三角形的所有性質(zhì)

1、三角形的性質(zhì)1.三角形的任何兩邊的和一定大于第三邊，由此亦可證明得三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊。2. 三角形內(nèi)角和等于 180 度3. 等腰三角形的頂角平分線，底邊的中線，底邊的高重合，即三線合一。4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方-勾股定理。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。5. 三角形共有六心：三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、歐拉線內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心。性質(zhì)：到三邊距離相等。外心：三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心。性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。重心：三條中線的交點(diǎn)。性質(zhì)：三條中線的三等分點(diǎn)，至 V 頂點(diǎn)距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2 倍。垂心

2、：三條高所在直線的交點(diǎn)。性質(zhì)：此點(diǎn)分每條高線的兩部分乘積旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)性質(zhì)：到三邊的距離相等。界心：經(jīng)過(guò)三角形一頂點(diǎn)的把三角形周長(zhǎng)分成1: 1 的直線與三角形一邊的交點(diǎn)。性質(zhì)：三角形共有 3 個(gè)界心，三個(gè)界心分別與其對(duì)應(yīng)的三角形頂點(diǎn)相連而成的三條直線交于一點(diǎn)。歐拉線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。6. 三角形的外角(三角形內(nèi)角的一邊與其另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角)等于與其不相鄰的內(nèi)角之和。7. 一個(gè)三角形最少有 2 個(gè)銳角。8. 三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的

3、頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線9. 等腰三角形中，等腰三角形頂角的平分線平分底邊并垂直于底邊。10. 勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c 有下面關(guān)系那么 a?+b?=c?那么這個(gè)三角形就一定是直角三角形。三角形的邊角之間的關(guān)系(1) 三角形三內(nèi)角和等于 180。；(2) 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；(3) 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；(4) 三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；(5)在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊(6) 三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線 (7)三角形的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，

4、它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.(8)三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.(9)三角形的三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2 倍。(10) 三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。(11)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的 1/2。注意：三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部.鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。(直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊中點(diǎn)。)銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。特殊三角形1. 相似三角形(1) 形狀相同但大小不同的兩個(gè)三角形叫做相似

5、三角形(2) 相似三角形性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方相似三角形對(duì)應(yīng)線段(角平分線、中線、高)相等(3) 相似三角形的判定【1】三邊對(duì)應(yīng)成比例則這兩個(gè)三角形相似【2】?jī)蛇厡?duì)應(yīng)成比例及其夾角相等，則兩三角形相似【3】?jī)山菍?duì)應(yīng)相等則兩三角形相似2. 全等三角形(1)能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形(2) 全等三角形的性質(zhì)。全等三角形對(duì)應(yīng)角(邊)相等。全等三角形的對(duì)應(yīng)線段(角平分線、中線、高)相等、周長(zhǎng)相等、面積相等。(3) 全等三角形的判定1SAS ASAAAS SSSHL (RT 三角形)3. 等腰三

6、角形等腰三角形的性質(zhì)：(1) 兩底角相等；(2) 頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合；等腰三角形的判定：(1) 等角對(duì)等邊；(2) 兩底角相等；4. 等邊三角形等邊三角形的性質(zhì)：(1) 頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合；(2) 等邊三角形的各角都相等，并且都等于 60。等邊三角形的判定：(1) 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；(2)有一個(gè)角等于 60。的等腰三角形是等邊三角形.三角形的面積公式(1) SA=1/2*ah (a 是三角形的底，h 是底所對(duì)應(yīng)的高)(2) SA=1/2*ac*sinB = 1/2*bc*sinA = 1/2*ab*sinC (三個(gè)角為

7、/ AZ BZ C,對(duì)邊分別為 a,b,c,參見(jiàn)三角函數(shù))(3)SA=A/s* (s-a) * (s-b) * ( s-c) 【s=1/2(a+b+c)】(4) SA=abc/ (4R)【R 是外接圓半徑】(5) SA=1/2*(a+b+c)*r【r 是內(nèi)切圓半徑】(6) | a b 1 |SM1/2 * | c d 1 |I e f 1 |【|a b 1 | c d 1 |為三階行列式，此三角形 ABC 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) A(a,b),B(c,d), C(e,f),這里 ABC| e f 1 |選區(qū)取最好按逆時(shí)針順序從右上角開(kāi)始取，因?yàn)檫@樣取得出的結(jié)果一般都為正值，如果不按這個(gè)規(guī)則取，可能

8、會(huì)得到負(fù)值，但不要緊，只要取絕對(duì)值就可以了，不會(huì)影響三角形面積的大?。　可钪械亩切挝锲酚陚?、帽子、彩旗、燈罩、風(fēng)帆、小亭子、雪山、樓頂、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、熱帶魚(yú)的邊緣 線、蝴蝶翅膀、火箭、竹筍、寶塔、金字塔、三角內(nèi)褲、機(jī)器上用的三角鐵、某些路標(biāo)、長(zhǎng)江三角洲、斜拉 橋等。三角形全等的條件注意:只有三個(gè)角相等無(wú)法推出兩個(gè)三角形全等(1)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相等，簡(jiǎn)寫(xiě)為 “SSS(2)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA(3)兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS(4)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS(5)斜邊和一

9、條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊也相等。三角形中的線段中線：頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線，平分三角形。高：頂點(diǎn)到對(duì)邊垂足的連線。角平分線：頂點(diǎn)到兩邊距離相等的點(diǎn)所構(gòu)成的直線。中位線：任意兩邊中點(diǎn)的連線。三角形相關(guān)定理重心定理三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2 倍.上述交點(diǎn)叫做三角形的重心 .外心定理三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三條高交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的垂心.內(nèi)心定理三角形的三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.旁心定理三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的

10、外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個(gè)旁心.三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心稱(chēng)為三角形的五心.它們都是三角形的重要相關(guān)點(diǎn).中位線定理三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.三邊關(guān)系定理三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.勾股定理在 Rt 三角形 ABC 中，AV 9 腹，貝 UAB AB+ACAC=BCBCA 90 度，貝 UAB AB+ACACBCBC梅涅勞斯定理梅涅勞斯(Menelaus)定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與MBC 的三邊AB、BC、CA 或其延長(zhǎng)線交于 F、D、E 點(diǎn)，那么(AF/FB) X (BD/D

11、C) X (CE/EA)=1證明：過(guò)點(diǎn) A 作 AG II BC 交 DF 的延長(zhǎng)線于 G,貝 U AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG三式相乘得： AF/FBXBD/DCX CE/EA=AG/BDX BD/DCX DC/AG=1它的逆定理也成立：若有三點(diǎn) F、E 分別在的邊 AB、BG CA 或其延長(zhǎng)線上，且滿足(AF/FB) X (BD/DC) X (CE/EA)=1 則 F、D、E 三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。塞瓦定理設(shè) O 是 ZABC 內(nèi)任意一點(diǎn)，AO、BO、CO 分別交對(duì)邊于 D、E、F,貝 U BD/DC*CE/EA*AF/FB=1證法簡(jiǎn)介(I)本題可利用梅涅勞斯定理證明： ADC 被直線 BOE 所截， CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 而由 AABD 被直線 COF 所截，BC/CD*DO/OA*AF/BF=1 2O:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1(n)也可以利用面積關(guān)系證明. . BD/DC=gBD/SAACD=$SBOD/SCOD=(gBD-SABOD)/(SMCD-玉 COD)=*OB/SAAOC 同理 CE/EA=BOC/ SAOB AF/FB=gOC/UBOC30)顧得