2016年?yáng)|城一模數(shù)學(xué)理

1、2016年?yáng)|城一模數(shù)學(xué)理北京市東城區(qū)2015-2016學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)(一)數(shù)學(xué)(理科)學(xué)校班級(jí)姓名考號(hào)本試卷分第I卷和第n卷兩部分，第I卷1至2頁(yè), 第n卷3至5頁(yè)，共150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生 務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié) 束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷(選擇題共40分)一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小 題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)已知復(fù)數(shù)i (1+ai)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為(A) 1(B) 0(C)10 / 173抽樣方法從中抽取容量為人數(shù)分別為(A) 9,18,3( B)10，15,5(C) 10

2、,17,3(D) 9,16,5(4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為(A)1(B) 1(C)2(D) 4(5)在極坐標(biāo)系中，直線sin8s1被曲線1截得的線段長(zhǎng)為(A)2(B) 1(C)程(D)/(6) 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為< 2 4IK1. 1 . I(A) 2(B)應(yīng),(號(hào)側(cè)(Z)(C) 3(D)國(guó)2(7)已知三點(diǎn)P (5, 2)、匕焉和，0)、F2 (6, 0)那么以F，、F2為焦曹且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的短軸長(zhǎng)為(A) 3(B) 6(C) 9(D) 12(8)已知e,e2為平面上的單位向量，e1與e2的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O)B與e2夾角為-.平面區(qū)域D由

3、所有滿足1,面積為(A)232OP ei e2的點(diǎn)P組成)其中0 ,)那么平面區(qū)域D的 0(B)6(C)(D)手:、填空題:第II卷(共110分)本大題共6小題，每小題5分，共30分。,A,B,C是圓周上的三點(diǎn),(9)在(2x力5的展開(kāi)式中，x 4 X答)(10)已知等比數(shù)列 an中，為一.(11)如圖，圓O的半徑為1過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,若CP AC,則 COA ； AP _.(12) 若sin(了 )3,且 (0,R,則sin2的值為 454 1(13)某貨運(yùn)員擬運(yùn)送甲、乙兩種貨物，每件貨物的體積、重量、可獲利潤(rùn)以及運(yùn)輸限制如下表：貨物體積(升/ 件)甲20乙10運(yùn)輸限

4、制110重量(公斤 /件)利潤(rùn)(元/ 件)1082010100在最合理的安排下，獲得的最大利潤(rùn)的值為(14)已知函數(shù)幻, 關(guān)于的不等式/(jc)-/(x0)>c(x-x0) 的 解集為(0.+如其中，1。收)，F(xiàn)為常數(shù).當(dāng)時(shí)的取值范 圍是當(dāng)時(shí)的值是 三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出 文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。(15)(本小題共13分)在4中，8c = 20，JC = 2, 且2(I )求的長(zhǎng)度；(II)若f(x) = sin(2x + C), 求 y = f(x)與直線相鄰交點(diǎn)間的 最小距離.(16)(本小題共14分)已知三棱柱亞- 4B©中,A.,底面AB

5、C 9 ZBAC = 90 9 ALA = I j A8 =也.C 二 2,E、 F分別為棱 cxc、 比的中點(diǎn).（I ）求證 ACLAiB ；（II）求直線中與48所成的角；（IH）若G為線段心的中點(diǎn)，4在平面EFG內(nèi)的射影為H » 求（17）（本小題共13分）現(xiàn)有兩個(gè)班級(jí)，每班各出4名選手進(jìn)行羽毛球的男 單、女單、男女混合雙打（混雙）比賽（注：每名選手 打只打一場(chǎng)比賽）.根據(jù)以往的比賽經(jīng)驗(yàn)，各項(xiàng)目平均 完成比賽所需時(shí)間如圖表所示，現(xiàn)只有一塊比賽場(chǎng)地， 各場(chǎng)比賽的出場(chǎng)順序等可能.比賽項(xiàng)目男單平均比賽 時(shí)間25分鐘女單混雙20分鐘35分鐘（I）求按女單、混雙、男單的順序進(jìn)行比賽的概率

