《二倍角的正弦、余弦、正切公式》的教案---使用

1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式教案單縣一中 朱瑞朋 2011.04.14教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：（1）掌握S2 ,C2 ,72公式的推導(dǎo)，明確 的取值范圍。（2）能正確運(yùn)用二倍角公式求值、化簡(jiǎn)、證明。2、過(guò)程與方法：（1）通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力，自主探究的學(xué)習(xí)能力。（2）通過(guò)綜合運(yùn)用公式，掌握有關(guān)技巧，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力 ,3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生自己由和角公式導(dǎo)出倍角公式，領(lǐng)會(huì)從“一般”化歸為“特殊”的數(shù)學(xué)思想, 體會(huì)公式所蘊(yùn)含的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維 的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維品質(zhì)。教學(xué)重

2、點(diǎn)：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的變形，二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：二倍角公式，用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)，二倍角公式與以前學(xué)過(guò)的同角三角函數(shù)的基本關(guān) 系式、誘導(dǎo)公式、和角公式的綜合應(yīng)用。教學(xué)方法：類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法教學(xué)用具：ppt課件、學(xué)案等。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新課：（1）默寫“兩角差”的正弦、余弦、正切公式：sin cos:tanS: sin；注： UUuuuLuuuuL<UUUiiX SC : cos；CT: tan.T提示：注意公式的使用范圍。處理方式：讓學(xué)生默寫公式及回答變形公式，目的是讓學(xué)生熟悉學(xué)習(xí)過(guò)的公式；并讓學(xué)生自主探究問(wèn)題，使學(xué)生親身

3、S 、C 、T 推導(dǎo)出經(jīng)歷公式的探索過(guò)程問(wèn)題探究：你能類比兩角和的三角函數(shù)公式的推導(dǎo)方法，利用sin 2 ,cos2 , tan2的公式嗎？可編輯可編輯二、探究新知、學(xué)習(xí)新課：1.學(xué)生自主推導(dǎo)“二倍角”公式：S2 : sin2 =C2 : cos2 =T2 : tan 2 =處理方式：讓學(xué)生自主完成，學(xué)生經(jīng)過(guò)自主思考，發(fā)現(xiàn)倍角是和角的特殊情況，從而推導(dǎo)出公式。師說(shuō)：這些公式就是我們這節(jié)課所要研究的二倍角的正弦、余弦、正切公式。點(diǎn)名課題，然后師生共同給出二倍角公式，板書二倍角公式(同時(shí)用課件展示公式)sin2 2sin cos22cos2 cos sintan22tan1 tan222X 在公式

4、 C2中，由于 sin cos1 ,則C2變形為:cos2 =提示：注意每個(gè)公式的適用范圍。注意以下三個(gè)問(wèn)題：(1)公式中的角是否是任意角？(2) 二倍角公式的作用：用單角的三角函數(shù)來(lái)表達(dá)二倍角的三角函數(shù)，它適用于二倍角與單角的三角函數(shù)之間的互化問(wèn)題。(3) “二倍角”的廣義理解：要理解“二倍角”的含義，即當(dāng)2時(shí)， 就是 的二倍角，叫做單角。凡是符合二倍角關(guān)系的就可以應(yīng)用二倍角公式。師生共同總結(jié)，注意以下三點(diǎn):(1) 上述公式都叫做倍角公式(此處“倍角”專指“二倍角”，遇到三倍角時(shí)，“三”字不能省略)，它給出了的三角函數(shù)與2的三角函數(shù)之間的關(guān)系;(2) “倍”是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的，2是 的

5、2倍，4 是2的2倍，,是工的2倍，萬(wàn)是G的2倍等等，這里蘊(yùn)含著換元的思想；(3) 注意各公式的特點(diǎn)及作用，要注意公式tan 2 2tan,的使用條件;1 tan2tan 2 2由2 使用條件：他門1且tan 和tan 2 都有意義。1 tan k即 k 且 k +且 一+(k Z) 4224k即 k +且+ -(k Z)時(shí)才成立，否則不成立。2 24(4) 注意公式的逆用。寫出S2 ,C2 ,t2公式的以下變形公式:;coscos 222cos1變形公式為:2 cos,1 cos 2cos 21 2sin2變形公式為：. 2 sin,1 cos 2tan 22 tan1 tan2的變形公式為

6、tan1 tan2sin 2 2sin cos 的變形公式為：sin cos;sin2、公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用-(特點(diǎn)是：降哥升角；降角升哥)練習(xí)1：求值(口答)(1)2sin15 cos15 (2) sin 22.5 cos22.5/ c、2.2(3) cos - sin 一8822(4) 1 2sin 75 (5) 1 2cos 75(6)2tan7521 tan2 75(7)tan15-2 , _1 tan 152 52(8) cos sin 一128處理方式：讓學(xué)生口答，加強(qiáng)學(xué)生的記憶，注意公式的特點(diǎn)及公式的逆向應(yīng)用。三、知識(shí)應(yīng)用5.例 1、 已知 sin2 一，一 一,求 sin4 ,cos

