高階譜高階統(tǒng)計(jì)量的定義與性質(zhì)

1、第1章 高階統(tǒng)計(jì)量的定義與性質(zhì)1.1 準(zhǔn)備知識(shí)1 .隨機(jī)變量的特征函數(shù)若隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為F (x),則稱j . x- - j . x- - j. xE( ) = Ee = e dF (x) = e ' f (x)dx為x的特征函數(shù)。其中f(x)為概率密度函數(shù)。離散情況：(co) = Ee,也=£ e3 pk,pk = p x = xkk特征函數(shù)(是概率密度f (x)的付里葉變換。例：設(shè)xN(a,tT2),則特征函數(shù)為1，x _a ）2/ 2 1 j- x（ ）=e - e dx二二. 2 二二令 z = （x -a） / <2a ,貝1根據(jù)公式：白-：2 Bx _

2、Cx ,- dx,Jl2AC -B122,j - a -r q'（ ） = e2.多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量Xi ,x2，xn聯(lián)合概率分布函數(shù)為F (Xi ,x2，xn),則聯(lián)合特征函數(shù)為41（，2J、，n）=Eej（1X1,2X2'inXn）=" ej（ 1X1、2、2 'nXn）dF （Xi,X2,，Xn）-oO令 x =X1,X2，XnT , 3 =颯©2,，露T ,則. T矩陣形式j(luò) co Xe f （x ）dXn二二二二j /1 _ kXk或6（81,，叫）=匚“晨e k- f （xi，xn）dx1,，dxn標(biāo)量形式其中，f( x)

3、= f(x1,x2，xn)為聯(lián)合概率密度函數(shù)。維高斯隨機(jī)變量為Cik = cov Xi ,X的概率密度為P(xX k = E(Xi - a i )( X k a k )'1:1,一0 exp/一 (x -a) c(x -an / 2(2n)x的特征函數(shù)為(3) = exp ： j a I其中，3 = i ,丹，CO n ,6g©2/"Qn) =exp，3.隨機(jī)變量的第二特征函 定義：特征函數(shù)的對(duì)數(shù)Ic. 2,3 一；JC3；矩陣形式n. nn一1 一一，一 一，、jZ a6 -£工Gj。叫卜林里也式i =12 t j 凸數(shù)為第二特征函數(shù)為=ln 9(6)單

4、變量高斯隨機(jī)過程的第二特征函數(shù)'：( ) =ln e(2)多變量情形彳。'1-2,，, -n) = j1.2高階矩與高階累積量定義1.單個(gè)隨機(jī)變量情形(1)高階矩定義隨機(jī)變量x的k階矩定義為k二 kmk=Ex= x p(x)dx-oa顯然m0 =1 , m =" =Ex o隨機(jī)變量=j . a - 一 二 2n.nn-1-ai' ' i C ij ' i ji 42i 凸ji t(1.1)x的k階中心矩定義為_k二二k人=E(xT) = (xT) p(x)dx(1.2)由式(1.2)可見，人=1,科=0,匕=1。若mk =1,2,，n)存在，則

5、x的特征函數(shù)(可按泰勒級(jí)數(shù)展開，即n(1.3),一 mkkn中(，)=1 八(j-，)0( )k工k!并且mk與(的k階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系為mk =(T)k d，(：)=( j)kGk(0), k < n(1.4)(2)高階累積量定義x的第二特征函數(shù) 里出)按泰勒級(jí)數(shù)展開，有 nIp()=in D(，) = '. (j - Ok ' 0 ( 1 n)(1.5)k W k!并且Ck與皆(8)的k階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系為Ck|"vln G(8J =； d 中(：)1=(_j)ktpk(0), k < n (1.6)j >" j I d" 晨Ck

6、稱為隨機(jī)變量x的k階累積量，實(shí)際上由 9(0) =1及陰)的連續(xù)性，存在& >0 ,使。時(shí)，于0 ,故第二特征函數(shù)T(0) = ln力g)對(duì)。Y5有意義且單值(只考慮對(duì)數(shù)函數(shù)的主值),ln陵)的前n階導(dǎo)數(shù)在0 =0處存在，故Ck 也存在。(3)二者關(guān)系下面推導(dǎo)Ck與mk之間的關(guān)系。形式地在式(2.3)與式(2.5)中令nT « ,并 利用,、二 mkkj Ckk-r，：( ')=1( j '')= exp ( j '')COC kk=1(J )k i k!k ± k!ILk ' k!+ 1 /Zj6)"

