2015年-2017年全國中考二次函數(shù)壓軸題集錦

1、1 .如圖，在平面直角坐標系中， ABC是直角三角形，/ ACB=90, AC=BC OA=1, OC=4, 拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A, B兩點.(1)求拋物線的解析式；(2)點E是直角 ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外),過點E作x軸的垂線交拋物線于 點F,當線段EF的長度最大時，求點E、F的坐標；(3)在(2)的條件下：在拋物線上是否存在一點 P,使4EFP是以EF為直角邊的直角三角2 .如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A (1, 0)和點B,與y軸交于點 C (0, 3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在y軸上是否存在一

2、點P,使4PBC為等腰三角形？若存在.請求出點 P的坐標；(3)有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點 D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點 M到達點B時,(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足/ DBA=/ CAO (。是坐標原點)，求點D的坐(3)點P是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限上的一動點，連接PA分別交BG y軸于點E、F,若APEB zCEF的面積分別為&、求Sl8的最大值.V4 .如圖1,已知二次函數(shù)y=a/+bx+c (a、b、c為常數(shù)，a*0)的圖象過點O (0, 0)

3、和點A (4, 0),函數(shù)圖象最低點M的縱坐標為-y,直線l的解析式為y=x.>43r4圖1圖2皆用囹(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)直線l沿x軸向右平移，得直線l ； l與線段OA相交于點B,與x軸下方的拋物線相交 于點C,過點C作CHx軸于點E,把 BCE沿直線l折疊，當點E恰好落在拋物線上點E'時(圖2),求直線l的解析式；(3)在(2)的條件下，l與y軸交于點N,把ABON繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)135°得至iJzB' ON P 為l上的動點，當 PB'的等腰三角形時，求符合條件的點 P的坐標.5 .如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸分別交于A (

4、- 1, 0), B (5, 0)兩點.(1)求拋物線的解析式；(2)在第二象限內(nèi)取一點 C,彳CD垂直X軸于點D,鏈接AC,且AD=5, CD=8,將RtAACD 沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；(3)在(2)的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物線對稱軸上一點.試 探究：在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，且4CDE始終保持邊ED經(jīng)過點M,邊CD經(jīng)過點N,邊DE與y軸交于點H,邊CD與y軸交 于點G.(1)填空：OA的長是, /ABO的度數(shù)是 度；(2)如圖2,當DE/ AB,連接HN.求證：四邊形AMHN

5、是平行四邊形；判斷點D是否在該拋物線的對稱軸上，并說明理由；(3)如圖3,當邊CD經(jīng)過點。時，(此時點。與點G重合),過點D作DQ/ OB,交AB延 長線上于點Q,延長ED到點K,使DK=DN,過點K作KI/ OB,在KI上取一點P,使得/ PDK=45(點P, Q在直線ED的同側(cè))，連接PQ,請直接寫出PQ的長.圖i圉z圄37 .如圖，拋物線y予+(x+c與x軸的負半軸交于點A,與y軸交于點B,連結(jié)AB,點C (6, 與)在拋物線上，直線 AC與y軸交于點D.(1)求c的值及直線AC的函數(shù)表達式；(2)點P在x軸正半軸上，點 Q在y軸正半軸上，連結(jié) PQ與直線AC交于點M,連結(jié)MO 并延長交

6、AB于點N,若M為PQ的中點.求證：APMs/XAON；設點M的橫坐標為m,求AN的長(用含m的代數(shù)式表示).8 .拋物線y=4X2 - 2ax+b與x軸相交于A (x1，0), B (x2, 0) (0<xi<x2)兩點，與y軸交于 點C.(1)設AB=2, tan/ABC=4求該拋物線的解析式；(2)在(1)中，若點D為直線BC下方拋物線上一動點，當 BCD的面積最大時，求點D 的坐標；(3)是否存在整數(shù)a, b使彳導1<x1<2和1<x2<2同時成立，請證明你的結(jié)論.9 .如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，直線l與

7、拋物線 交于A, C兩點，其中點C的橫坐標為2.(1)求A, B兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式；(2) P是線段AC上的一個動點 下與人，C不重合)，過P點作y軸的平行線交拋物線于點E, 求4ACE面積的最大值；(3)若直線PE為拋物線的對稱軸，拋物線與y軸交于點D,直線AC與y軸交于點Q,點M 為直線PE上一動點，則在x軸上是否存在一點N,使四邊形DMNQ的周長最??？若存在，求 出這個最小值及點M, N的坐標；若不存在，請說明理由.(4)點H是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F,使A、C、F、H四個點為頂點的四邊 形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的 F點坐標；如果不存在，

