DCT變換與KLT變換在圖像壓縮中的應(yīng)用

1、DCT變換與KLT變換在圖像壓縮中的應(yīng)用 專業(yè)：電子與通信工程 學(xué)號：16213026 16213024 姓名： 目錄1 報告簡介12 算法原理12.1 DCT算法原理12.2 KLT算法原理33 仿真分析53.1 DCT仿真分析53.2 KLT仿真分析75 總結(jié)8參考文獻9附錄：MATLAB代碼101DCT變換與KLT變換在圖像壓縮中的應(yīng)用1 報告簡介隨著數(shù)據(jù)化時代的開啟，圖像壓縮技術(shù)越來越成熟并且應(yīng)用越來越廣泛，本文在研究近年來圖像壓縮一般方法的基礎(chǔ)上，介紹了基于DCT變換的圖像壓縮的基本原理及其實現(xiàn)步驟，以及擴展研究了KL變換的圖像壓縮方法，并使用MATLAB,針對同一幅原始圖像進行不同

2、方法的壓縮比較，給出了實驗仿真結(jié)果。本論文首先提出了用MATLAB來實現(xiàn)DCT變換的數(shù)字圖像壓縮技術(shù), 方法簡單,快速,且誤差小。然后介紹了KLT圖像壓縮編碼的具體過程和方法。最后分析了圖像經(jīng)過2種壓縮方法時，圖像質(zhì)量的變化情況。2 算法原理2.1 DCT算法原理DCT變換利用傅立葉變換的性質(zhì)。采用圖像邊界褶翻將像變換為偶函數(shù)形式，然后對圖像進行二維傅立葉變換，變換后僅包含余弦項，所以稱之為離散余弦變換。DCT編碼屬于正交變換編碼方式，用于去除圖像數(shù)據(jù)的空間冗余。變換編碼就是將圖像光強矩陣(時域信號)變換到系數(shù)空間(頻域信號)上進行處理的方法。在空間上具有強相關(guān)的信號，反映在頻域上是在某些特定

3、的區(qū)域內(nèi)能量常常被集中在一起，或者是系數(shù)矩陣的分布具有某些規(guī)律。我們可以利用這些規(guī)律在頻域上減少量化比特數(shù)，達到壓縮的目的。圖像經(jīng)DCT變換以后，DCT系數(shù)之間的相關(guān)性就會變小。而且大部分能量集中在少數(shù)的系數(shù)上，因此，DCT變換在圖像壓縮中非常有用，是有損圖像壓縮國際標(biāo)準(zhǔn)JPEG的核心。從原理上講可以對整幅圖像進行DCT變換，但由于圖像各部位上細節(jié)的豐富程度不同，這種整體處理的方式效果不好。為此，發(fā)送者首先將輸入圖像分解為或塊，然后再對每個圖像塊進行二維DCT變換，接著再對DCT系數(shù)進行量化、編碼和傳輸；接收者通過對量化的DCT系數(shù)進行解碼，并對每個圖像塊進行的二維DCT反變換。最后將操作完成

4、后所有的塊拼接起來構(gòu)成一幅單一的圖像。對于一般的圖像而言，大多數(shù)DCT系數(shù)值都接近于0，所以去掉這些系數(shù)不會對重建圖像的質(zhì)量產(chǎn)生較大影響。因此，利用DCT進行圖像壓縮確實可以節(jié)約大量的存儲空間?；贒CT的JPEG圖像壓縮編碼算法原理可用圖1表示：構(gòu)造N*N塊量化器正向DCT熵編碼壓縮圖像原圖像熵解碼逆向DTC量化器構(gòu)造N*N塊壓縮圖像重構(gòu)圖像（a）編碼器（b）解碼器圖1 DCT算法原理框圖在編碼過程中，首先將輸入圖像顏色空間轉(zhuǎn)換后分解為8×8大小的數(shù)據(jù)塊，然后用正向二維DCT把每個塊轉(zhuǎn)變成64個DCT系數(shù)值，其中1個數(shù)值是直流(DC)系數(shù)，即8×8空域圖像子塊的平均值，其