7、 +j/'j。)"十2! IL k!n! ILkT k!(1.7)比較上式中各(j«)k(k =1,2,)同事項(xiàng)系數(shù)，得k階累積量與k階矩的關(guān)系如下:Ci = mi = Ex二2222C2 =m2mi =Ex(Ex)= E(xEx) 二233233.C3 = m3 _3m1m2 2mi = E x -3ExE(x ) 2(Ex)= E( x -Ex) - 4C4 二 m43m 2 4mi m3 12 mjm2 6 m；4E( x - E x) 4 二 L右' Ex="=0, 貝 Ci=m=0l P 2,C2 = m 2 = E x 3 “2422c

8、3 = m3 = Ex C4 = m4-3m2 = Ex - 3(Ex )由上可見，當(dāng)隨機(jī)變量x的均值為零時(shí)，其前三階累積量與前三階矩相同, 而四階累積量與相應(yīng)的高階矩不相同。2.多個(gè)隨機(jī)變量情形(1)高階矩給定n維隨機(jī)變量(xi,x2/xn),其聯(lián)合特征函數(shù)為中(.，12,n) = Eexp j(-，ixi ,2x2 ' 'nxn)(1.8)其第二聯(lián)合特征函數(shù)為,' f ( '1, 1 2 , n ) = ln ',(：.,； 1 , - 2 , 1 n )(1.9)可見，聯(lián)合特征函數(shù) 9(01,02，On)就是隨機(jī)變量(xi, x2，xn)的聯(lián)合概率

9、密度函數(shù)p(xi，x2，xn)的n維付里葉變換。對(duì)式(1.8)與(1.9)分別按泰勒級(jí)數(shù)展開，則階數(shù)r =ki +k2 +kn的聯(lián)合矩可用聯(lián)合特征函數(shù) 中(以，切2，©n)定義為 Iki k2 . . . kn .r 卜、.(；：； 2 , , ' n )mkik2 kn = Exi x2 xn =( - j)k-7k-(1.10)1 2 "J，：1-,；2kn-12n f =(2)高階累積量同樣地，階數(shù)r =% +k2 +"的聯(lián)合累積量可用第二聯(lián)合特征函數(shù)中(。1，。2,An)定義為Ckik2 kn XT)r三彳C -1j2,kik2 . . . k n

10、H 1 '2n二(-j)產(chǎn),% 三二 n=0r ：r In 小( "J ,2,，. 'n)kik2 . . ." kn二二2 二一n, 1 二 2 三二 n =0(1.11)(3)二者關(guān)系聯(lián)合累積量c-n可用聯(lián)合矩mk1kn的多項(xiàng)式來表示，但其一般表達(dá)式相 當(dāng)復(fù)雜，這里不加詳述，僅給出二階、三階和四階聯(lián)合累積量與其對(duì)應(yīng)階次的 聯(lián)合矩之間的關(guān)系。設(shè)X1 , x2, x3和x4均為零均值隨機(jī)變量，則c11 = cum (x1 ,x2) = Ex1x2(1.12a)cm=cum (xi, x2 , x3)= Exix2x3(1.12b)ciiii = cum (x

11、1, x2, x3, x4)Ex1x4Ex2x3=£*2*3*41-Ex1x2Ex3x4 - Ex1x3Ex2x4(1.12c)對(duì)于非零均值隨機(jī)變量，則式(1.12)中用xi ExJ代替xi即可。與單個(gè)變量情形類似，前三階聯(lián)合累積量與前三階聯(lián)合矩相同，而四階及高于四階的聯(lián)合累積量則與相應(yīng)階次的聯(lián)合矩不同。注意，式 (1.12)中采用cum()表示聯(lián)合 累積量的方法在以后將時(shí)常用到。3.平穩(wěn)隨機(jī)過程的高階累積量設(shè)x(n)為零均值k階平穩(wěn)隨機(jī)過程，則該過程的k階累積量ck,x(m1, m2,，mkG定義為隨機(jī)變量 x(n), x(n +m1),，x(n + mk)的k階聯(lián)合累 積量，即c