8、請說明理 由.10 .如圖，RtAOAB如圖所示放置在平面直角坐標系中， 直角邊OA與x軸重合，/ OAB=90 , OA=4, AB=2,把RtAOAB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，一條拋物線正好 經(jīng)過點O, C, A三點.(1)求該拋物線的解析式；(2)在x軸上方的拋物線上有一動點P,過點P作x軸的平行線交拋物線于點 M,分別過點 P,點M作x軸的垂線，交x軸于E, F兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果 有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由.(3)如果x軸上有一動點H,在拋物線上是否存在點 N,使O (原點)、G H、N四點構(gòu)成 以O

9、C為一邊的平行四邊形？若存在，求出 N點的坐標；若不存在，請說明理由.11 .如圖(1),在平面直角坐標系中，矩形 ABCQ B點坐標為(4, 3),拋物線y=Jx2+bx+c a經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C, D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，與拋物線y=4x2+bx+c交于第四象限的F點.(1)求該拋物線解析式與F點坐標；(2)如圖(2),動點P從點C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動； 同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒哼個單位長度的速度向終點 E運動.過點P 作PH，OA,垂足為H,連接MP, MH.設點P的運動時間為t秒.問EP+PH+HF是否有最小值？

10、如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由.若 PMH是等腰三角形，請直接寫出此時t的值.圄 Y圖12.如圖，已知直線y=kx- 6與拋物線y=aX2+bx+c相交于A, B兩點，且點A (1, -4)為拋 物線的頂點，點B在x軸上.(1)求拋物線的解析式；(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點 P,使APOB與4POC全等？若存在， 求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若點Q是y軸上一點，且 ABQ為直角三角形，求點Q的坐標.13.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，直線1:尸差工十口與x軸、y軸分別交于點A和點B (0, -1),拋物線產(chǎn)點/此工十£經(jīng)過點B,且與

11、直線1的另一個交點為C (4, n).圄1圖2V(1)求n的值和拋物線的解析式；(2)點D在拋物線上，且點D的橫坐標為t (0<t<4). DE/ y軸交直線1于點E,點F在直 線1上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2).若矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式 以及p的最大值；(3) M是平面內(nèi)一點，將 AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到 A1O1B1,點A、0、 B的對應點分別是點 A1、01、B1.若A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點 A1的橫坐標.14 .如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，動點P、Q同時從A點出發(fā)，點P沿AB以每

12、 秒1個單位長度的速度向終點B運動.點Q沿折線ADC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，設運動時間為t秒.(1)當t=2秒時，求證：PQ=CP(2)當2<t&4時，等式“PQ=C肋成立嗎？試說明其理由；(3)設4CPQ的面積為S,那么S與t之間的函數(shù)關(guān)系如何？并問S的值能否大于正方形ABCD 面積的一半？為什么？15 .如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線 y=-手x2+pLx+2/l與x軸交于A, B兩點(點 A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C(1)求直線BC的解析式；(2)點D是線段BC中點，點E是BC上方拋物線上一動點，連接 CE DE.當 CDE的面積 最大時，過點E作y軸

13、垂線，垂足為F,點P為線段EF上一動點，將 CEF繞點C沿順時針 方向旋轉(zhuǎn)90°,點F, P, E的對應點分別是F', P； E',點Q從點P出發(fā)，先沿適當?shù)穆窂竭\ 動到點F處，再沿F'運動到點C處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動到點 P'處停止.求4CDE面積的 最大值及點Q經(jīng)過的最短路徑的長；(3)如圖2,直線BH經(jīng)過點B與y軸交于點H (0, 3)動點M從O出發(fā)沿OB方向以每秒1個單位長度向點B運動，同時動點N從B點沿BH方向以每秒2個單位長度的速度向點H 運動，當點N運動到H點時，點M,點N同時停止運動，設運動時間為t.運動過程中，過 點N作OB的平行線

14、交y軸于點I,連接MI, MN,將 MNI沿NI翻折得 M NJ連接HM ,當HN為等腰三角形時，求t的值.16.如圖1,直線產(chǎn)咯田2與x軸、y軸分別交于B、C兩點，經(jīng)過B、C兩點的拋物線與軸的另一交點坐標為A ( - 1 , 0).(1)求B、C兩點的坐標及該拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式；(2) P在線段BC上的一個動點(與B、C不重合)，過點P作直線a/ y軸，交拋物線于點E, 交x軸于點F,設點P的橫坐標為m, BCE的面積為S.求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 m的取值范圍；求S的最大值，并判斷此時 OBE的形狀，說明理由；(3)過點P作直線b/x軸(圖2),交AC于點Q,那么在x軸

