2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題提能二三角與向量的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)教案理

1、2三角與向量的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)提分策略一探究命題情景應(yīng)用能力就解決新定義問題而言， 首先是通過閱讀理解題意，把握題目所包括的新的概念、定理或方法的本質(zhì)，然后分析材料，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，通過歸納、探索、推理等有效方法解決問題.典例（2018 濟(jì)寧模擬）對于任意兩個(gè)非零的平面向量mi n,定義m n之間的新運(yùn)算：m?n=mmr_ .已知非零的平面向量 a, b滿足：a?b和b?a者B在集合x x="3k, kCZ中,一兀 兀 一.且同 引b| .若a, b的夾角0 6（至，）,則（a?b）sin0 =解析：根據(jù)題意得 a?b=kiCZ, b?aa - b |a| |b| - c

2、os 0 | a| cos 0 陋k1j-« -I blb - a |a| , |b | , cos 0| b| - cos 0J3k2s工|a|2|a|2k2 6 Z,所以(a?b) ( b?a) = cos o =kik2因?yàn)?專，y)，所以2V cos2 0 <3,即2vkk6424233 一， ,2<4，因?yàn)?k1, kzCZ,所以 k1k2= 2, cos 923,sin,因?yàn)?| a|，b| ,所以 k1= 2,k2=1,所以 a?b=233, (a?b)sin0 =-2.答案：23點(diǎn)評(píng)本題以新定義的形式創(chuàng)設(shè)新的命題情景：m?n,主要是考查學(xué)生探究推理新問題的

3、能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).對點(diǎn)訓(xùn)練在平面斜坐標(biāo)系xOy中，/ xO尸0 ,平面上任意一點(diǎn) P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)這樣定義：若OP= xa+ye2（其中e1, e2分別是x軸，y軸正方向上的單位向量）,則P點(diǎn)的斜坐標(biāo) 為（x, y）,向量OP勺斜坐標(biāo)為（x, y）.給出以下結(jié)論：若 0 =60?, P（2, 1）,則 |OP=>/3;若 Rx1, y1） , Q= （x2, y2）,則OFOQ= （x1 + x2, y1 + y?）；若OP= （x1, y。，OQ= （x2, y。，則 OP OQ= X1Xz+yy2；若0 =60?,以O(shè)為圓心、1為半徑的圓的斜坐標(biāo)方程為 x2+y2 + xy-

4、1 = 0.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .解析：對于， 據(jù)2ei-e2,則 |Op2=(2ei &)2= 54 cos 。=3,所以 |0甲=十, 故正確.對于，若 Rxi, yi), QX2, y。，則 O丹 Oq=(X1+X2, ydy。，故正確.對于，Op= (xi,yi) ,0會(huì)(X2,y2),所以 Op0會(huì)(xe + yie)(X2ei + y2e2).因?yàn)閑i - e?w0,所以 OF3- O羊 XiX2+yiy2,故錯(cuò)誤.對于，設(shè)圓 O上任意一點(diǎn)為 Rx, y),因?yàn)閨OP = 1,所以(Xei + ye2)2=1,所以x2 + y2 + Xy 1 = 0,故正確.答案：提

5、分策略二引入數(shù)學(xué)文化題考查數(shù)學(xué)文化，多從九章算術(shù)和數(shù)書九章等中國古代數(shù)學(xué)名著中挖掘素材.典例 第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為丁、/基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角'、 一.兀二角形中較大的銳角為0 ,那么tan( 0 +-4) =.解析：依題意得大、小正方形的邊長分別是5、1,于是有5 sin 0 -5 cos 0 = 1(0一 兀.-. tan答案：7點(diǎn)評(píng)本題以數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)為背景引我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖既巧妙地考查 了三角形全等以及三角函數(shù)公式的應(yīng)用知識(shí)

6、，又豐富了弦圖的內(nèi)涵., 一一一.2一,.一一.2< 0 <-),即有 sin0 cos 0=5.從而(sin 0+ cos0) =2 (sin 0 cos0 )=,貝U sin 0 + cos0=, 因此sin 0 =：, cos0 =1,tan 0 = ,故tan ( 0)tan對點(diǎn)訓(xùn)練九章算術(shù)是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，書中有這樣一個(gè)問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問 徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深 1寸，鋸道長1尺.問這塊圓柱形木料的直徑是 多少？長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如