12、k,x (m1 m ,，m7) = cum (x(n), x(n + m)，x(n + m )(1.(13)而該過程的k階矩m k'x (m1，m 2，m k,)則定義為隨機(jī)變量 x(n), x(n +mj,x(n +mk,)的k階聯(lián)合矩，即mxg , m2,，mk,)=mom (x(n), x(n + m1),，x( n + m 小)(1.(14)這里， mom ( ) 表示聯(lián)合矩。由于x(n)是k階平穩(wěn)的，故x(n)的k階累積量和k階矩僅 僅是時(shí)延mm2,，mk工的函數(shù)，而與時(shí)刻n無關(guān)，其二階、三階和四階累積量分別為C2,x(m) =Ex(n)x(n + m)(1.15a)c3 y

13、 ( m1, m2) =Ex(n)x(n - m1)x(n - m2)3 , X1212，3(1.15b)C4,x (mi, m2,，m3) = Ex(n) x(n + mJ x(n + m2) x(n + m3) C2,x (mjc2,x(m2 - m3)1.1 ,x(m2)C2,x (m3 -m1) -c2,x(m3)C2,x(m1 -m2)(1.15c)可以看出，x(n)的二階累積量正好就是其自相關(guān)函數(shù)，三階累積量也正好等于其三階矩，而x(n)的四階累積量則與其四階矩不一樣，為了得到四階累積量，必須同時(shí)知道四階矩和自相關(guān)函數(shù)。1.3 高階累積量的性質(zhì)高階累積量具有下列重要特性：(1)設(shè)九

14、(i =12，k)為常數(shù)，xNi =1,2，k)為隨機(jī)變量，則kcum ( 1 1 x1，, k xk) ： j /.i cum (x1，,xk) i =1(2)累積量關(guān)于變量對(duì)稱，即cum (x1，,xk) = cum (xi1, xi2,xik)其中(i1，ik)為(1,，k)中的任意一種排列。(3)累積量關(guān)于變量具有可加性，即cum (x0 , y0, z1,，zk) = cum (x0, z1,zk ) cum (y 0, z1,，zk)(4)如果S為常數(shù)，則cum (-工 ' z1, z2,zk) = cum ( z1, z2 ,，zk)(5)如果隨機(jī)變量xi =1,2,，k

15、)與隨機(jī)變量yi (i =1,2,，k)相互獨(dú)立，則cum (x1 y1 ,，xk y k) = cum (x1，xk) cum (y1,，yk)(6)如果隨機(jī)變量xi(i =1,2,，k)中某個(gè)子集與補(bǔ)集相互獨(dú)立，則cum （x1，xk） = 01.4 高斯過程的高階累積量1.單個(gè)高斯隨機(jī)變量情形設(shè)隨機(jī)變量x服從高斯分布N(0,Q2),即x的概率密度函數(shù)為2 xp(x) = _L e5,2 二二22故有】(，)e- 2x的第二特征函數(shù)為22彳（.） = ln ：下（,）=- 2(1.16)利用累積量Ck與皆()的關(guān)系式(1.6),并比較(1.6)與(1.16)兩式，可以得到隨機(jī)變量x的各階累

16、積量為2c1 = 0 , c2=。, ck=0, k>2由此，我們有下列結(jié)論：(1)高斯隨機(jī)變量x的一階累積量C1和二階累積量C2恰好就是x的均值和方差。(2)高斯隨機(jī)變量x的高階累積量Ck (k A 2)等于零。(3)由于高斯隨機(jī)變量x的各階矩為13 (k -1)crk, k為偶數(shù)mk = Exk = 40,k為奇數(shù)可見，高階累積量與高階矩不一樣。由于高斯隨機(jī)變量x的高階矩并不比其二階矩多提供信息，它仍取決于二階矩的統(tǒng)計(jì)知識(shí)仃2,所以人們寧愿選擇高階累積量這一統(tǒng)計(jì)量，直接把多余的信息用零來處理。2.高斯隨機(jī)過程情形先討論n維高斯隨機(jī)矢量x =% ,x2，xnT ,設(shè)其均值矢量為a =凡