15、上是否存在點R,使得 PQR 為等腰直角三角形？若存在，請求出點 R的坐標；若不存在，請說明理由.17.已知正方形OABC的邊OG OA分別在x、y軸的正半軸上，點 B坐標為(10, 10),點P 從O出發(fā)沿。3C-B運動，速度為1個單位每秒，連接AP.設運動時間為t.(1)若拋物線y=- (x-h) 2+k經(jīng)過A、B兩點，求拋物線函數(shù)關(guān)系式；(2)當00tW10時，如圖1,過點。作OH，AP于點H,直線OH交邊BC于點D,連接AD,PD,設4APD的面積為S,求S的最小值；(3)在圖2中以A為圓心，OA長為半徑作。A,當0Wt020時，過點P作PQ,x軸(Q在P的上方)，且線段PQ=+12:

16、當t在什么范圍內(nèi)，線段PQ與。A只有一個公共點？當t在什么范圍內(nèi)，線段PQ與。A 有兩個公共點？請將中求得的t的范圍作為條件，證明：當t取該范圍內(nèi)任何值時，線段 PQ與。A總有 兩個公共點.圖1圖218 .如圖，二次函數(shù)y=x2-4x的圖象與x軸、直線y=x的一個交點分別為點A、B, CD是線段OB上的一動線段，且CD=2,過點C、D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點F、E, 連接EF.(1)點A的坐標為,線段OB的長二(2)設點C的橫坐標為m當四邊形CDEF平行四邊形時，求 m的值；連接AG AD,求m為何值時， ACD的周長最小，并求出這個最小值.19 .如圖，已知二次函數(shù)y= - x

17、2+bx+c (c>0)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的 左側(cè))，與y軸交于點C,且OB=OC=3頂點為M.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ,垂足為Q,若OQ=m,四邊形ACPQ的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出 m的取值范圍；(3)探索：線段BM上是否存在點N,使4NMC為等腰三角形？如果存在，求出點 N的坐20 .如圖，拋物線 y=i-x2+mx+n 與直線y=-x+3交于A, B兩點，交x軸于D, C兩點，連接 AC, BC,已知 A (0, 3), C (3, 0).(I )求拋物線的解析式和tan / BAC的值

18、；(H)在(I )條件下：(1) P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接 PA過點P作PQ，PA交y軸于點Q,問：是否存 在點P使得以A, P, Q為頂點的三角形與 ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.(2)設E為線段AC上一點(不含端點)，連接DE, 一動點M從點D出發(fā)，沿線段DE以每 秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒正個單位的速度運動到A后停止，當點E21 .如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y=ax2+bx+c (a*0)的頂點為B (2, 1),且過點A (0, 2),直線y=x與拋物線交于點D, E (點E在對稱軸的右側(cè))，拋物線的對稱

19、軸交直線y=x 于點C,交x軸于點G, EF,x軸，垂足為F,點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側(cè)，PQ±x 軸，垂足為點Q, 4PCQ為等邊三角形昌用國(1)求該拋物線的解析式；(2)求點P的坐標；(3)求證：CE=EF(4)連接PE,在x軸上點Q的右側(cè)是否存在一點 M,使4CQM與CP%r等？若存在，試 求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.注：3+2/2=(亞+1) 2 .22 .閱讀理解拋物線y=Lx2上任意一點到點(0, 1)的距離與到直線y=- 1的距離相等，你可以利用這一4性質(zhì)解決問題.問題解決如圖，在平面直角坐標系中，直線 y=kx+1與y軸交于C點，與函數(shù)y十x2的圖

20、象交于A, B兩點，分別過A, B兩點作直線y=- 1的垂線，交于E, F兩點.(1)寫出點C的坐標，并說明/ ECF=90;(2)在4PEF中，M為EF中點，P為動點.求證：PS+PF2=2 (PM2+EM2);已知PE=PF=3以EF為一條對角線作平行四邊形 CEDF若1 < PDX 2,試求CP的取值范圍.x軸于點H,23 .已知拋物線經(jīng)過 A (-3, 0), B (1, 0), C (2,：)三點，其對稱軸交次函數(shù)y=kx+b (kw0)的圖象經(jīng)過點C,與拋物線交于另一點D (點D在點C的左邊)，與拋 物線的對稱軸交于點E.(1)求拋物線的解析式;(2)如圖1,當SEOG=SL

21、EAB時，求一次函數(shù)的解析式；(3)如圖2,設/CEH=, /EAH率，當a> 0時，直接寫出k的取值范圍.24.如圖1,已知直線EA與x軸、y軸分別交于點E和點A (0, 2),過直線EA上的兩點F、G分別作x軸的垂線段，垂足分別為 M (m, 0)和N (n, 0),其中m<0, n>0.(1)如果m= -4, n=1,試判斷 AMN的形狀；(2)如果mn=-4, (1)中有關(guān) AMN的形狀的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不 成立，請說明理由；(3)如圖2,題目中的條件不變，如果 mn=-4,并且ON=4,求經(jīng)過M、A、N三點的拋物 線所對應的函數(shù)關(guān)系式；(4)在(

