例說圓錐曲線中證明(求)直線過定點的問題

1、對圓錐曲線中證明（求）直線過定點的問題探討時間：2021.03.04創(chuàng)作：歐陽地漆紹杰在圓錐曲線中直線與圓錐曲線相結(jié)合的問 題是較為復(fù)雜的問題，其中有一類問題是證明 （求）直線過一定點，對于這一類問題如何去 思考呢？它們的共同的解題思路是怎樣的呢？ 下面讓我們一起來探討一下。既然直線過一定點，說明此直線的斜率是 不定的，這使我們聯(lián)想到過定點的直線系方 程，過一定點Pg*。）的直線系方程可以寫成 的y-y（）=k（X-x（） 9那么我們先可寫出直線的 方程，再根據(jù)方程判斷直線過哪一個定點。下 面通過具體例子來說明。例1：已知拋物線）'=2刃（卩0）上有兩動點及一個定點M（心）"

2、，F(xiàn)為拋物線的焦點，且丨AF | ,| MF | ,| BF |成等差數(shù)列。（1）求證線段M的垂直平分線經(jīng)過一定點 0（無 + ,0）；（2）若 | MF | =4,| O0 | =6（。為坐標(biāo)原點），求此拋物線的方程。分析：(1 )設(shè)心小),叫2，兒)，/ | AFI ,丨MF | ,| BF |成等差數(shù)列，結(jié)合定義ppPXi 4F X-)H = 2(H ) Xy + X-)= X.得1 22 2 I ° 2-°,由此可設(shè)弦 AB 的中點坐標(biāo)為此上)。2心=召”+兒 b , 弦A3的中垂線方程為：y-b = - (x-x=> y = - (x-x)-p)PP,故弦A

3、B的中垂線過定點("+%0)。(2)略。r_£=i例2：在雙曲線12 13 的一支上有不同的 三點 AC%)，B(爐,6), C(x2,y2)與焦點 F(0,5)的距 離成等差數(shù)列。(1)求必+力的值。(2)證 明線段AC的垂直平分線經(jīng)過一定點，并求該 定點的坐標(biāo)。分析：(1) V | AF I , BF 9 I CF |成等差數(shù)列，則結(jié)合定義得ey -a + ey2 - a = 2(6e-a) => y + y2 = 12（2）由此，可設(shè)弦AC的中點坐標(biāo)為（6）由 斤 彳疋 丘 _必一兒_123+勺）_ 12% _2% 邁_石一1乜_石一0«_冇一13（”

4、+兒）一而_帀弦AC的中垂線方程為：25故弦AB的中垂線過定點©R。例3:過拋物線/上的定點QU）作兩條互相垂直的弦C、CE,求證直線AB過定點。分析： 設(shè) 人（召,”）,3（%2，兀），貝q=2f 2 =2皿丙丄面n頁亦=0=>3_1）（心_1） + （牙_1）（兒_1）= 0=>3 -1）（® 1） + （彳-l）（x；-l） = O=>（x,-l）（x2 -1） + （召-l）（x2 - 1）（旺 + l）（x2 + 1）= =>（X）- l）（x2 一 1）3 + X, + 2） = 0因為點A、 與點C不重合，所以（x,-l）（x2-l）

5、= 0 古攵鬲 +W + 2 = 07?. Vi VS>1 ->?2= V 二> % =一二=召 +兀西一廠,直線AB的方程為:y_x = （西+兀2）（兀_坷）所以直線A3過定點（72）。評析：直線方程雖然被我們“強行”寫了出 來，但由此方程我們根本看不出直線過哪一定 點，為此我們要利用題中所給的其它條件對此“強行”寫出的直線方程進(jìn)行變形，才可以達(dá) 到我們的目的。例4: A"是拋物線）2嚴(yán)（0）上的兩點，滿足04丄OB （。為坐標(biāo)原點）,求證：（1）A"兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別是定值；（2）直線汕經(jīng)過一定點。分析：（1 ）設(shè),則>7 = 2

6、“X, y22 = 2/?x2=>（>',y2）2 = 4/rx,x2又由更丄 OB>OAOB = 0>xx2+yiy2=0=4幾 yiy2=-4p-/>2 一）22= 2/?（x,-x2）=> Kab =-p -（2）加一吃 “ +力直 線 AB 的 方 程 為2/?2p 2pxxy _ 牙=（牙一召）=> y =X + 開>i +力兒+ y2 y, +力= 王“心2內(nèi)+兒王（_2p）X +兒X+'2 X+力,故直線過定點(2?0)。評析：和上題一樣我們要利用題中所給的其它 條件對此“強行”寫出的直線方程進(jìn)行變形， 才可以達(dá)到我

7、們的目的。例5:設(shè)拋物線b=2"(p>0)的焦點為F, 經(jīng)過點F的直線交拋物線于兩點，點C在 拋物線的準(zhǔn)線上，且BC / x軸，證明直線AC 經(jīng)過原點。分析：設(shè)心"(“2),則C(2，>，2),直 mu尤一鬲 v +£線AC的方程為'* 2.(y- y. )(x. +) = 0要證直線AC經(jīng)過原點，只需證*'* 2評析：此處不是由方程直接看出直線經(jīng)過原 點，而是轉(zhuǎn)化為證常數(shù)項為0,這樣就避免了 直接證帶來的困難。x2 y2例6:已知橢圓CV+F = ,(>>0)的離心率為2且在x軸上的頂點分別為兒(-2,0)心2,0)。(1

8、)求橢圓C的方程；(2)若直線/ (/ 為大于2的一個定值)與x軸交于點T, P為I 上的異于丁的任意一點，直線顯4分別與橢 圓C交于兩點心，證明直線經(jīng)過一個定 點。分析："計孕"2.”血=】故橢圓c的方程為亍' =1(2)設(shè)”(心比)"3，)，2),直線AM的斜率為人,則直線A"的方程為y#("2)fy = (x + 2)2i+ ¥ =消去y得(4好+1)%2 +16斤x+ 16斥-4 = 0判嚴(yán)好+2別式A = 16>0,解得“ 4斤+1銘(_8葉+2 曲硏所以點M的坐標(biāo)為妳+ 1 硏T,同理可設(shè)直線AM的斜率為忍，則直線AM 的方程為尸心匕-2),所以點N的坐標(biāo)為 嚴(yán);-2 -4心4疋+4疋+1由于直線與直線舛M的交點P（，兒）在直 線/上，又兒=皿+ 2），兒=£（/-2）所以熱（+ 2）=人（_2）亠斗學(xué)=_?«+妬221 = 21221 由兩點式得直線的方程為尤-兀吃-召，令=0得y, - y2_4將代入得"7,故直線伽經(jīng)過定點4（,0）/O評析：此題的計算量相當(dāng)大，在解題思路上它 和前幾題的解法既有相同