7、圖所示影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分 ).已知弦AEB= 1尺，弓形高CD= 1寸，估算該木材鑲嵌在墻 中的體積約為()（注：1 丈=10尺=100 寸，兀=3.14, sin 22.5A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸解析：連接 OA OB CD),設(shè)O O的半徑為R則（R 1）2+ 52=R,R= 13.AD 5 sin / ACD= -j=.AC 13/ ACD 22.5 ?Il ,_，兀即/ AC陟45?故/ AC樂4S 弓形 ACB= S 扇形 CACB S CAB1 兀 21_ 一、.=2X TX1322X10X12=6.33 平萬寸.該木材鑲嵌在

8、墻中的體積為V= S弓形acbX 100=633立方寸.故選 D.答案：D提分策略三引入臨界知識(shí)考學(xué)科潛力1 .臨界法則常用的“臨界法則”有：(1)三角函數(shù)中的"合一變形"，即asin x+bcos x = "a2 + b2 sin( x+(),其中()ab滿足 cos ()= / 2+ .，sin = j 2 b2,解決很多二角綜合問題都離不開匕.(2)射影定理:在ABC,角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,則a= b cos C+ c cos B, b= ccos A+ acos C,c= acos B+ bcos A,一 .一, a b c已知 A

9、B角A, B，C所對的邊分別為a, b，c,則斫下=鵬=2R外接圓.D.8兀騏例若 ABC勺面積為 4 Ab- AC= 2,則 AB/卜接圓面積白最小值為(A.兀B.4C . 2兀3解析：設(shè) AB6J角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c., 一、 一 1由題息可得bcsin A= 3, bccos A= 2,.tan A= 3._ _一 兀又 AC (0 , % ) ,A=.兀rrbccos= 2,即 bc= 4.3由余弦定理可得 a2= b2+c22bccos A= b2+ c2- bobc= 4,即 a>2., 一、_ a又由正弦定理得sinA= 2R(R為ABC外接圓白半

10、徑)，.2Rsin A= a>2, IP 73r>2,_24，R2>4，.三角形外接圓面積的最小值為3答案：Ba 點(diǎn)評(píng)本題以市中綱逋過_a&里隹抵胤求彳上上的范力進(jìn)應(yīng)求得三一 AB空避圓面積的最小值.2 .臨界問題有些高考綜合題的命題背景往往是競賽數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)問題，這類經(jīng)過“加工”的問題，可視為高考與競賽或初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的臨界問題.典例 凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，其具有如下性質(zhì)：若定義在(a, b)上的函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，則對任意的 Xi C (a , b)( i = 1,2 ,，n),必有X1+X2+ Xnf 儀1 十 “X2 廿+ f fXn 'q

11、cf (n)>一nM立.已知 y=sin x是(0,兀)上的凸函數(shù)，禾1用凸函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng) ABC勺外接圓半徑為 R時(shí)，其周長的最大值為 解析：由凸函數(shù)的性質(zhì)可得sin * :+ J sinsin-sin2 打 sin_9,化簡得 $所 a333+ sinB+ sinC<3sin3 = 32.設(shè)a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，利用正弦定理可得三角形的周長 l = a+b+c=2R(sin Msin B+ sin Qw2Rx¥=3J3R,即周長的最大值為3 3R答案：3 3R點(diǎn)評(píng) 本題是以凸函數(shù)的性質(zhì)為背景，巧妙地考查了正弦定理的應(yīng)用， 結(jié)合凸函數(shù)的性質(zhì)使問題得以解

12、決./瞟后訓(xùn)練提升能力蛛技巧:推方證0sind.2+m授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 127頁一、選擇題1 .定義：|axb| = |a|b| sin 。，其中。為向量a與b的夾角，若| a| = 2, |b| = 5, a , b = - 6,則 |a x b| 等于()A. 8B. 8C. 8 或 8D. 63解析：由 |a|=2, |b|=5, a。b= 6,可得 2X5 cos 0 = - 6? cos 0 = 石.又 0 £ ,所以 sin 0 = ;.從而 |axb| =2X5X：=8.55答案：B2 .已知外接圓半徑為R的ABC勺周長為（2 + J3）R則sin A+ sin