22、3)的條件下，如果拋物線的對稱軸l與線段AN交于點P,點Q是對稱軸上一動點，以點P、Q、N為頂點的三角形和以點 M、A、N為頂點的三角形相似，求符合條件的點 Q的點，點P從A點出發(fā),以1個單位每秒的速度向點B運動，點Q同時從C點出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運動， 運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動.設PQ交直線AC于點G.(1)求直線AC的解析式；(2)設 PQC的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；(3)在y軸上找一點M,MACffiAMBC都是等腰三角形.直接寫出所有滿足條件的 M點的坐標；(4)過點P作PE±AC,垂足為E,當P點運動時，線段EG的長度是否發(fā)生改變

23、，請說明理 由.*B作的條件下NM在拋物線的對稱軸上取兩點的周長最小,請說明理由； l上的兩個動點Q (、C三點的拋物線的解析式 1)中拋物線的頂點時，求A作直線l在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)PQ=1,要使四邊形BCPQCF的長；Q在點P的上方),OA=AB=2 OC=3 過點 B 角的兩邊分別交 y軸的正半軸E x軸的正半軸 頁時針方向旋轉(zhuǎn), (1)求經(jīng)過A、 (2)當BE經(jīng)過M、N分別為直線AD和直線軸的正半軸上，OC 將/ DBC繞點B按MK,求DN+NM+MK和的最小值.27.如圖，已知在平面直角坐標系 xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)點D為

24、點C關(guān)于x軸的對稱點問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點P,使得它到四邊形ABKD26.試說明： DNT的面積&DNT=d3DN?DT;4).28.如圖，已知拋物線與x軸交于點A (-2, 0), B (4, 0),與y軸交于點C (0,(1)求拋物線的解析式及其頂點 D的坐標；(2)設直線CD交x軸于點E,過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F,在直線CD的上方, y軸及y軸的右側(cè)的平面內(nèi)找一點 G,使以點G、F、C為頂點的三角形與 COE相似，請直接 寫出符合要求的點G的坐標；(3)如圖，拋物線的對稱軸與x軸的交點M,過點M作一條直線交/ ADB于T, N兩點， 當/ DNT=90時

25、，直接寫出 上十工的值；DM DT當直線TN繞點M旋轉(zhuǎn)時，_29 .如圖，RtAABC+, / B=90°/CAB=30, AC!x軸.它的頂點A的坐標為(10, 0),頂 點B的坐標為|仁，5)，點P從點A出發(fā)，沿 Z B-C的方向勻速運動，同時點 Q從點D(0, 2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運動，當點 P到達點C時，兩點同時停止運動，設 運動的時間為t秒.(1)求/BAO的度數(shù).(直接寫出結(jié)果)(2)當點P在AB上運動時，4OPQ的面積S與時間t (秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分(如圖)，求點P的運動速度.(3)求題(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，及面積 S取最大

26、值時，點P的坐標.(4)如果點P, Q保持題(2)中的速度不變，當t取何值時，PO=PQ請說明理由.(圖)圉)30 .如圖，已知直線l: y2x+2與y軸交于點D,過直線l上一點E作EC，y軸于點C,且C 點坐標為(0, 4),過C、E兩點的拋物線y=- x2+bx+c交x軸于A、B兩點(點A在點B的 左側(cè)).(1)求拋物線的解析式：(2)動點Q從點C出發(fā)沿線段CE以1單位/秒的速度向終點E運動，過點Q作QF1ED于點 F,交BD于點H,設點Q運動時間為t秒，4DFH的面積為S,求出S與t的函數(shù)關(guān)系式(并 直接寫出自變量t的取值范圍)；(3)若動點P為直線CE上方拋物線上一點，連接 PE,過點

27、E作EM± PE交線段BD于點M, 當4PEM是等腰直角三角形時，求四邊形 PMBE的面積.31 .已知在平面直角坐標系中，拋物線 y=aX2+bx+c (a*0,且a, b, c為常數(shù))的對稱軸為： 直線x,與x軸分別交于點A、點B,與y軸交于點C (0,-二)，且過點(3, - 5), D122為x軸正半軸上的動點，E為y軸負半軸上的動點.(1)求該拋物線的表達式；(2)如圖1,當點D為(3, 0)時，DE交該拋物線于點 M,若/ADC=Z CDM,求點M的坐 標；(3)如圖2,把(1)中拋物線平移使其頂點與原點重合，若直線 ED與新拋物線僅有唯一交 點Q時，y軸上是否存在一個定