6、；（II）求第三場(chǎng)比賽平均需要等待多久才能開(kāi)始進(jìn)行;（III）若要使所有參加比賽的人等待的總時(shí)間最少，應(yīng)該怎樣安排比賽順序（寫(xiě)出結(jié)論即可）.#/176(18)(本小題共14分)設(shè)函數(shù) f(x) aex x 1 , a R .(I )當(dāng)a 1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(H)當(dāng)x (0,)時(shí)，f(x) 0恒成立，求a的取值范圍； x(田)求證：當(dāng)x (0，)時(shí)，ln x 2(19)(本小題共13分)已知拋物線C：y2 2Px (p 0),焦點(diǎn)F, O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 直線AB (不垂直x軸)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)， 直線OA與OB的斜率之積為p .(I )求拋物線c的方程；(H )若M為線段

7、AB的中點(diǎn)，射線OM交拋物線C于點(diǎn) 、丁 od| 八D，求證：扁2.(20)(本小題共13分) m-1一數(shù)列an中)給7E正整數(shù)m(m 1), V(m)|aa.7E義:1 1數(shù)列an滿足a 1 a (i 1,2,m 1),稱數(shù)列an的前m項(xiàng)單調(diào)不 增.(I)若數(shù)列an通項(xiàng)公式為：an ( 1)n,(n N*),求V(5).(n)若數(shù)列 俎滿足：ai a, am b,(m 1,m N*,a b),求證 V(m)a b的充分必要條件是數(shù)列吟的前m項(xiàng)單調(diào)不增.(田)給定正整數(shù)m (m 1),若數(shù)列值滿足： an 0，(n 1,2,m)且數(shù)列的前m項(xiàng)和m2)求V(m)的最大值 與最小值.(寫(xiě)出答案即可

8、)北京市東城區(qū)2015-2016學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)(一) 數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(理科)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)(1) B(2)A(3)A(4)C (5) D(6)C(7)B (8) D二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)(9) 20( 10) 128 ( 1 1)百(12)鼠(13)32562(14)1,0)2 .注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得 3分，第二個(gè) 空填對(duì)得2分.三、解答題(本大題共6小題，共80分)(15)(本小題共13分)10 / 177解:C 450AB(I)BCAB2cosC cos A B cosAC2 BC2 2AC?B

9、CcosC (2 2)2228 2 cos4&9(n)由解得2x 4 2k3或2x2k7分.3f(x) sin(2x ) T42 ,解得X匕五或X2 k2因?yàn)閤1 x2(k1 k2)當(dāng)k1k2時(shí)取等號(hào),所以 當(dāng)f(x)乎時(shí)，相鄰兩交點(diǎn)間最小的距離為(I(16)(共 14 分)證明因?yàn)槿庵?3分所以因?yàn)樗詙xABC ABC)AA 底面 ABC因?yàn)?aaCab A, 所以 AC平面A1ABR.因?yàn)?A1B 平面 A1ABB1)ACA1B(n)解如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz, 則 Ai 0,0,1 ) B 33,0,0 )1E。，2,2 ,所以 AB .3,0, 1 EF3，1,.)

10、22所以84靠,同氈亙4.'' AB EF 2因?yàn)?00 (A1B,EF)900)所成的所以 直線EF與AB45°（田）解設(shè)G 0,0,1t1 20 25 45 （分鐘）.11 / 1713貝 U GE 0,2,0GF3 /1一,1，一22AH所在直線的向量與平面GEF的法向量平行.設(shè)平面GEF的法向量為,n (x, y,z)因?yàn)閚 GL n GF-2y 0,所以31nx y z 0. 22令 z j3)則 n 1,0, <3.所以AH所在直線的單位向量為e10，f .因?yàn)榭?0,0,1),所以cos AA), e因?yàn)?所0 (AAi,e)HA1A.1 4分（1

11、7）（本小題共13分）解：（I）三場(chǎng)比賽共有A3 6種方式，其中按按女單、混 雙、男單的順序進(jìn)行比賽只有1種，所以按女單、混雙、 男單的順序進(jìn)行比賽的概率為（II ）令A(yù)表示女單比賽、B表示男單比賽、C表 示混雙比賽.按ABC«序進(jìn)行比賽，第三場(chǎng)比賽等待的時(shí)間 是：按ACBI順序進(jìn)行比賽，第三場(chǎng)比賽等待的時(shí)間 是：t2 20 35 55 （分鐘）.按BACm序進(jìn)行比賽，第三場(chǎng)比賽等待的時(shí)間 是：t3 20 25 45 （分鐘）.按BCA«序進(jìn)行比賽，第三場(chǎng)比賽等待的時(shí)間 是：t4 35 25 60 （分鐘）.按CAB順序進(jìn)行比賽，第三場(chǎng)比賽等待的時(shí)間 是：t5 35 20