5、余的63個是交流(AC)系數(shù)，接下來對DCT系數(shù)進行量化，量化過程實際上就是對 DCT 系數(shù)的一個優(yōu)化過程，它是利用了人眼對高頻部分不敏感的特性來實現(xiàn)數(shù)據(jù)的大幅簡化。量化過程實際上是簡單地把頻率領(lǐng)域上每個成份，除以一個對于該成份的常數(shù)，且接著四舍五入取最接近的整數(shù)。這是整個過程中的主要有損運算。量化是圖像質(zhì)量下降的最主要原因。量化后的數(shù)據(jù)，有一個很大的特點，就是直流分量相對于交流分量來說要大，而且交流分量中含有大量的0。這樣，對這個量化后的數(shù)據(jù)如何來進行簡化，從而再更大程度地進行壓縮呢。將量化后的系數(shù)進行“Z”字形編排，這樣做的特點就是會連續(xù)出現(xiàn)多個0，即充分利用相鄰兩圖像塊的特性，來再次簡化

6、數(shù)據(jù)，從而再更大程度地進行壓縮。最后將變換得到的量化的DCT系數(shù)進行編碼和傳送，這樣就完成了圖像的壓縮過程。在解碼過程中，形成壓縮后的圖像格式，先對已編碼的量子化的DCT系數(shù)進行解碼，然后求逆量化并把DCT系數(shù)轉(zhuǎn)化為8×8樣本像塊(使用二維DCT反變換)，最后將操作完成后的塊組合成一個單一的圖像。這樣就完成了圖像的解壓過程。一個塊的二維DCT的定義如下： （1）對應(yīng)的塊的二維IDCT則為： （2）式中，空域的、，頻域的、取值集合均為，其中： （3）將離散余弦變換變換寫為矩陣形式為： （4） （5）其中，為正交變換矩陣，為原圖像塊，為變換域圖像塊。2.2 KLT算法原理KLT變換又稱H

7、otelling變換，特征向量變換或主分量方法。KL變換是遙感圖像增強和信息提取中用得最多的線性變換，是對原波段圖像進行波譜信息的線性投影變換，在盡可能不減少信息量的前提下，將原圖像的高維多光譜空間的像元亮度值投影到新的低維空間，減少特征空間維數(shù)，達到數(shù)據(jù)壓縮、提高信噪比、提取相關(guān)信息、降維處理和提取原圖像特征信息的目的，并能有效地提取影像信息。它可使原來多波段圖像經(jīng)變換后提供出一組不相關(guān)的圖像變量，最前面的主分量具有較大的方差，包含了原始影像的主要信息，所以要集中表達信息，突出圖像的某些細部特征，可采用主分量變換來完成。KL變換是圖像壓縮中的一種最優(yōu)正交變換。KLT的突出優(yōu)點是去相關(guān)性好，它

8、根據(jù)具體的圖像統(tǒng)計特性來決定它的變換矩陣，對圖像有最好的匹配效果，能將信號在變換域的相關(guān)性全部解除，是最小均方誤差下的最佳變換?；謴?fù)圖像KLT變換量化區(qū)域抽樣哈弗曼編碼KLT逆變換量化恢復(fù)抽樣恢復(fù)哈弗曼譯碼原圖像KLT原理框圖可表示為：圖2 KLT算法原理框圖KLT變換就是對8x8的圖像矩陣求自協(xié)方差矩陣，對自協(xié)方差矩陣做特征值分解，得到由特征值從小到大排列的對角矩陣，和由特征向量組成的矩陣，特征矩陣與圖像矩陣做乘法，稱為正交變換，即KL變換，的到的新的矩陣每一行稱為一個新的變量，其中第一行幾乎包含了總方差以上的信息，其余行包含的信息依次減少，新矩陣的個元素之間是不相關(guān)的，因而KL變換去掉了變

9、量之間的相關(guān)性。KLT是對向量做的一個正交變換，目的是變換到后去除數(shù)據(jù)相關(guān)性。其中，是特征向量組成的矩陣，滿足，當(dāng)都是實數(shù)時，是正交矩陣。用表示向量的平均值，的協(xié)方差矩陣記為，通過變換，得到： （6）寫成矩陣形式： （6）由此可見，做了KLT變換之后呢，成為了對角陣，也就是對于任意，有，當(dāng)有，因此利用KLT去除了數(shù)據(jù)相關(guān)性。而且，的方差與協(xié)方差矩陣的第個特征值相等即。3 仿真分析利用MATLAB對算法進行仿真分析，測試環(huán)境為：操作系統(tǒng)為Win7，CPU為i5-3210M，內(nèi)存為4GB，使用的MATLAB版本為R2012b。利用MATLAB產(chǎn)生仿真圖形界面如圖3所示。圖3 DCT和KLT仿真圖形