28、點P使PE=PQ若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說 明理由.圖L圖工參考答案與試題解析一.解答題（共31小題）1. （2017秋?上杭縣期中）如圖，在平面直角坐標系中， ABC是直角三角形，/ ACB=90, AC=BC OA=1, OC=4 拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過 A, B兩點.(1)(2) 點F,(3)求拋物線的解析式；點E是直角 ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外）,過點E作x軸的垂線交拋物線于 當線段EF的長度最大時，求點E、F的坐標；在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一點 P,使4EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

29、【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.【專題】151:代數(shù)綜合題；32 :分類討論.【分析】（1）根據(jù)AC=BC求出BC的長，進而得到點A, B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求 得拋物線的解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出直線 AB的解析式，用含m的式表示出E, F的坐標，求出EF的長 度最大時m的值，即可求得E, F的坐標；（3）分兩種情況：/ E- 90°和/F=90°,分別得到點P的縱坐標，將縱坐標代入拋物線解析 式，即可求得點P的值.【解答】解：（1） V OA=1, OC=4 AC=BCBC=5, .A （1, 0）, B （4, 5）,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A, B兩點

30、，l-b+c-016+4b+c=5b=-2c-3 ' - y=x2 - 2x - 3 "（2）設直線AB解析式為：y=kx+b, 直線經(jīng)過點A, B兩點，-k+b=OMl如+b = 5直線AB的解析式為：y=x+1,設點E的坐標為（m, m+1）,則點F （m, m2-2m-3）,214EF=m+1 - m2+2m+3=- m2+3m+4=- (m-力當EF最大時, ,點E （寸，年）（3）存在.當/FEP=90時，點P的縱坐標為!- 即x22x 3二至，解得：X1/運， 22:點pi(*尹P2 (等,當/ EFP=90時，點P的縱坐標為15即 x2-2x-3=-A-,解得：

31、x1=i- 42點P3(爭1)，綜上所述，Pi (過警，-1), P2 (x2一(舍去)，15).E=90° 和【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，其中第(3)小題要注意分類討論，分/ F=900兩種情況.2. (2017秋？鄂城區(qū)期中)如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A (1, 0) 和點B,與y軸交于點C (0, 3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在y軸上是否存在一點P,使4PBC為等腰三角形？若存在.請求出點 P的坐標；(3)有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點 D與點M同時

32、出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點 M到達點B時, 點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時， MNB面積最大，試求出最大面積.【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.【專題】16 :壓軸題.【分析】(1)代入A (1, 0)和C (0, 3),解方程組即可；(2)求出點B的坐標，再根據(jù)勾股定理得到 BC,當 PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論： CP=CB BP=BC PB=PC(3)設 AM=t WJ DN=2t,由 AB=2,彳4BM=2 t, SA MNB=j- X (2-t) X2t=-t2+2t,運用二次函數(shù)的頂點坐標解決問題；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上

33、方2個單位處或點N 在對稱軸上x軸下方2個單位處.【解答】解：(1)把A (1, 0)和C (0, 3)代入y=x2+bx+c,輸?shù)茫篵=-4, c=3, 二次函數(shù)的表達式為：y=x2 - 4x+3;(2)令 y=0,則 x2- 4x+3=0,解得：x=1或x=3, B (3,/), .BC=3.:,點P在y軸上，當 PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖 1當 CP=CB寸，PC=3/2, . OP=O(+PC=3+Vj或 OP=PG OC=y2 - 3Pi (0, 3+3/2), P2 (0, 3-3/2);當 BP=BCW, OP=OB=3 P3 (0, -3);當PB=PC寸，.

34、OC=OB=3 此時P與O重合， P4 (0, 0)；綜上所述，點P的坐標為：(0, 3+3/2)或(0, 3-3/2)或(0, -3)或(0, 0); (3)如圖2,設A運動時間為t,由AB=2,彳3BM=2-t, WJ DN=2t, .$ MNB=X (2-t) X 2t= -t2+2t=- (t1) 2+1,2即當M (2, 0)、N (2, 2)或(2, -2)時AMNB面積最大，最大面積是1.【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵.3. (2017加州)如圖，已知二次函數(shù)

35、y=ax2+bx+c (a*0)的圖象經(jīng)過A(T, 0)、B (4, 0)、 C (0, 2)三點.(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足/ DBA=/ CAO (。是坐標原點)，求點D的坐(3)點P是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限上的一動點，連接PA分別交BG y軸于點E、F,若APEB zCEF的面積分別為&、S2,求S2的最大值.【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.【專題】16 :壓軸題.【分析】(1)由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(2)當點D在x軸上方時，則可知當CD/ AB時，滿足條件，由對稱性可求得 D點坐標；當 點D在x

