導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識框架

1、1成曜巨模塊框架廿-數(shù)9函數(shù)緯含 導(dǎo)數(shù)與不群式痂告 -導(dǎo)數(shù)TH它知識綜合二土奪掃魚函z;，奪數(shù)&0它知漢綜合、,定積念“微積分與定積分的應(yīng)用微積分與定積分的應(yīng)用偵偵微積分基本定照微積分基本定照目幗1至高考要求要求層次重難點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 及苴 /、應(yīng) 用導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念A(yù)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景； 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.導(dǎo)數(shù)的幾何意義C導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù) y=c,y=c,231V=x ,y =x , y =x , y=_ , xV =x的導(dǎo)數(shù)C能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)23y =c, y =x , y = x , y =x ,y y= =，y y=j=jx x （c c 為常數(shù)）

2、的導(dǎo)數(shù).x能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f （ax +b）的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算C簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f f （axax +b+b）的導(dǎo)數(shù)）B導(dǎo)數(shù)公式表C導(dǎo)數(shù)在研究函 數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 （其 中多項式函數(shù)不超過三次）C了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系； 能利用導(dǎo) 數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū) 間（其中多項式函數(shù)一般不超過一次） .了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和 充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極 小值（其中多項式函數(shù)一般不超過一次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其 中多項式

3、函數(shù)一般不超過一次） 會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.函數(shù)的極值、最值（其中多項式 函數(shù)不超過三次）C利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題B定積分與微積 分基本定理定積分的概念A(yù)了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.微積分基本定理A導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用雄浦柔與導(dǎo)函敷的圖象函數(shù)的單明性導(dǎo)數(shù)的幾何副導(dǎo)數(shù)的幾何副 g g（辱數(shù)的概念與幾何意幻（辱數(shù)的概念與幾何意幻、尊數(shù)面尊數(shù)面: :而普而普導(dǎo)數(shù)的運(yùn)建導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2了解微積分基本定理的含義.知識內(nèi)容一、導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.1. 函數(shù)的平均變化率：一般地，已知函數(shù)y=f(x) , X0 , X是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記3 = Xi-X0,：y =y

4、i y()=f (%) f(巧)=f(X0 x) f(X0),則當(dāng)&手0時，商f (X0* *網(wǎng)網(wǎng)f(Xo)=業(yè)稱作函數(shù)y = f(x)在區(qū)間X0,Xo+&(或Xo+Ax, Xo)的.:XX平均變化率.注：這里 k k , , A Ay y 可為正值，也可為負(fù)值.但A Ax x# #0 0 , , A Ay y 可以為 0.0.2.2. 函數(shù)的瞬時變化率、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)在X0附近有定義，當(dāng)自變量在x = x0附近改變量為Ax時，函數(shù)值相應(yīng)的改變y =f (X0+Ax) -f (X。).如果當(dāng) k k 趨近于 0 0 時，平均變化率 包=f(X0槌槌x) f(X0

5、)趨近于一個常數(shù) I I (也就是說平均變化率XLX與某個常數(shù) I I 的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數(shù))，那么常數(shù) I I 稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0的 瞬時變化率.“當(dāng)夕趨近于零時，fM+kfg)趨近于常數(shù)I”可以用符號“ T ”記作：X“當(dāng)&T0 0 時，f(X0+k)-f(X0)T|”，或記作 “l(fā)imf(X0X)-f(X0)=|，符號 “ T，讀作Xx 0X“趨近于”.函數(shù)在X0的瞬時變化率，通常稱為f (X)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f(X0).這時又稱f (X)在X=X0處是可導(dǎo)的.于是上述變化過程，可以記作“當(dāng)kT0時，f(X0弋弋f(X0)T f(X0)”或“

6、螞fM*；) f(X0)=f，(x0)” .3.3.可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)：如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱f(x)在區(qū)間(a,b)可導(dǎo).這樣，對開區(qū)間(a, b)內(nèi)每個值x,都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)f(x).于是，在區(qū)間(a,b)內(nèi)，f(x)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我 們把這 個函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù).記為f(x)或y(或V；)導(dǎo)函數(shù)通常簡稱為導(dǎo)數(shù).如果不特別指明求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，那么求導(dǎo)數(shù)指的就是求導(dǎo)函數(shù).4.4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)函數(shù)y = f (x)的圖象如圖所示.ABAB 為過點(diǎn)A(X0, f (X0)與B(x0+&, f(x0+&)的一條割線.由此割線的斜

7、率是 四=f(x0*Ax)f(X0),可知曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化LX己X率.當(dāng)點(diǎn) B B 沿曲線趨近于點(diǎn) A A 時，割線 ABAB 繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動，它的最終位置 為直線 ADAD , ,這條直線 ADAD 叫做此曲線過點(diǎn) A A 的切線，即*+&)-*)=*+&)-*)=切線AD的斜率.二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表爐0 x由導(dǎo)數(shù)意義可知，曲線y = f(x)過點(diǎn)(X0, f(x)的切線的斜率等于f(x).3y = f (x)y=f(x)y y =c=cy = 0y =xn(nEN N 企y,=nxn【，n為正整數(shù)y =x%a 0, a #0,口 在 Q Q)y