10、界面設(shè)計3.1 DCT仿真分析輸入一幅圖像，通過改變DCT量化值進行圖像壓縮，同時，利用相關(guān)參數(shù)對圖像質(zhì)量進行對比分析，圖4為經(jīng)過DCT壓縮的效果對比圖。 （a）原始圖像 （b）量化程度為16 （c）量化程度為32 （b）量化程度為64圖3 運用 DCT變化進行圖像壓縮效果對比圖通過肉眼觀察，可以發(fā)現(xiàn)量化程度越大圖像越清晰，反之，越模糊，細節(jié)信息越差。采用不同的量化程度可以改變圖像的清晰度及文件的大小，本文將利用圖像的相關(guān)性能參數(shù)對壓縮圖像進行比較。圖像的方差、平均梯度、信息熵及對比度與圖像質(zhì)量正相關(guān)。圖像方差越大，表明圖像灰度層次越豐富；平均梯度越大，圖像層次越多；信息熵越大，表明圖像的信息

11、量越大。通過表1，可以清晰地看出量化程度越大，得到的壓縮圖像性能越好，相對的圖像大小也增大，但原圖相比，圖像性能變化不明顯，但壓縮效果明顯。表1 DCT變換得到壓縮圖像性能參數(shù)比較方差平均梯度信息熵（bit）文件大?。↘B）圖3（a）1.9545e+035.43047.177126.4圖3（b）1.8785e+033.44707.14129.82圖3（c）1.9011e+034.10217.153812圖3（d）1.9167e+034.38527.155812.73.2 KLT仿真分析利用KLT算法對圖4（a）圖進行圖像壓縮得到圖5。 （a）量化程度為16 （b）量化程度為32 （c）量化程度

12、為32 （b）量化程度為64圖4運用 KLT變化進行圖像壓縮效果對比圖從圖像的方差、信息熵及平均梯度對圖像性能進行分析，得到表2。表2 KLT變換得到壓縮圖像性能參數(shù)比較方差平均梯度信息熵（bit）文件大?。↘B）圖3（a）1.9545e+035.43047.177126.4圖4（a）1.8484e+032.88657.12269.21圖4（b）1.8759e+033.68477.140411.4圖4（c）1.9031e+034.32257.156112.8圖4（d）1.9212e+034.45887.156312.8由表2可以得到KLT變換可以對圖像進行壓縮，并且采用相同的量化程度，DCT比

13、KLT變化效果較好。5 總結(jié)本文敘述的圖像壓縮編碼算法，DCT是正交變換，它可以將8*8圖像的空間表達式轉(zhuǎn)換為頻率域，只需要用少量的數(shù)據(jù)點表示圖像；DCT產(chǎn)生的系數(shù)很容易被量化，因此能獲得好的塊壓縮；DCT算法的性能很好，它有快速算法，因此它在軟件中容易實現(xiàn)；而且DCT算法是對稱的，所以利用逆DCT算法可以用來解壓縮圖像。由實驗仿真結(jié)果可知，當(dāng)圖像壓縮比增大時，也即壓縮效率減小時，圖像的質(zhì)量也將降低，人們可以根據(jù)需要的圖像的質(zhì)量來規(guī)定壓縮比的大小。圖像經(jīng)過不同的壓縮比后，圖像的質(zhì)量變化的同時，圖像的信噪比也跟著變化。壓縮比增大時，則在信道傳輸?shù)臅r候丟失的信息就越多，這樣使得信號與噪聲的比值變小