17、，a",，協(xié)方差矩陣為其中c11C2191c12C22Cn 2cik = E(xi -ai )(xkCinC2 nCnn-ak) i,k = 1,2,nn維高斯隨機(jī)變量x的聯(lián)合概率密度函數(shù)為1p(x) 二-n(2 二)eXp j - (x -a) c (x -a) s26( co) = exp $ ja1 Tco co C co2x的聯(lián)合特征函數(shù)為1 n n一、c Cijj 2 i 3 j T其中，3 =，/，On 'x的第二聯(lián)合特征函數(shù)為5(3) =ln (co) =ja由于階數(shù)r =k1 +k2 +'的聯(lián)合累積量C k1 k2- - k可由第二特征函數(shù)定義為rCk

18、1k2,，k n -(-j )門;()k1 _ k2. k n1'2'n于是，n維高斯隨機(jī)變量（X1,X2，Xn）的各階累積量為:(1) r即k1 ,k2,，kn中某個(gè)值取1（設(shè)ki=1）,而其余值為零,于是=ai = EXi , 1 = 2 =n =0(2) r1- -1- - 0這有兩種情況:= 1,2,，n）中某兩個(gè)值取：可(.) (-J)( i j1(設(shè) ki =kj= cij =E(Xi= 1,i # j ）,其余值為零，這-ai)(xj -aj ) i = j上式利用了關(guān)系式Cj =%。2） ki（i =1,2,，n中某個(gè)值取2（設(shè)ki = 2 ）,其余值為零，這時(shí)

19、2=（fj）c2 .= E（Xi -aj -io1.、y - n =0(3) r之3 ,由于中(co)是關(guān)于自變量q (i =1,2,，n)的二次多項(xiàng)式，因而空(役) 關(guān)于自變量的三階或三階以上 (偏)導(dǎo)數(shù)等于零，因而x的三階或三階以上聯(lián)合 累積量等于零，即ck k . .k = 0, k1k2，,，k n _ 3klk2 k nI2n由上一節(jié)關(guān)于隨機(jī)過程的累積量的定義可知，對(duì)于高斯隨機(jī)過程 x(n),其階次大于2的k階累積量ck,x (m1 ,m2，mk)也為零，即ck,x （m1，m2，mk）=0, k 之 3(1.(17)由于高斯過程的高階累積量(當(dāng)階次大于2時(shí))等于零，而對(duì)于非高斯過

20、程，至少存在著某個(gè)大于2的階次k,其k階累積量不等于零。因此，利用高階 累積量可以自動(dòng)地抑制高斯背景噪聲(有色或白色)的影響，建立高斯噪聲下 的非高斯信號(hào)模型，提取高斯噪聲中的非高斯信號(hào)(包括諧波信號(hào))。正因?yàn)檫@樣，高階累積量這一統(tǒng)計(jì)量已日益受到人們的重視并已成為信號(hào)處理中一種非 常有用的工具。因此，文中在今后的算法研究中均代用高階累積量而不采用高 階矩。1.5雙譜及其性質(zhì)1 .高階譜的定義設(shè)x(n)為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，則其k階累積量Ck,x(m1, m2,，mkG的(k-1)維付里葉變換定義為x(n)的k階譜(kth-order spectrum),即k 1|Sk,x( 1, 2, , k

21、 J =三二 、_ck,x(m-m2,mk)exp -廣 ，皿m1 一：二 mk：二_ i T(1.(18)通常，Sk,x3 ©2,露公為復(fù)數(shù)，其存在的充分必要條件是Ck,x(m1, m2,，mk G絕對(duì)可和，即O0 8工 工 Ck,x (m1 ,m2，m)Vgm1 一二 mk 工A：高階譜又稱作多譜(Polyspectrum)，通常k階譜對(duì)應(yīng)于(k-1)譜。例如三階譜對(duì)應(yīng)雙譜(Bispectrum),四階譜對(duì)應(yīng)于三譜(Trispectrum),今后我們大多數(shù) 采用多譜這一概念。取k =2,3,4時(shí)，式(1.18)分別簡化為功率譜、雙譜和三譜公式，即k =2 ,為功率譜S2,x(o)

