1單自由度體系的自由振動

1、 1單自由度體系的自由振動一、無阻尼的白由振動：如下圖，以單白由度體系為例，設此梁上的集中質量為m,m,其重量為W =mg,梁由于質量的重力引起的質量處的靜力位移用ys表示，與ys相 應的質量位置稱為質量的靜力平衡位置。 若此質量受到擾動離開了靜力 平衡位置，當擾動除去后，則體系將發(fā)生振動，這樣的振動稱為體系的 白由振動。由于振動的方向與梁軸垂直，故稱為橫向振動。在此，只討 論微小振幅的振動，由振動引起的內力限于材料的彈性極限以內，用以 表示質量運動的方程將為線性微分方程。s=-k(y+ys)I_寫，*匚一二1 1、建立運動方程建立運動方程常用的基本原理是達朗伯原理(亦稱慣性力法或動靜 法)。

2、今考慮在振動過程的某一瞬時t,t,設質量在此瞬時離開其平衡位置的 位移為y,y,取質量為隔離體，則在質量上作用有三種力：質量的重量 W,W, 桿件對質量的彈性恢復力 S S 和慣性力 F(t)F(t)。根據(jù)達朗伯原理，這三個力 應成平衡，即W+S+F(t)W+S+F(t)= = 0 0(1)(1)在彈性體系中，彈性恢復力 S S 為s = -k(y ys)上式中的 K K 為一常數(shù)，稱為剛度系數(shù)，代表簡支梁上使質量在運動 方向產生單位位移時需要加在質量上的沿質量運動方向的集中力的量 值。式中負號表示s的指向和位移的方向相反。k因此，將s=k(y + ys)和 W W = =ky ys代入式(1

3、)1)得-ky-kyF(t)= 0上式表明，如果以靜力平衡位置作為計算位移的起點，則建立體系的運動方程時，可以不考慮重力W W 的影響。這對其他體系的振動(包括受迫振動)也同樣適用。將F(t)=m翌代入式(2)得：dt2d ym一廠ky (t) = 0 dt令。225 (速度)號(加速度)mdtdt22窿則mY+ky(t)= 0可變?yōu)閥+o2y=0(3)(3)dt此為單白由度體系無阻尼白由振動的運動方程，它反映了這種振動的一般規(guī)律。1而 y ys s= =W一 即 W W = =ky ys(2)若采用柔度法建立運動方程(建立位移方程),以靜力平衡位置作為計算位移的起點，則梁在質量m m 處除慣

4、性力F (t) = -mH這個假想的dt外荷載作用外，再無其他外力作用。所以由達朗伯原理可知，梁在集中 質量 m m處任一運動瞬時的位移為y(t)y(t) =F(t)&=F(t)& = =m5m5 即m洛1 1(y )L 0(4)式中5為一常數(shù)，代表簡支梁上集中質量處在質量的運動方向作用 單位荷載時所產生的靜力位移。5稱為結構的柔度系數(shù)，它與剛度系數(shù)k的關系為6 =則(4)式可變?yōu)殪V(Ci2y=0k式中與建立質量動平衡方程所得的結果相同。mm2 2、運動方程的解式(3)(3)為二階常系數(shù)線性微分方程，其通解為y(t) =c1cos ot +c2sin cot(5)取y(t)對時

5、間的一階導數(shù)，則該體系在任一瞬時的速度為gy (t) = v(t) = - c1 sin J ，c2co s，t式中的常數(shù)ci和c2可由初始條件得出。設t=0時，y(0) =yv(0) =v則ci= yc?=火coco代入(5)(5)得Voy(t) = ycos cot+里sin COt(6)(6)y(t)=一與y0sin COt +v0cos CCt( 7)在以上各式中，yo及v各稱為初始位移和初速度。式(6)(6)也可寫成單項式：y(t) = Asin( cot+ 為(8)(8)再將其展開得：(9)(9)y (t) = A sin 4 cos ； A cos ，t sin；比較（6 6）和

