f(x)=f(2x)=2(x)2，其遞減區(qū)間為，+).答案：c3.解析：顯然有x3，原方程可化為故有(10a)·x=29,必有10a0得a10又x=3可得a.答案：a104.解析：原式化為.當1,ymin=1+m=4m=5.當11,ymin=4m=±4不符.當1，ymin=1m=4m=5.答案：±5二、5.解：(1

11、)令2x=t(t0)，設f(t)=t24t+a.由f(t)=0在(0,+)有且僅有一根或兩相等實根，那么有f(t)=0有兩等根時，=0164a=0a=4驗證：t24t+4=0t=2(0,+)，這時x=1f(t)=0有一正根和一負根時,f(0)0a0假設f(0)=0，那么a=0，此時4x4·2x=02x=0舍去，或2x=4,x=2，即a中只有一個元素綜上所述，a0或a=4，即b=aa0或a=42要使原不等式對任意a(,0g(a)=(x2)a(x26xx26.解：1方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2.由f(x1)=f(3x)知此函數圖象的對稱軸方程為x=1得a=1，

12、故f(x)=x2+2x.2f(x)=(x1)2+11，4n1，即n而拋物線y=x2+2x的對稱軸為x=1n時，f(x)在m,n上為增函數.假設滿足題設條件的m,n存在，那么又mn,m=2,n=0，這時定義域為2,0，值域為8,0.由以上知滿足條件的m、n存在，m=2,n=0.7.(1)證明：當n=1時，g1(x0)=x0顯然成立；設n=k時，有gk(x0)=x0(kn)成立，那么gk+1(x0)=fgk(x0)=f(x0)=g1(x0)=x0即n=k對一切nn,假設g1(x0)=x0，那么gn(x0)=x0.2解：由1知，穩(wěn)定不動點x0只需滿足f(x0)=x0由f(x0)=x0，得6x06x02=x0,x0=0或x0=穩(wěn)定不動點為0和.(3)解：f(x)0，得6x6x20x0或x1.gn(x)0fgn1(x)0gn1(x)0或gn1(x)1要使一切nn,n2，都有gn(x)0，必須有g1(x)0或g1(x)1.由g1(x)06x6x20x0或x1由g1(x)06x6x21故對于區(qū)間()和(1,+)內的任意實數x,只要n2,nn，都有gn(x)0.8.(1)證明：任取x1x20,f(x1)f(x2)=x1x20,x1x20，x1x20,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，