1級(jí)高數(shù)a2期末考試題及答案

1、10級(jí)高數(shù)A2期末測(cè)試題及答案、填空題(每題3分,共24 分)1. 微分方程y4y'_5y =0的通解為y二c£x Cze2. 設(shè)函數(shù) z=2x2-3y2,那么全微分 dz =4xdx-6ydy4.設(shè)積分區(qū)域D : x2 y2二4 ,3. 橢球面x2 +2y2+2z2 =5在點(diǎn)(1, 1, 1)處的切平面方程為 x+2y + 2z = 5_那么二重積分！f (x, y)dxdy在極坐標(biāo)下化為二次積分為D20 f (r coS3, r sin B)rdr5. 設(shè)積分區(qū)域?yàn)?Q: 1蘭x乞1,一1蘭y蘭1,1 Wz蘭1,貝U三重積分JJJ2dxdydz=16Q6. 設(shè)L是圓周x2

2、+y2=2,那么對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分(x2 + y2)ds =4*N7.無(wú)窮級(jí)數(shù)unn占234的通項(xiàng)Unn_n 118.函數(shù)f(x)】.2x展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)為qQZ (2)nxnn=05二、計(jì)算以下各題(每題7分,共63分)1、求微分方程(1 x)dx -(1 y)dy =0的通解., ：； ,'1 1解：別離變量：(1 ' x)dx =(1 y)dy兩邊積分,得通解x+x2 = y+y2+C2 22、設(shè)函數(shù) z = cos y+3x2-2y2,求絲,x&.z；：2z:xy解： -sinY (- 占)6x =譽(yù)sin$ 6x exx xx x3、設(shè)函數(shù)z = f3x,x-y

3、,其中f是可微函數(shù),求三,二. excyz: z解：3f1 f2, f2x:y4、求函數(shù) f (x, y) =5x2 -4xy y2 2x 1 的極值.求偏導(dǎo)數(shù) fx =10x -4y 2 , fy = -4x 2y令 fx = 0 , fy = 0解得駐點(diǎn) x = 一1, y = 一2求二階偏導(dǎo)數(shù) fxx =10 , fyy =2, fxy =-4,于是有 AC-B2=4 0,且 A . 0所以,在點(diǎn)(1,2)處,函數(shù)取極小值f(-1,-2)=05、計(jì)算二重積分I二(x2y 1)dxdy,其中D是由直線y = x, y=2x及y軸所圍成的D區(qū)域.解:12 _x 21237原式= .°

4、;dX x (x y 1)dy (2x -2x -2x 2)dx =6、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分L(1 -3y)dx (1 -2x y)dy,其中L為從A(2,0)到B(-2,0)的上半圓周八4 - X2,取逆時(shí)針?lè)较?解:P =1 _3y,Q =1 _2x yP - _3, ：Q = -2, ：Q - ：P =1 cyexex cy補(bǔ)線:J : y =0,x從-2 到 22L(1 3y)dx (1 2x y)dy2d4由格林公式,L L (1 -3y)dx (1 -2x y)dy = dxdy = 2二于是,“ -LL!-L1=2兀-147. 用高斯公式計(jì)算積分I二(x z)dydz - (x

5、y)dzdx - (y z)dxdy,其中曲面為圓柱面x2 y2 =1及平面z =0,z =3所圍成的圓柱體的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解：P=x z,Q=x y, R = y z,ex由高斯公式,原式二 3dv = 3匚3 =9二n8、判斷級(jí)數(shù)丄3的斂散性.2nn(n 1)32= lim心弟21n 心n(n 2)3心(n+1)3解: limUn.Hm2n1(n31) n護(hù) Unw(n+2)3由比值審斂法知,級(jí)數(shù)發(fā)散.n9 求幕級(jí)數(shù)a牛的收斂區(qū)間.nT n解:limUnfUn=lim n*( n +1)所以,當(dāng)x <1,即1<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂.收斂區(qū)間為-1,1三、此題9分某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱.問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高分別取怎 樣的尺寸時(shí),才能使用料最省.解：設(shè)水箱的長(zhǎng)寬高分別為x, y,z,那么水箱的外表積為S =2xy - 2yz - 2xz題目欲求函數(shù)S =2xy 2yz 2xz在滿足條件xyz =8時(shí)的最小值.I I令 L =2xy 2yz 2xz ,xyz -8,貝U 由 Lx = 2y 2z ,yz = 0 , Ly 亍 2x 2z ,xz = 0Lx = 2y 2x ：,xy = 0, L . = xyz - 8 = 0 解得唯一駐點(diǎn)=z=2由問(wèn)題的實(shí)際背景知,一定存在最小值.因此當(dāng)x = y=z=2時(shí),外表積最