14、。利用DCT變換進行圖像壓縮可以節(jié)約大量的存儲空間。壓縮應(yīng)該在最合理地近似原圖像的情況下使用最少的系數(shù)。由于之前存在對KLT變換的誤解，在進理論補充后，發(fā)現(xiàn)該方法并不能全部消除變換后系數(shù)間的相關(guān)性，各數(shù)據(jù)塊之間相關(guān)性沒有消除，數(shù)據(jù)塊也可能存在極弱的相關(guān)性。由于水平有限，并不能解決，即使如此，該方法應(yīng)用于圖像的壓縮編碼中效果也極其明顯。KLT沒有快速算法，因此對信息量大的圖像編碼速度比較慢，但在此次試驗中用的是較小的圖像，所以處理速度效果不明顯。參考文獻1N Ahmed，T Natarajan，K.T.Rao Discrete cosine transformJIEEE TranOn Compu

15、ters, 1974, C-23: 90-93 2 全子一 圖像信源壓縮編碼及信道傳輸理論與新技術(shù)M 北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社， 20063 何小海，主編數(shù)字圖像通信及其應(yīng)用M成都:四川大學(xué)出版社，2006 4 羅開仲，黃士坦，楊華民DCT算法及其與小波編碼在圖像處理中的比較J 計算機技術(shù) 與發(fā)展，2006，16(9) 5 Xiong Z，Orchard M，Guleryuz OA DCT-based embedded image coder JIEEE Signal Processing Letters，1996，11(3):289-290 6Shaorong Chang，Lawrence

16、Carin，A modified SPIHT algorithm for image coding with a joint MSE and classification distortion measure J. IEEE Transactions on Image Processing， 2006， 15(3): 713-725 附錄：MATLAB代碼%主程序clc;clearI=imread('football.jpg');clf reset set(gcf,'unit','normalized','position',0.

17、1,0.2,0.45,0.45);%設(shè)置圖形窗大小set(gcf,'defaultuicontrolunits','normalized');set(gcf,'defaultuicontrolfontsize',11);set(gcf,'defaultuicontrolfontname','楷書');set(gcf,'defaultuicontrolhorizontal','left');% set(gcf,'menubar','none'); %刪除

18、圖形窗工具條str='KLT DCT性能比較'set(gcf,'name',str ,'numbertitle','off'); %書寫圖形窗名z=32;str1='量化程度'htext=uicontrol(gcf,'style','text',. %制作靜態(tài)說明文本框 'position',0.1,0.8,0.33,0.1,. 'string',str1,sprintf('%1.4g',z);hslider=uicontrol(gcf

19、,'style','slider',. %創(chuàng)建滑動鍵 'position',0.1,0.6,0.8,0.1,. 'max',64,'min',0,. %設(shè)最大阻尼比為2，最小阻尼比為0.02 'sliderstep',1/64,1/64,.%箭頭操縱滑動步長1%，游標(biāo)滑動步長5% 'Value',32); %缺省取阻尼比等于0.5 set(hslider,'callback',. %操作滑動鍵,引起回調(diào) 'z=get(gcbo,''value&

20、#39;');',. %獲得滑動鍵狀態(tài)值 'callcheck(htext,str1,z)'); %被回調(diào)的函數(shù)文件 hpush=uicontrol(gcf,'Style','push',. %制作與列表框配用的按鍵 'position',0.1,0.05,0.18,0.15,'string','原始圖像');set(hpush,'callback','jpeg_show(I)') hpush=uicontrol(gcf,'Style'

21、,'push',. %制作與列表框配用的按鍵 'position',0.4,0.05,0.18,0.15,'string','KLT');set(hpush,'callback','jpeg_klt(I,z)') hpush=uicontrol(gcf,'Style','push',. %制作與列表框配用的按鍵 'position',0.7,0.05,0.18,0.15,'string','DCT');set(hpush

22、,'callback','jpeg_dct(I,z)') %灰度圖像的klt正反變換 function y=klt(x,mask) IM=x;%讀取圖像 IM=im2uint8(IM); %若圖像尺寸不是8的整數(shù)倍，補0，補成8的整數(shù)倍 cc1,cc2=size(IM);%cc1為IM的行數(shù)，cc2為IM的列數(shù) a=8-mod(cc1,8); b=8-mod(cc2,8); cc3=cc1+a; cc4=cc2+b; IM(cc3,cc4)=IM(cc1,cc2); IM(1:cc1,cc2+1:cc4)=IM(1:cc1,cc2-b+1:cc2); IM(cc