8、=axS , a為有理數(shù)xy =a (a 0, a #1)y =axln ay =logax (a 0, a #1, x 0)，一1y.xln ay =sinxy = cosxy y =cosx=cosxy = _sin x注：lna=loga，稱為a的自然對數(shù)，其底為e , e是一個和兀一樣重要的無理數(shù) e e = = 2.7182818284)|2.7182818284)| . . 注意(ex)=ex.2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則：設(shè)f (x) , g(x)是可導(dǎo)的，則(f (x) g(x)= f(x) g(x),即，兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和(

9、或差)函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)f (x) , g(x)是可導(dǎo)的，則f (x)g(x)=f(x)g(x)+f (x)g (x),即，兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)的乘上第二個函 數(shù)的導(dǎo)數(shù).由上述法則即可以得出Cf(x)=Cf(x),即，常數(shù)與函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)f(x) , g(x)是可導(dǎo)的，g(x)#0，則秒2l =g(x)f(x)2-f(x)g(x)._g(x)g (x)特別是當(dāng)f(x)m時，有Itg(x) g (x)三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.1. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法：如果函數(shù)y=f(x)在x的某個開區(qū)間內(nèi)，

10、總有f(x)A0，則f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；如果函數(shù)y=f(x)在x的某個開區(qū)間內(nèi)，總有f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).2.2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值：已知函數(shù)y=f(x)，設(shè)x0是定義域內(nèi)任一點(diǎn)，如果對x0附近的所有點(diǎn)x,都有f(x)f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極大值，記作y極大=f(4).并把x稱為函數(shù)f (x)的一個極大值點(diǎn).如果在x0附近都有f (x)f (x0),則稱函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處取極小值，記作y極小=f(x0).并把x0稱 為函數(shù)f(x)的一個極小值點(diǎn).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).4(二)主要方法：1.1.求

11、函數(shù)y=f(x)的極值的方法：第 1 1 步求導(dǎo)數(shù)f (x)；第 2 2 步 求方程f (x) =0的所有實(shí)數(shù)根；第 3 3 步 考察在每個根X0附近，從左到右，導(dǎo)函數(shù)fx)的符號如何變化.如果f(x)的符號由正變 負(fù)，則f (x0)是極大值；如果由負(fù)變正，則f(x0)是極小值.如果在f(x) = 0的根x = x0的左右側(cè)，f(x)的符號不變，則f(x0)不是極值.2 2 .函數(shù)f (x)的最大(小)值是函數(shù)在指定區(qū)間的最大(小)的值.求函數(shù)最大(小)值的方法：第1步求f (x)在指定區(qū)間內(nèi)所有使f x) =0的點(diǎn)；第 2 2 步 計算函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)使f，(x)= 0的所有點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)

12、的函數(shù)值，其中最大的為最大值， 最小的為最小值.四、導(dǎo)數(shù)與其它知識綜合1.1. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)、基本初等函數(shù)的結(jié)合，這是導(dǎo)數(shù)的最主要的考查內(nèi)容；2.2. 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的結(jié)合，要注意數(shù)列作為函數(shù)的特殊性；3.3. 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合；4.4. 導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中的運(yùn)用，經(jīng)常需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)去求單調(diào)性，證明不等式.五、微積分與定積分基本定理1.1.函數(shù)定積分：設(shè)函數(shù)y = f(x)定義在區(qū)間a,b上.用分點(diǎn)a=冷 冶ex?川xnex”=b，把區(qū)間a, b分為n個小區(qū)間，其 長度依次為&i=為+-x, , i =0,1 ,2，川，n -1 .記，為這些小區(qū)間長度的最大值，當(dāng)Z趨近于

13、 0 0 時，所有的小區(qū)間 長度都趨近于 0 0 . .在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)=,作和式n AIn =f(U)Ax .i zg當(dāng)九 T 0 0 時，如果和式的極限存在，我們把和式In的極限叫做函數(shù)bf(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作f(x)dx ,即bn1f(xdx = qW m g Ax(-)a0i用其中f(x)叫做被積函數(shù)，a叫積分下限，b b 叫積分上限.f(x)dx叫做被積式.此時稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積.2.2.曲邊梯形：曲線與平行于 y y 軸的直線和x軸所圍成的圖形，通常稱為曲邊梯形.根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積 S S 等于其曲邊所對應(yīng)的函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a, b上的定積分,b即S=f (x)dx a求曲邊梯形面積的四個步驟：第一步：分割.在區(qū)間b中插入n-1各分點(diǎn)，將它們等分成n個小區(qū)間x, , x(i =1 , 2 ,川，n )，區(qū)間Rij ,xi】的長度Ax =x x，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊 梯形面積的近似值.第三步：求和.5第四步：取極限.3.3. 求積分與求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算.bRF (x)dx =F(b) _F(a)，即F，(x)從a到 b b 的積分等于F (x)在兩端點(diǎn)的取值