36、軸下方時，可證得BD/ AC,利用AC的解析式可求得直線 BD的解析式，再聯(lián)立直 線BD和拋物線的解析式可求得 D點坐標；(3)過點P作PH/ y軸交直線BC于點H,可設出P點坐標，從而可表示出PH的長，可表 示出4PEB的面積，進一步可表示出直線 AP的解析式，可求得F點的坐標，聯(lián)立直線BC和 PA的解析式，可表示出E點橫坐標，從而可表示出 CEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可 求得Si-S2的最大值.【解答】解:a-b+ 0(1)由題意可得，解得拋物線解析式為y= - -i-x2+-1-x+2 ；(2)當點D在x軸上方時，過C作CD/ AB交拋物線于點D,如圖1, V-圖1:A、B關(guān)于對稱

37、軸對稱，C、D關(guān)于對稱軸對稱，四邊形ABDC為等腰梯形，/CAO之DBA即點D滿足條件,D (3, 2);當點D在x軸下方時， / DBA=/ CAQ.BD/ AC,-C (0, 2),可設直線AC解析式為y=kx+2,把A ( - 1, 0)代入可求得k=2,直線AC解析式為y=2x+2,可設直線BD解析式為y=2x+m,把B （4, 0）代入可求得m=-8,直線BD解析式為y=2x- 8,聯(lián)立直線BD和拋物線解析式可得工:-5 y=-18,解得 -D （-5, - 18）；綜上可知滿足條件的點D的坐標為（3, 2）或（-5, - 18）;.H (t, -l-t+2)2x+2,PH=yP y

38、H=- -3-t2+|-t+2 -("t+2) =-t2+2t22設直線AP的解析式為y=px+q,1<) 3-yt +yt+2=tp+<i0=-p4Q直線AP的解析式為y=（-t+2） （x+1）,令x=0可得y=2-卷t .F (0, 2 .CF=2- (2t)今y=(2(x41)聯(lián)立直線AP和直線BC解析式可得 . SiPH(XB- XE) 2Si - S2=(一y=yx+2(-京2+2t) (4-+2t) (4 一.當t=1_時，有S-S2有最大值，最大值為5)4165 T,解得x音,即巳點的橫坐標為),及 二？L?_L_2 25-tt2+4t=(t【點評】本題為

39、二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、平行線的判定和性質(zhì)、三角形的面 積、二次函數(shù)的性質(zhì)、方程思想汲分類討論思想等知識.在（1）中注意待定系數(shù)法的應用,在（2）中確定出D點的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點的坐標分別表示出兩個三角形 鍵面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量大，難度較大.4. (2017?南充)如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a、b、c為常數(shù)，a*0)的圖象過點O (0, 0)和點A (4, 0),函數(shù)圖象最低點M的縱坐標為-直線l的解析式為y=x.圖1圉2省用固(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)直線l沿x軸向右平移，得直線l ； l與線段OA相交于

40、點B,與x軸下方的拋物線相交 于點C,過點C作CHx軸于點E,把 BCE沿直線l折疊，當點E恰好落在拋物線上點E'時(圖2),求直線l的解析式；(3)在(2)的條件下，l與y軸交于點N,把ABON繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)135°得至iJzB' ON P 為l上的動點,當 PB'的等腰三角形時，求符合條件的點 P的坐標.【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.【專題】16 :壓軸題.【分析】(1)由題意拋物線的頂點坐標為(2,-旦)，設拋物線的解析式為y=a (x-2)把(0, 0)代入得到,即可解決問題;(2)如圖 1 中，設 E (m, 0), M C (m,當m21m),

41、B (-子m2+m, 0),由E、B關(guān)于對稱軸對稱，可得=2,由此即可解決問題;(3)分兩種情形求解即可當Pi與N重合時，PiB'跟等腰三角形，此時Pi (0, -3). 當N =N'暗；設P (m, m-3),列出方程解方程即可；【解答】解：(1)由題意拋物線的頂點坐標為(2,-得)，設拋物線的解析式為y=a (x-2) J把(0, 0)代入得到a=|拋物線的解析式為(x-2) 2即y=|x2x.(2)如圖 1 中，設 E (m, 0),則 C (m, m2-m), B ( -m2+m, 0),R-JrJaJ8解得m=1或6 (舍棄)， .B (3, 0), C (1, -2