23、1+1:cc3,1:cc2)=IM(cc1-a+1:cc1,1:cc2); IM(cc1+1:cc3,cc2+1:cc4)=IM(cc1,cc2); %若圖像尺寸不是8的整數(shù)倍，補成8的整數(shù)倍 k=1; for l1=1:8:(cc3-7) %將圖像矩陣-8X8的矩陣存起來 for l2=1:8:(cc4-7) F(:,:,k)=IM(l1:l1+7,l2:l2+7); k=k+1; end %將圖像矩陣-8X8的矩陣存起來 end F=uint8(F); k=k-1; qq=k; d=0; d=uint32(d); IM=uint32(IM); for n1=1:cc3 %求均值 for n

24、2=1:cc4 d=IM(n1,n2)+d; end end d=d/(cc1*cc2); d=uint8(d); %求均值 IM=uint8(IM); B2=zeros(64); jz=d;%jz為灰度均值 for ee=1:qq A=F(:,:,ee); TZZ;%調(diào)用函數(shù)求一個8X8的矩陣的特征矩陣 B2=B2+B; end B=B2/ee;%B為均方差矩陣 V,D=eig(B);%求特征向量與特征值 Q=V' for k=1:qq A=F(:,:,k); ee=1; for n1=1:8 %將元素變換成一維 for n2=1:8 %將元素變換成一維 X(ee,1)=A(n1,n

25、2); YSZ(ee,1)=mask(n1,n2);%YSZ為mask變換成的一維數(shù)組 ee=ee+1; end %將元素變換成一維 end %將元素變換成一維 X=double(X); Y=Q*X;%變換后的矩陣放在Y中 Y=flipud(Y); Y=Y.*YSZ; Y=flipud(Y); X1(:,:,k)=Q'*Y;%求還原后的矩陣 end k=1; for l1=1:8:(cc3-7) %將矩陣8X8矩陣放入IM2中 for l2=1:8:(cc4-7)%將矩陣8X8矩陣放入IM2中 H2=X1(:,:,k); ee=1; for n1=1:8 for n2=1:8 C2(n

26、1,n2)=H2(ee,1); ee=ee+1; end end IM2(l1:l1+7,l2:l2+7)=C2; k=k+1; end %將矩陣8X8矩陣放入IM2中 end %將矩陣8X8矩陣放入IM2中 IM=IM(1:cc1,1:cc2); IM2=IM2(1:cc1,1:cc2); y=uint8(IM2);function jpeg_dct(I,z)tic% I=imread('football.jpg');%讀入原始圖像，該圖片在安裝matlab的目錄中找，原圖為jpeg圖象Y=im2double(I);%圖像存儲類型轉(zhuǎn)換，matlab讀入圖像的數(shù)據(jù)是uint8，

27、而matlab中數(shù)值一般采用double型（64位）存儲和運算。所以要先將圖像轉(zhuǎn)為double格式的才能運算T=dctmtx(8);%離散余弦變換矩陣，使用由dctmtx函數(shù)返回的DCT變換矩陣，這種方法較適合于較小的輸入方陣（例如8×8或16×16），計算二維DCT，矩陣T及其轉(zhuǎn)置是DCT函數(shù)P1*X*P2的參數(shù)%B = blkproc(A,m n,fun, parameter1, parameter2, .)%x就是每一個分成的8*8大小的塊，P1*x*P2相當(dāng)于像素塊的處理函數(shù)，p1=T p2=T,也就是fun=p1*x*p2'=T*x*T'的功能是進

28、行離散余弦變換%x代表A，對一副原始圖像，選取它的最左上角8x8的矩陣，并將每一個像素值轉(zhuǎn)換到-128到127的范圍內(nèi)，得到矩陣x.%RGB圖像分三個通道，分別處理B(:,:,1)=blkproc(Y(:,:,1),8 8,'P1*x*P2',T,T');%將原始圖像8x8的像素塊轉(zhuǎn)換成代表不同頻率分量的系數(shù)集，DCT后的64個DCT系數(shù)與DCT前的64個像素塊相對應(yīng)B(:,:,2)=blkproc(Y(:,:,2),8 8,'P1*x*P2',T,T');B(:,:,3)=blkproc(Y(:,:,3),8 8,'P1*x*P2