6、（9 9）得y= Asin ; = A cos :0A = Jy：+（史）2& =arctan（ -）- Vo式y(tǒng)（t） =Asin（）t+Q+Q 表示一簡諧振動，A A 代表最大的位移，稱為振幅；谷 稱為初相角，最大位移的初相角均決定于質量的初位移及初速度。在簡 諧振動中，位移、速度和加速度等物理量均按正弦或余弦規(guī)律變化，而 正弦或余弦函數(shù)是周期函數(shù)，所以它們都是周期振動，每經歷一定時間, 結構出現(xiàn)前后同一運動狀態(tài)（包括位置、速度等）所需的時間間隔稱為 振動周期，用符號 T T 表示。由式（8 8）可知，在時間由 t t 經過T =以后，該式變?yōu)?2二y（t） = Asin戶.（t

7、,）, ； = Asin（ ,，t，）即在時間由 t t 經過T=后，結構出現(xiàn)前后相同的運動狀態(tài)，故周期TCO為T 單位為秒。稱為圓頻率，也為白振頻率。此為單白由度體系無阻尼白由振動時白振頻率的計算公式。由上式可以看出，白振頻率只與反映結構固有屬性的結構剛度和質量有關，而與外 界引起白由振動的初始條件無關，所以也常將白振頻率稱為固有頻率。結構在振動過程中的許多動力特性， 都與反映結構固有屬性的白振頻率令f =1 , f為頻率。則與=2江f ,缶有關。如果單白由度體系上的質量 m m 維持不變，但增加體系的剛度，則 體系的白振頻率將增大；相反，如果體系的剛度維持不變，而是增加體 系的質量，則體系

8、的白振頻率將減小。在解決實際結構振動問題時，可 以根據(jù)此規(guī)律，通過調整結構的白振頻率，達到調整結構動力反應的目 的。例題1 1、圖示一等截面簡支梁，截面抗彎剛度為EI,跨度為l ,在梁的跨度 中點有一集中質量 m,m,如果忽略梁本身的質量，試求梁的白振周期 T T 和 白振頻率與。解：對于簡支梁，在集中質量 m m 處施加單位力，即可求出柔度系數(shù):T = 2， Jm= 2-.48EI148 EIml32 2、圖示一等截面豎直懸臂桿，長度為l ,截面面積為A，慣性矩為I ,彈性模量為E，桿端重物重為W ,設桿件本身質量可以忽略不計，試 分別求水平振動和豎向振動時的白振周期。W解：水平振動時柔度系

9、數(shù)為5=L二T =2兀=2兀J3EIV3EIg豎向振動時Tl3d =48 EIWl-EA二、有阻尼的白由振動:質量的白由振動實際上不可能延續(xù)無限長時間，因為質量的振動一般受到阻尼的影響。阻尼可來白不同方面，如介質(空氣、液體等)的 阻力、支承部分的摩擦等，此處考慮的是一種粘滯阻尼，其與速度成正 比，用R表示。式中 c c 稱為阻尼系數(shù)，負號表示阻力R的方向與速度 V V 的方向相反。1 1、建立運動方程：考慮阻尼時，在質量上有三種力作用：桿件對質量的彈性恢復力S、阻力R和慣性力F( t)。根據(jù)達朗伯原理，得S R F (t) = 0g薛一ky cymy = 0-2 c- k即y -y _ y

10、=02mm入-Cr一，一令一=“(阻尼比)且2mJ2貝y 2 ，y. ，y=0此為二階常系數(shù)齊次線性微分方程2 2、運動方程的解：(10)(10)T二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程為22r 2 r =0其根為1 , 2= - -2 _ 1 =0由于根號里的值可能為正、負或零，所以應分三種情況(即 ： 1 1 , ,1 1，匚=1 1 ) )來討論方程的解。(1)(1) 當，1 1 時，滿足這一條件的阻尼，稱為小阻尼情況。這時特征方程的根1、2是一對復根，即r1,2=-知coJ21=-膈土貝 U U (10)(10)式的通解為：y(t) = e-應(B1sin缶/t + B2cos切,t)(