22、 = £ C2,x(m)exp -j©m m1(1.(19) k =3 ,為雙譜QO QOS3,x(Oi，02)= £ Z C3,x(m1, m2) exp L 上儂尸1 +©2m2) m1 - ： ： m2：(1.(20)k =4 ,為三譜 QO oO OOS4,x(。，82,63) = £ z Z C4,x (m1, m2, m3) exp L j (©1m1 +82m23m3)】m1 -：m2 -二：m3 =：(1.21 )容易看出，式(1.19)就是維納-辛欽定理?？梢姡β首V也是高階譜的一種 特殊形式。2.雙譜的性質(zhì)在高階譜

23、中，雙譜處理方法最簡單，且含有功率譜中所沒有的相位信息， 是高階譜研究中的“熱點(diǎn)”。因此下面著重研究雙譜及其性質(zhì)。設(shè)x(n)為零均值、三階實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜分別為rx(m) =c2,x(m) =Ex(n)x(n +m)(1.22)QOS(' ); S2,x(- ) -、rx(m)exp - j，m m -j.：而其三階累積量和雙譜分別為c3,x(m1 ,m2)=Ex(n)x(n - m1 )x(n - m2)(1.(23) QO OOB(-i二2)= S3,x (''1, ,'2) = '' C3,x (m1, m2) exp

24、一 j C " m ,，2 m 2)m1 =：m2 二:(1.(24)由式(1.23)可知，三階累積量C3,x(m1, m2)具有如下對(duì)稱性：C3,x(m1,m2)冰皿叩)八一m2,m1 m2)，*仙-m1,-m1)= C3,x(mi -m2, -m2) =C3,x(-mi，m2 - ml)(1.(25)由式(1.24)雙譜的定義及式(1.25)三階累積量的對(duì)稱性可知：(1) 8(0，62)通常是復(fù)數(shù)，即包含幅度和相位。B (coi，©2) B(© 1, co2) exp j 幅(co 1，00 2H(2) B (，必)是以2n為周期的雙周期函數(shù)，即B( 1， -

25、2) = B( 12 二，一22二)(3) B (孰，02)具有如下對(duì)稱性 *B ( ,1，- ,2) uB?！?，/)=B ( - '2，- '1 ) =B ( - .1，- .2)=B (- ，1 - 1 2 ，2 ) = B (；。1，- ' 1 1 - 1 1 2 )=B( -，1 -，2，1) = B( 2，- 1 - -2)(1.26)此外，雙譜在實(shí)際應(yīng)用中還具有如下重要特性：(1)高斯過程：如果x(n)為零均值、高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程，則對(duì)于所有m1，m2 ,都有 C3，x (m1，m2) = 0 ,因止匕 B(o1，0 2) = 0。(2)非高斯白噪聲過程：如果

26、w(n)是具有Ew(n) =0 ,Ew(n)w(n +m) = Q6(m) , Ew(n)w(n+m1)w(n+m2H =南(m1，m2)的非圖斯白噪聲過程，則其功率譜和雙譜分別為一直線與一平面，即S描)=Q , B(O1,O2) = P c(3)非高斯白噪聲通過線性系統(tǒng)：設(shè)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H(z),系統(tǒng)的輸入為零均值非高斯白噪聲w(n),且Ew(n) =0 , Ew2(n)=仃。， Ew3(n) =%w,則系統(tǒng)輸出y(n)的功率譜與雙譜分別為22S8 )=仃 w H (切) (1.27) *B( 1，2) "wH ( 1)H ( 2)H (-12)(1.28)設(shè)H (O) =

27、H (©) exp j中(0)(1.29)B( 1， 2 ) eXP j B ( 1)2 )(2.(30)則B(01，02)=| 了3w * H (01) H (©2)| H («1 + 02)(2.(31)；：B (- '1, ' '2) =(' '1 ) - ；：(' '2 ) - ；： (' ' 1 ' ' ' 2 )(2.(32)由上可見，雙譜的幅度譜和功率譜均由H (決定，因而雙譜的幅度譜與功率譜的信息一樣多。但功率譜不含相位信息，而雙譜則包含相位信息，這就使