42、), :直線l的解析式為y=x 3.(3)如圖2中,八F當Pi與N重合時， PiB'肥等腰三角形，此時Pi (0, -3).N =/暗；設 P (m, m-3),當則有解得m=3-1V2) 2= (3H) 2, -1P23 -3 V3 323 3 V5),P3 ().綜上所述，滿足條件的點P坐標為(0, - 3)或()或32-3+3VS).【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)、兩點間距離公 式等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會根據(jù)方程，屬于中考壓軸題.【專題】 【分析】-H>+g=O-25+5b+c=0,解得嚴I c=55. (2

43、017?!賓)如圖，拋物線y=- x2+bx+c與x軸分別交于A (-1, 0), B (5, 0)兩點.(1)求拋物線的解析式；(2)在第二象限內(nèi)取一點 C,彳CD垂直X軸于點D,鏈接AC,且AD=5, CD=8,將RtAACD 沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；(3)在(2)的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物線對稱軸上一點.試 探究：在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，16 :壓軸題.(1)由A、B的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;(2)由題意可求得C點坐標，設平移后的點C的對應點為C'

44、,則C'點的縱坐標為8,代入拋 物線解析式可求得C'點的坐標，則可求得平移的單位，可求得 m的值；(3)由(2)可求得E點坐標，連接BE交對稱軸于點M,過E作EF, x軸于點F,當BE為 平行四邊形的邊時，過 Q作對稱軸的垂線，垂足為 N,則可證得 PQNAEFE可求得QN, 即可求得Q到對稱軸的距離，則可求得 Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得 Q點坐標； 當BE為對角線時，由B、E的坐標可求得線段BE的中點坐標，設Q (x, y),由P點的橫坐 標則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得 Q點的坐標.【解答】解：(1)二,拋物線y=-x2+bx+c與x軸分別交于A (

45、-1, 0), B (5, 0)兩點，拋物線解析式為y= - x2+4x+5;(2)AD=5,且 OA=1, .OD=6,且 CD=8,-C (-6, 8),設平移后的點C的對應點為C',則C'點的縱坐標為8,代入拋物線解析式可得8=- x2+4x+5,解得x=1或x=3,.C'點的坐標為(1, 8)或(3, 8),- C (-6, 8),當點C落在拋物線上時，向右平移了 7或9個單位， m的值為7或9;(3) , , y = - x2+4x+5= - (x- 2) 2+9,:拋物線對稱軸為x=2,可設 P （2, t）,由（2）可知E點坐標為（1,8）,當BE為平行四

46、邊形的邊時，連接 BE交對稱軸于點M,過E作EF，x軸于點F,過Q作對則/BEF4 BMP=Z QPN,在4PQN和4EFB中C ZQPN=ZBEF/FNQ=/EFBIpq=be .PQN0 AEFB (AAS),.NQ=BF=OB- OF=5- 1=4,設 Q (x, y),則 QN=|x一 2| , ；|x-2| =4,解得 x=-2 或 x=6,當x= - 2或x=6時，代入拋物線解析式可求得 y=- 7,.Q 點坐標為(-2, -7)或(6, -7);當BE為對角線時，- B （5, 0）, E （1, 8）,線段BE的中點坐標為（3, 4）,則線段PQ的中點坐標為（3, 4）,設 Q

47、 （x, y）,且 P （2, t）,. x+2=3X 2,解得x=4,把x=4代入拋物線解析式可求得 y=5,Q （4, 5）;綜上可知Q點的坐標為（-2, - 7）或（6, - 7）或（4, 5）.【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和 性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識.在（1）注意待定系數(shù)法的應用， 在（2）中求得平移后C點的對應點的坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出Q點的位置是解 題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中.6. （2017砒陽）如圖1,在平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線y=.*x2-噌 x+西

48、 .L占U與x軸正半軸交于點 A,與y軸交于點B,連接AB,點M, N分別是OA, AB的中點，RtACDE RtAABO,且 CDE始終保持邊ED經(jīng)過點M,邊CD經(jīng)過點N,邊DE與y軸交于點H,邊 CD與y軸交于點G.（1）填空：OA的長是 8 , / ABO的度數(shù)是 30 度；（2）如圖2,當DE/ AB,連接HN.求證：四邊形AMHN是平行四邊形；判斷點D是否在該拋物線的對稱軸上，并說明理由；(3)如圖3,當邊CD經(jīng)過點。時，(此時點。與點G重合)，過點D作DQ/ OB,交AB延 長線上于點Q,延長ED到點K,使DK=DN,過點K作KU OB,在KI上取一點P,使得/ PDK=45(點P