11、11)(11)其中 . / ：；頊1 _2g常數(shù)B1及B2可由初始條件決定。設t =0 0 時，y(o)=y(o)=yo, , y(y(。)=v0則(11)(11)式可寫成：y(t) =e-( - sin co,t + ycos co/t)(12)(12)亦可寫為.t/y (t) = e B sin( co t + & )(13)(13)B B 及/同上方法可求得。由式(13)(13)可知：有阻尼白由振動的圓頻率為 , =1-1-2 2振動的周期為T/一般說建筑結構的匕值很小，約在 0.010.10.010.1 之間，它對白振頻率的 影響不大，因此求白振頻率時可略去阻尼的影響，近似取您

12、其次有阻尼白由振動的振幅為Be-知，是按指數(shù)e-窈的規(guī)律衰減。 阻尼振動雖然大體上具有周期振動的形狀，但并不屬于周期振動。因為 振幅隨著時間的增加在不斷減小，但在每一周期 T T 內的振動圖形又接近 于簡諧振動的形式。因此，阻尼振動可被認為是振幅不斷減小的簡諧振 動。(2)(2) 當匚11 時，滿足這一條件的阻尼，稱為大阻尼情況。這時特 征方程的根1、2是兩個不相等的實根，即：1,2 -.2-1貝 U U (10)(10)式的通解為：(.笠、了)t(方.八、?)ty (t) = c1ec2e這時的解答只包含指數(shù)函數(shù)，而不再包含簡諧振動的因子sin( c/t + / ),所以振動將隨著 t t

13、的增大而單調下降，運動已沒有振動性， 只是一種衰減運動。(3)(3) 當匕=1=1 時，滿足這一條件的阻尼，稱為臨界阻尼情況。這時 方程的通解為ty(t) = (cC2t)e與 1 1 的情況相同，體系已沒有振動性，只是一種衰減運動。由上述情況可知，當阻尼系數(shù)由小逐漸增大時，體系從衰減振動的 情況轉變?yōu)椴话l(fā)生振動的純衰減運動，而其過渡的臨界條件即為2二2二c=1,這時的阻尼系數(shù)c稱為臨界阻尼系數(shù)，用Cc表示，即2m c c% =2m相應地有匕= =一2m , ccc即阻尼比匕為阻尼系數(shù) c c 與臨界阻尼系數(shù)cc的比值。對于大多數(shù)在空氣中振動的結構來說，一般都屬于小阻尼的范圍，以后只限于討論這

14、種情況的振動。 2 2 單自由度體系的受迫振動一、無阻尼的受迫振動：1 1、建立運動方程：-2P(t)ky m y + P(t) = 0即y+缶V =m2 2、運動方程的解：此方程為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，它的解由齊次通解yi(t) = 0和特解y2(t) = 0兩部分相加而成,即y(t) = yi(t) y2(t)齊次通解為yi(t) = ycos t也sin t特解為y2(t)=上P(E)sin (t E)dE此為杜哈梅積分m，二、有阻尼的受迫振動：1 1、建立運動方程：在有阻尼的受迫振動過程中，質量上有四種力作用：彈性恢復力 慣性力F(t)F(t)、阻尼R、荷載 P(t)P(t)。

15、據(jù)達朗伯原理，其運動方程為:2P(t) my _ cy _ ky十P(t)=0即y+2_(oy +(c y =m2 2、運動方程的解：由齊次通解yt) = 0和特解y2=0兩部分相加而成，即y(t) = yi(t) y2(t)y2(t) = -7 0P(.)e- sin t一)d . m 三、由基礎運動引起的受迫振動：當發(fā)生地震時，地面運動將引起結構物的受迫振動。圖示為由于基礎水平運動引起的單質點體系xt)+x(t)某一時刻的變形情況。以Xg(t )表示基礎的位移；mmX(t)X(t)表示質量 m m 對基礎的相對位移；質量 m m 的總位移為Xg(t)+x(t)l ,則作用于質量 m m 上的慣性力為F=-m卜+京，。若考慮阻尼的|xg|x(t)| 影響，則根據(jù)達朗伯原理，作用于質量上的彈性恢復力 s s、慣性力 F(t)F(t)、