7、4 ,tan4 的值.13 42解：由一4一,得一2,又因?yàn)閟in 2 勺，所以cos2 。1 sin2 2131 g 2131213分析：已知條件給出了 2的正弦值。由于4是2的二倍角，因此可以考慮用倍角公式 在應(yīng)用公式時(shí)要注意角的取值范圍。于是 sin 4 2sin 2 cos252 一131213120；169cos421 2sin2 213119169sin4 tan4cos4120169119169120119思考：還有其他方法嗎?分析:sincossintan 4解：Qsin513cos1 2sin513119169tan 4sin 4cos 4120169119169處理方式：先

8、讓學(xué)生思考后回答，關(guān)系式求值時(shí)，要注意角的取值范圍。sin 4120119.1 cos2 4(119169120169教師結(jié)合課件細(xì)致講解例1 ；在求cos2的值時(shí),要講清楚 用同角三角函數(shù)的基本一4 1課內(nèi)練習(xí)2：已知cos且88512 ,求 sin ,cos, tan 的值。444處理方式：讓一位同學(xué)板書，其余同學(xué)在練習(xí)本上才立完成，同時(shí)，課件展示出例1的解題過(guò)程；目的是讓學(xué)生模仿,規(guī)范答題；教師點(diǎn)評(píng)解答情況，如解題時(shí)注意角的范圍等；同時(shí)也強(qiáng)化學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用。, 一 ，4例2.在 ABC中，cosA -,tan B 2,求tan 2A 2B 的值。 5提示：角（2A+2B）與角A,角B之

9、間構(gòu)成怎樣的關(guān)系？在三角形中的隱含條件是：A 0, ,B 0, ,C 0, ,A B 0, , A C 0, ,B C 0, ,A B C，可當(dāng)已知條件使用處理方式：結(jié)合課件師生共同分析解題思路（兩種方法）；然后讓兩位同學(xué)各用一種方法去板書；再用課件展示答案。介紹兩種方法，方法（一）是先求出 tan2A,tan2B,再利用兩角和的正切公式求出tan(2A 2B)ela cosAsin A tan A tan2Atan B tan2B（法一）解：在4ABCK 由 cosA= - 0 A5，,得 sin A1 cos2 Asin A tan A -cosA3545tan 2 A2tan A1 ta

10、n2 AQtanB 2 tan (2B)2tan B1 tan2 B222號(hào)4_1 (3)2443247tan(2A) tan(2B) tan(2A 2B)1 tan(2A)?tan(2B)2471空744117方法（二）是先求出tan A B ,再利用二倍角的正切公式求出。e la cosA 思路二：tan Bsin A tan Atan(A B)tan(2A 2B)（法二）解：在ABC 中,A 4 c由 cosA= , 0 52 Acos Atan Asin Acos A3545Q tan B2 tan( AB)tan A tan B1 tan A?tan Ba 241 34112tan(

11、2 A2B) tan2( A B)2tan( AB)11(萬(wàn))點(diǎn)評(píng):(2)1 tan2(A B)1 (f44117（1）你對(duì)已知角與未知角關(guān)系有怎樣的研究方法？就會(huì)產(chǎn)生怎樣的解法;與未知角關(guān)系的研究在三角形的背景下研究問(wèn)題，注意一些隱含條件，如0, ,B 0, ,C 0, ,A B 0, ,A C例2的變式引中：在例2的題目條件不變的情況下（提示：要尋找ABC中三個(gè)內(nèi)角間的關(guān)系）四、鞏固練習(xí)：（一）課堂練習(xí):1、已知sin工，則sin 2327D、 一9同學(xué)們今后解題時(shí)要充分重視已知角0,B C 0, A B C 。，求tan2c的值。A、B、C、2、函數(shù) y sinxcosxcos2x是(周

12、期為萬(wàn)的奇函數(shù)；（B）周期為的奇函數(shù)（C）周期為的偶函數(shù)；（D）2（二）課下能力提升練習(xí)周期為的偶函數(shù)1、 sin1 rcos一，貝1J sin 232、已知x,0 ,cosx24一，貝U tan2x = 53 （求值）(1) sin15cos754(2) sin 84cos 一84、已知cos5133 c，一,2,求 cos22,tan 2的值。（三）思維拓展：已知cos5,13,求 cos3,tan3 ,sin3 的值提示:3是的三倍角五、課堂小結(jié):1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用，要熟記公式并要注意角的范圍。2、要注意公式正 用、逆用、變形用sin 22sincos的變形公式為：（1）sincos22 cossin2 由于cos2sin21- sin 2cos-sin 2 ; (2) sin 22cos1則cos2又有下列重要的變形cossin 22sin(一)cos22cos21的變形公式為:(二)cos21 2sin2的變形公式為:tan22tan1 tan2的變形公式為tantan221 cos2(1) cos 221 cos2(1)sin 2(特點(diǎn)是：降嘉升角;1 tan22,(2)1 cos2,(2)1 cos2降角升嘉）22cos2sin23.本課涉及的思想方法:(1)類比思想;(2)換元思想