28、 雙譜在信號(hào)處理領(lǐng)域得到越來越多的應(yīng)用，因?yàn)橛行﹫?chǎng)合如對(duì)圖像處理來說， 相位信息比幅度信息還重要。(4)非最小相位系統(tǒng)的辨識(shí)雙譜含有相位信息，因此在非最小相位系統(tǒng)辨識(shí)中變得十分有用，現(xiàn)用一個(gè)簡單的例子加以說明。設(shè)輸入為非高斯平穩(wěn)白噪聲過程w(n),它有Ew(n) =0 , Ew2(n)=仃：，Ew3(n)=九卬。線性系統(tǒng)為下列三種情形的二階FIR系統(tǒng)。1)最小相位系統(tǒng)H 1(z) = (1 -az A)(1 -bz '),0 a 1,0 b 1系統(tǒng)輸出為y1 (n) = w(n) - (a，b) w(n -1) - abw (n - 2)2)最大相位系統(tǒng)H 2(z) =(1 -az)(

29、1 -bz)系統(tǒng)輸出為y2( n) =w(n) (a b)w(n 1) abw (n 2)3)混合相位系統(tǒng)H 3(z) =(1 - az)(1 - bz /)系統(tǒng)輸出為y3 (n) = -aw (n 1) - (1 - ab )w( n) bw (n 1)輸出yjn) , yz(n)及y3(n)具有相同的自相關(guān)序列，即r (m ) = E y1 (n) y1 (n - m) = E y2 (n) y2 (n ' m) = E y3(n) y3(n ' m)2222r (0) = 1 a b (a b)二 wr(1) = _(a b)(1 ab)二W,、.2r (2) = ab

30、二 wr (m) = 0, m _ 3這就意味著它們具有相同的功率譜，因此利用功率譜無法將三個(gè)系統(tǒng)區(qū)分 開來。然而利用雙譜則可以區(qū)分，因?yàn)閥1(n) , y2(n)及y3(n)具有不同的三 階累積量，見表1.1。這表明三階累積量可以用來辨識(shí)非最小相位系統(tǒng)，這在地 震信號(hào)反褶積及數(shù)據(jù)通信中有重要的應(yīng)用。表1.1具有相同自相關(guān)的三個(gè)系統(tǒng)的輸出的三階累積量累積量最小相位系統(tǒng)最大相位系統(tǒng)混合相位系統(tǒng)c(0,0)1 -(a +b)3 +a3b3”3w1 -(a +b)3 +a3b3 ?3w(1 ab ) a - b ,3wc(1,1)(a +b)2 -(a +b)a2b2?3w-(a +b) +ab(a

31、 +b)2,Gwa(1 +ab)2 +(1 +ab)b2Mwc(2,2)a&Lab ?3w-ab 273wc(1,0)-(a +b) +ab(a +b)2?3w(a +b)2 -(a +b)a2b273wa2 (1 +ab) -(1 +ab)2b：3wc(2,0)ab Ia2b2Lw a 2b 73wc(2,1)-(a +b) ab -4w-(a + b)ab Zwab (1 + ab)73w(5)混合高斯和非高斯系統(tǒng)的辨識(shí)設(shè)一過程的功率譜為S，雙譜為B(颯，/)。若與S(O)相匹配的線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H (z),即2S(co)= h(8)(1.33)而與B(01，©2)相

32、匹配的線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為T (z),即 *B(-1,-2) = T ( .1 )T (，2 )T (- ,1 ，2)(1.34)當(dāng)由式(1.33)求得的H ©)與由式(1.34)求得的T(co)不同時(shí)，可用來辨識(shí)高斯與 非高斯分量組合的系統(tǒng)。下面就來研究這個(gè)問題。考慮如圖1-1所示的過程Zn,它由兩個(gè)過程組成：一為高斯白噪聲£(n)通過AR濾波器的輸出x(n),另一為非高斯白噪聲w(n)通過AR濾波器白輸出y(n)。設(shè)w(n)與w(n)相互獨(dú)立，圖1-1混合高斯和非高斯系統(tǒng)因此x(n)與y(n)相互獨(dú)立。為方便起見，設(shè)=仃：=1 , 丁3w =1。于是z(n)的雙譜是x(n)和y(n)各自雙譜的和，因?yàn)閤(n)是高斯過程，其雙譜為零，故z(n)的 雙譜就是y(n)的雙譜。y