13、 B+ sin C=（13C.2+萬A+解析：由正弦定理知a+b+c=2RsinA+ sin B+ sin Q=(2+43)R,所以 sinB+ sin C= 1+ 坐，故選 A.答案：A3 .設(shè)a, b為非零向量，|b| =2|a| ,兩組向量X1,X2,X3,X4和yby2,ys,y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若xi yi + X2 y2 + X3 y3+X4 y4所有可能取值中的最小值為4| a|則a與b的夾角為（）A.B.fD. 02斛析：設(shè) S= Xi yi + X2 y 2+ X3 y 3+ X4 y 4,右 S 的表達(dá)式中有 0 個(gè) a b,則 S= 2a + 2b2,記為S,

14、若S的表達(dá)式中有2個(gè)a b ,則S= a2+b2 + 2a b,記為S,若S的表達(dá) 式中有 4個(gè)a- b,則 S= 4a b,記為 S.又 |b| =2|a| ,所以 S S=2a2+2b24a b = 2(a -b)2>0, S-S = a2+b2-2a - b = (a-b)2>0, SS= (ab)2>0,所以 Sv&vS,故Smin = 4=4a , b,設(shè) a, b 的夾角為 0 ,則 Smin= 4a b = 8| a12cos 0 = 4| a|2,即 cos 0 =2>兀又OC0,兀，所以0 =.3答案：B4 .已知直角梯形 ABC用，AD/ B

15、C / ADO 90?, AD= 2, BC= 1, P是腰DCk的動(dòng)點(diǎn),則19 pB的最小值為（）A. 5B. 4C. 3D. 6解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2,0)，設(shè)R0, y), C(0,b),則B(1,b),則抽 3PB=(2 , y) + 3(1 ,b-y)= (5,3b- 4y).所以| PAV 3PB = 25+(3b 4y 2(0 < y< b).當(dāng) y = 4b 時(shí)，| Pv 3PB me 5.答案：A二、填空題 .兀 .5. （2018 石家莊質(zhì)檢）非零向量mj n的夾角為y,且滿足|n| =入|m（入0）,向量組Xi, X2, X3由一個(gè)m和兩個(gè)

16、n排列而成，向量組 yb y2, y3由兩個(gè)m和一個(gè)n排列而成， 若X1 y 1 + X2 y2+X3 y3所有可能值中的最小值為 4ml,則入=.解析：由題意，X1 y1 + X2 y2+X3 y3的運(yùn)算結(jié)果有以下兩種可能： M+m。n+n2 =2m+入 |m|m| cos專+ 入 2n2=(入 2+ 5+ 1) mi； nr n + nr 32兀n + mn=3 入 1m I m|cos - = 32 m.又2入 3入 21 23入十萬+1 - 2 =入入+ 1= (入-2)+。,所以 32Lm=4m,即32=4,解得入=8.36.定義平面向量的一種運(yùn)算 aOb = |a + b| x |

17、a - b| x sina, b>,其中a, b是a 與b的夾角，給出下列命題：若a, b> = 90?,則aob=a2+b2；若|a| = |b| ,則(a + b) O(a-b)=4a - b;若 |a| = |b| ,則 aOb<2|a| 2；若 a=(i,2), b=( -2,2),則則 aOb= |a+b| x |a b| = a2+b2,所以成立;(a+ b) Ob = A/w.其中真命題的序號(hào)是解析：中，因?yàn)閍, b> = 90?,中，因?yàn)閨a| =|b| ,所以(a+b),= 4|a|b| ,所以不成立；中，因?yàn)?a-b) > = 90?所以(a