29、9;,T,T');%對原圖像進行DCT變換z=fix(z);%量化，向0靠攏取整t(1:z)=1;t(z+1:64)=0;mask=jpeg_Dzz8(t);%Z字形掃描B2(:,:,1)=blkproc(B(:,:,1),8 8,'P1.*x',mask);%只保留DCT變換的左上角10個系數(shù)，數(shù)據(jù)壓縮，丟棄右下角高頻數(shù)據(jù)，達到圖像壓縮的目的B2(:,:,2)=blkproc(B(:,:,2),8 8,'P1.*x',mask);%變換后的系數(shù)值較大的會集中在區(qū)域的左上部，即低頻分量都集中在左上部。保留的也是這一部分。B2(:,:,3)=blkproc

30、(B(:,:,3),8 8,'P1.*x',mask);%其他部分的系數(shù)被舍去，在恢復(fù)信號時對它們補 0 。這樣以來，由于保留了大部分圖像信號能量，在恢復(fù)信號后，其質(zhì)量不會產(chǎn)生顯著變化。%數(shù)據(jù)壓縮，丟棄右下角高頻數(shù)據(jù)I2(:,:,1)=blkproc(B2(:,:,1),8 8,'P1*x*P2',T',T);%重構(gòu)圖像I2(:,:,2)=blkproc(B2(:,:,2),8 8,'P1*x*P2',T',T);I2(:,:,3)=blkproc(B2(:,:,3),8 8,'P1*x*P2',T',T)

31、;%進行DCT反變換，得到壓縮后的圖像figure;set(gcf,'unit','normalized','position',0.4,0.5,0.3,0.3);%設(shè)置圖形窗大小set(gcf,'menubar','none'); %刪除圖形窗工具條str='量化程度'set(gcf,'name',str sprintf('%1.4g',z),'numbertitle','off'); %書寫圖形窗名imshow(I2)title(&

32、#39;DCT變換壓縮后的圖像')imwrite(I2,'dct.jpg');%輸出壓縮后的圖像，文件名為football_dct.jpga=toc;uicontrol('style', 'text', 'unit', 'normalized', . 'position', 0 0 0.2 0.1, 'string', num2str(a), . 'FontSize', 18)%搜索方式：對角的Z字形掃描;二維的圖像矩陣利用一維的搜索方式。function y

33、=jpeg_Dzz8(x)t=1;for k=2:9 for m=1:k-1 if rem(k,2)=0 y(k-m,m)=x(t); t=t+1; else y(m,k-m)=x(t); t=t+1; end endendfor k=10:16 for m=k-8:8 if rem(k,2)=0 y(k-m,m)=x(t); t=t+1; else y(m,k-m)=x(t); t=t+1; end endendfunction callcheck(htext,str1,z)set(htext,'string',str1,sprintf('%1.4g',z);

34、 %更新靜態(tài)文本框內(nèi)容 <2function jpeg_klt(I,z)tic% I=imread('football.jpg');%讀入原始圖像，該圖片在安裝matlab的目錄中找，原圖為jpeg圖象z=fix(z);%量化，向0靠攏取整t(1:z)=1;t(z+1:64)=0;mask=jpeg_Dzz8(t);%Z字形掃描I2(:,:,1)=klt(I(:,:,1),mask);I2(:,:,2)=klt(I(:,:,2),mask);I2(:,:,3)=klt(I(:,:,3),mask);figure;set(gcf,'unit','no

35、rmalized','position',0.2,0.5,0.3,0.3);%設(shè)置圖形窗大小set(gcf,'menubar','none'); %刪除圖形窗工具條str='量化程度'set(gcf,'name',str sprintf('%1.4g',z),'numbertitle','off'); %書寫圖形窗名imshow(I2);title('KLT變換壓縮后的圖像') imwrite(I2,'klt.jpg');%輸出

36、壓縮后的圖像，文件名為klt.jpga=toc;uicontrol('style', 'text', 'unit', 'normalized', . 'position', 0 0 0.2 0.1, 'string', num2str(a), . 'FontSize', 18)function jpeg_show(I)% I=imread('football.jpg');figure;set(gcf,'unit','normalized','position',0,0.5,0.3,0.3);%設(shè)置圖形窗大小set(gcf,'menubar','none'); %刪除圖形窗工具條str='KLT DCT性能比較'set(gcf,'name',str ,'numbertitle',&