49、, Q在直線ED的同側(cè))，連接PQ,請直接寫出PQ的長.圖1圉Z圖3【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.【專題】16 :壓軸題.【分析】(1)先求拋物線與兩坐標軸的交點坐標，表示 OA和OB的長，利用正切值可得/ABO=30;(2)根據(jù)三角形的中位線定理證明 HN/ AM,由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 得結(jié)論；如圖1,作垂線段DR,根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)求DR=Z可知：點D的橫坐標為-2,由拋物線的解析式可計算對稱軸是直線：x=-上=-2,所以點D在該拋物線的對稱軸上;2a(3)想辦法求出P、Q的坐標即可作決問題；【解答】解:(1)當x=0時，y=8/3, B (0, 8底)，-OB

50、=8/S,一 一當 y=0 時，y= - -1-x2 -自葭+8百=0,123x2+4x- 96=0,(x-8) (x+12) =0, xi =8, x2= -12, A (8, 0), . OA=8,nA在 Rt AOB 中，tan/ABO染-OB 83 3 ./ABO=3 0,故答案為：8, 30;(2)證明：v DE/ AB,MJAM BH . OM=AM ,.OH=BH, BN=AN,. HN/AM,四邊形AMHN是平行四邊形;點D在該拋物線的對稱軸上,理由是：如圖1,過點D作DR±y軸于R,圖1v HN / OA, ./NHB=/ AOB=90,. DE/ AB, ./DH

51、B=/ OBA=30,v RtA CDE RtAABO, ./HDG=/ OBA=30, ./HGN=2/ HDG=60,丁. / HNG=90 - / HGN=90 - 60 =30°, ./HDN=/ HND,DH=HNOA=4,2RtADHR 中，Dr2dH=X4=2, 點D的橫坐標為-2,;拋物線的對稱軸是直線：x二-二2a 點D在該拋物線的對稱軸上；(3)如圖3中，連接PQ,彳DR! PK于R,在DR上取一點T,使得PT=DT設PR=a v NA=NB, .-，HO=NA=NB /ABO=3 0,圖3丁. / BAO=60 ,.AON是等邊三角形，丁. / NOA=60 =

52、/ ODM+Z OMD,vZ ODM=30 , ./OMD=/ODM=30 , .OM=OD=4,易知 D （ 2, - 2/3）, Q （-2, 1降）,- N （4,8尼）， .DK=DN=2，. DR/ x 軸,/ KDR=/ OMD=30 .RKDK=6, DR=6jl, 2ZPDK=45, ./TDP=/ TPD=15,丁. / PTR=/ TDP+/TPD=30, .TP=TD=2a TR*a, :a+2a=6. a=12 :；- 18,可得 P （ - 2-/ 10-73- 18）,PQ叭詬百1P=12【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、30度角

53、的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識， 解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題， 學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題， 學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.7. （2017?波）如圖，拋物線y4x2x+c與x軸的負半軸交于點A,與y軸交于點B,連 44結(jié)AB,點C （6,空）在拋物線上，直線AC與y軸交于點D.（1）求c的值及直線AC的函數(shù)表達式；（2）點P在x軸正半軸上，點 Q在y軸正半軸上，連結(jié) PQ與直線AC交于點M,連結(jié)MO 并延長交AB于點N,若M為PQ的中點.求證：APMs/XAON；設點M的橫坐標為m,求AN的長（用含

54、m的代數(shù)式表示）.【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.【專題】16 :壓軸題.【分析】（1）把C點坐標代入拋物線解析式可求得 c的值，令y=0可求得A點坐標，利用待 定系數(shù)法可求得直線 AC的函數(shù)表達式；（2）在RtAAOB和RtAAOD中可求得/ OAB=Z OAD,在RtzXOPQ中可求得 MP=MO,可 求得/ MPO=/ MOP=/ AON,則可證得 APMs/XAON;過M作MEx軸于點E,用m可表示出AE和AP,進一步可表示出 AM,利用 APMs/AON可表示出AN.【解答】解：(1)把C點坐標代入拋物線解析式可得孕=9+|+c,解得c=- 3,拋物線解析式為y=lx2+±x

55、-3,44令y=0可得2+乜3=0,解得x=- 4或x=3, 44-A (-4, 0),設直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b (kw0),把A、C坐標代入可得15 ,一，解得lv=6k+b 卜二3直線AC的函數(shù)表達式為yJx+3;tan/OAD4(2).在 RtA AOB中，tan / OAB=-=1,在 RtAOD中,丁. / OAB=/ OAD,.在RtAPOQ中，M為PQ的中點， .OM=MP, ./MOP=/ MPO,且/ MOP=/ AON, ./APM=/AON, .APMs/XAON;如圖，過點 M作MEx軸于點E,則OE=EP丁點M的橫坐標為m,AE=m+4, AP=2m+4, . tan/OAD里，4cos/ EAM=cos/ OAD 5AJfl 5.AM=AE=-,44vAAPMAAON,. AN= 1 -L 21rH>4【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及方程思想等知識.在(1)中注意函數(shù)圖象