12、55 （分鐘）.按CBAJ頓序進(jìn)行比賽，第三場(chǎng)比賽等待的時(shí)間 是：to 35 25 60 （分鐘）.且上述六個(gè)事件是等可能事件，每個(gè)事件發(fā)生概率為1,所以平均等待時(shí)間為 645 45 55 55 60 60 16063,11 分（III ）按照比賽時(shí)間從長(zhǎng)到短的順序參加比賽，可使等待的總時(shí)間最少13 分10 / 1723(18)(共 14 分)x,000,f'(x)一0+f(x)0/解：(I )當(dāng) a 1 時(shí))則 f (x) ex x 1) 則 f'(x) ex 1 .令 f'(x) 0,得 x 0.所以 當(dāng)x 0時(shí))f'(x) 0)f(x)在，0上單調(diào)遞減;當(dāng)

13、x 0時(shí))f'(x) 0)h(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當(dāng) x 0 時(shí)f(x)min f(0) 0 .4分(II )因?yàn)?ex 0,所以f(x) aex x 1。恒成立，等價(jià)于a J1恒成立. e設(shè)g(x)滬 x 0,),得 g '(x)xxe (x 1)e x2xx ,ee當(dāng) x 0,)時(shí))g'(x) 0)所以g(x)在0,)上單調(diào)遞減, 所以 x (0,)時(shí))g(x) g(0) 1 .因?yàn)閍a 1,)11分(n)當(dāng) x (0,)時(shí))ine_J '等價(jià)于 ex xe2 1 0 .x 2設(shè) h(x)xex xe2 1)x 0,).求導(dǎo),得 h'(x) e

14、x-e2 2由(I )可知, 所以x (0,)時(shí),(0,x xe，3%1)時(shí))exx 1。恒成立.(0,),有所以h(x) 0 .h(x) h(0) 0 .時(shí)所以h(x)在(0,)上單調(diào)遞增,(0,)因 此 當(dāng)x,e 1 x ln.x 214分(19)(共 13 分) 解：(I)因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)(：,0),設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),直線AB (不垂直x軸)的方程可設(shè)為y k(x 泉(k 0).所以 y； 2Px1(p 0),y22 2Px2.因?yàn)橹本€OA與OB的斜率之積為p)所以世PX1X2盧丫2)2X1X2X1X24 .k(X ：)2pX,消y得

15、k2x2(k2p2p)x其中 (k2p2p)2 k2p2k2 0所以X1X2xik2P 2Px2 "HkC : y2 8x(n)設(shè)M(X0,yo),P(X3,y3)? 因?yàn)?M為線段ab的中點(diǎn),所以 2（為X2）k2P 2P2k22(k2 2)k2y0 k(X0 2)所以直線OD的斜率為V。Xo2kk2 2直線OD的方程為y koPxk2 2代入拋物線c：y2 8x的方程,得X3_2_ 22(k2)k2所以2 (k22).因?yàn)閗2 0ODOMx3-(k2 2) 2Xo13分(20)(共 13分)V(5)=8am2分(H) a2 a1此時(shí)有：充分性：若數(shù)列an的前m項(xiàng)單調(diào)不增，即m-1

16、V(m)aii 1a aai(a a2) (a? a3) (am 1 am)a b.必要性：反證法，若數(shù)列an的前m項(xiàng)不是單調(diào)不增，則存在i(1i m 1)使得arai ,那么:m-1V(m) i 1i-1t 1aiamaai 1ai 1a1a1b aaiai(aiaii 1ai 1aiai 1a i1aaiai)i 1(ai(ai 1i 1ai 1aj a)由于 a 1 ai , a b,a b ai 1ai(a 1 a) a列.a1a時(shí),9分(III )最小最大值為4 m2m2 m4,(a1,a 2ai當(dāng)a22,2.0),4 02時(shí)的最大值：此時(shí)0.此時(shí)an為常10分大值： 此11分a1 a2 m2,(a1,a2,自0).x卜易證，an的值的只有是大小交替出現(xiàn)才能讓V(m)取最大值.不妨設(shè):奇數(shù)時(shí)有：ai 1 a