18、+ b)O(a-b) =|2a| x |2b| a+ b|2+ | a-b|2|a| = |b| ,所以 aOb = |a +b| x | a-b| sin a, b>=2| a|2,所以成立；中，因?yàn)閍=(i,2) ,b=(2,2),所以 a + b= ( - i,4) , sin(a+ b) , b> =34,所以(a+ b ) O b = 35X 5 X 3445 34w，所以不成立.故真命題的序號(hào)是34答案：7.設(shè)非零向量a, b的夾角為0，記f(a,b) = acos 0 - bsin。.若 ei, e2 均為單位向量，且 ei , e2= -2,貝U向量 f(ei, e

19、2)與 f(e2一ei)的夾角為3解析：由ei - 8 = 亍，可得 cosei, e2>ei . e23|ei| e2| =T5故a, e2> = I，e2) ei=兀 一 e2ei >5 71"6".f (eie2) = eicose2sin =ei e2,66622'f (e25兀5兀ei) = e2cos-6- ( ei)sin i= 2ei-f (ei3 i 、e2)”金, ei) =(2-ei 產(chǎn))-i2ei所以 f(ei, e2) ±f (e2, ei).一，一 一，一一, J 一 兀故向重f(ei,與f(e2, ei)的夾

20、角為萬.答案：y8.對任意兩個(gè)非零的平面向量a和3 ,定義a 。 3 = ： . ）.若平面向量a, b滿足3 - 3|a| 河b| >0,a與b的夾角0 jo, -4 :,且a。b和b。a都在集合n ;皿七2 nC Zj中，則a。解析：a。a b |a|b| cos。 |a |cos 。ST|b|b - b。a=a |b|a| cos 0| b|cos 0|a|I a| 9 L0,< cos 0 < 1.又|2|>|">0,，0<丹1.0歸8$ | a| a|即 0vb。a< 1.bo a 1- bo a= 2.x，得2（a。b） x （

21、b。a） = cos1 1,1 12<2（a。b） < 1,即 1 v a。bv 23 b=.2.答案：29.三國魏人劉徽，自撰海島算經(jīng),專論測高望遠(yuǎn).其中有一題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千歲，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何？譯文如下：要測量海島上一座山峰A的高度AH立兩根高均為3丈的標(biāo)桿BC和DE前后標(biāo)桿相距1 000步，使后標(biāo)桿桿腳 D與前標(biāo)卞f桿腳B與山峰腳H在同一直線上，從前標(biāo)桿桿腳 B退彳T 123步到F,人眼著地觀測到島峰，A, C, F三點(diǎn)共

22、線，從后標(biāo)桿桿腳D退行127步到G人眼著地觀測到島峰，A, E, G三點(diǎn)也共線，問島峰的高度AH=步.（古制：1步=6尺，1里=180丈=1 800 尺= 300步）解析：如圖所示，由題意知 BC= DE= 5步，BF= 123步，DG= 127步，設(shè)AH= h步，因BC BF 5 123123h為BC/ AH所以 BCM4HAF所以前Hr所以=正，即HF= -5-因?yàn)镈E/ AH所 , DE DG _ , 5 127127h ，”一以陽&加吐以ah= HG所以=而即HG= 可，由題意（HG 127）-（HF-123）一 127h 123h一=1。00,即亍4=1 000 , h= 1

23、 255,即 Ak 1 255 步.答案：1 255三、解答題10. (2018 泰安模擬)已知下凸函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)滿足f ,"X： +x) wf(X1hf(X2J+ f(xn)若函數(shù)yan x在iq? .S '上是下凸函數(shù)，那么在銳角ABC,求tan A+ tan B+ tan C的最小值.解析：因?yàn)閥= tan x在Iq,1.一八則a(tan A+ tan B+ tan C) >tan3tan A= tan B= tan C,即 A= B= tan -= 3,即 tan A+ tan B+ tan 03，3,當(dāng)且僅當(dāng)= C=t時(shí)，取等號(hào)，所以tan A+ tan B+ tan C的最小值為33. 311.在 ABC中，邊a, b, c分別是內(nèi)角 A, B, C所對的邊，且滿足 2sin B= sin A+sin C,設(shè)B的最大值為B0.(1)求B的值；(2)當(dāng) B= Bq, a=3, c=6, Ab= gDB寸，求 CD的長. . a+ c解析：(1)由