平面向量基本定理課件

1、平面向量基本定理平面向量基本定理2.3.12.3.1平面向量的基本定理平面向量的基本定理平面向量基本定理 設(shè)設(shè) 、 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共1e2e線的向量，線的向量，a 是這一平面內(nèi)的任一向量，是這一平面內(nèi)的任一向量，1e2e我們研究我們研究 a 與與 、 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。1ea2e研究研究平面向量基本定理OC = OM + ON =OC = OM + ON =21OA + OBOA + OB11e2e2即即 a = + .= + .1ea1eA A2eO OaC CB B2eN NM M M MN N平面向量基本定理平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

2、 、 使21共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任 如果 、 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不1e2e11ea = + 2e2示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。我們把不共線的向量 、 叫做表1e2e平面向量基本定理（1）一組平面向量的基底有多少對(duì)？（有無(wú)數(shù)對(duì)）思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E平面向量基本定理思考 (2)若基底選取不同，則表示同一 向量的實(shí)數(shù) 、 是否相同？ 21（可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB + ON OC = 2OB + ON OC = 2OA +

3、OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF + OE 平面向量基本定理特別的，若特別的，若 a = 0 ，則有且只有，則有且只有 ： 可使可使 0 =11e2e2+.21= 0？若若 與與 中只中只有一個(gè)為零，情有一個(gè)為零，情況會(huì)是怎樣？況會(huì)是怎樣？21特別的，若特別的，若a與與 （ ）共線，則有）共線，則有 =0（ =0），使得），使得: a = + .121e22e2e11e平面向量基本定理已知向量 求做向量-2.5 +3 例3： 、 1e2e1e2e1e2e15 .2e23eOABC平面向量基本定理1eOABC?MMDMCMBMAbabADaABABCD、表示

4、、，用，且，的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)如圖所示，平行四邊形例4D DC CB BA AM M平面向量基本定理 例 ABCD中，E、F分別是DC和AB的中點(diǎn)，試判斷AE,CF是否平行？FBADCE平面向量基本定理FBADCEE、F分別是DC和AB的中點(diǎn),AE= AD+ DE = b+ a2121CF= CB+ BF = -b - aAE= - CFAE與CF共線，又無(wú)公共點(diǎn)AE,CF平行.解：設(shè)AB= a,AD= b.平面向量基本定理 例5、 如圖，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分別是DC,AB的中點(diǎn). 請(qǐng)大家動(dòng)手,在圖中確定一組基底，將其他向量用這組基底表示出來(lái)。ANMCDB

5、平面向量基本定理解析：BC = BD + DC = MN = DN-DM 21=(AN-AD)- DC(ADAB)+DCANMCDBDC = AB =21211e設(shè)AB = ,AD = ,則有：1e2e41= - .2e1e1e2e1e21= - + = 2141= - - 2e1e1e2e211e- -+平面向量基本定理 評(píng)析評(píng)析 能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來(lái)表示，再利用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。平面向量基本定理 設(shè) a、b是兩個(gè)不共線的向量，已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b,CD = 2a b,若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值。 A、B、D三點(diǎn)共線解：

6、AB與BD共線，則存在實(shí)數(shù)使得AB = BD.使得AB = BD.思考思考平面向量基本定理k = 8 .= a 4b由于BD = CD CB =(2a b) (a +3b)則需 2a + kb = (a 4b ) 由向量相等的條件得2 =k = 4平面向量基本定理則需 2a + kb = (a 4b ) 2 - = 0k 4 = 0此處可另解：k = 8 .即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0平面向量基本定理 本題在解決過(guò)程中用到了兩向量共線的充要條件這一定理，并借助平面向量的基本定理減少變量，除此之外，還用待定系數(shù)法列方程，通過(guò)消元解方程組。這些知識(shí)和考慮問(wèn)題的方法都必須切實(shí)掌握好

7、。評(píng)析評(píng)析平面向量基本定理 2. 在實(shí)際問(wèn)題中的指導(dǎo)意義在于找到表示一個(gè)平面所有向量的一組基底（不共線向量 與 ），從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 、 的相應(yīng)運(yùn)算。1e2e1e2e平面向量基本定理 1.平面向量基本定理可以聯(lián)系物理學(xué)中的力的分解模型來(lái)理解，它說(shuō)明在同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為不共線向量的線性組合，該定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，其本質(zhì)是一個(gè)向量在其他兩個(gè)向量上的分解。課堂總結(jié)課堂總結(jié)平面向量基本定理思考思考 在梯形在梯形ABCDABCD中，中，E E、F F分別時(shí)分別時(shí)ABAB、CDCD的中點(diǎn)，用向量的方法證明：的中點(diǎn)，用向量的方法證明： EF/AD/BC,EF/AD/BC,且且EF

8、= (AD+BC)EF = (AD+BC)21平面向量基本定理2.3.2 平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示1在平面內(nèi)有點(diǎn)在平面內(nèi)有點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B，向量怎樣，向量怎樣 表示？表示？AB2平面向量基本定理的內(nèi)容？什么叫基底？平面向量基本定理的內(nèi)容？什么叫基底？a =xi + yj有且只有一對(duì)實(shí)有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)數(shù)x、y，使得，使得3分別與分別與x 軸軸、y 軸方向相同的兩單位向量軸方向相同的兩單位向量i 、j 能否作能否作為基底？為基底？Oxyij任一向量任一向量a ，用這組基底可表示為，用這組基底可表示為a（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐標(biāo)，記作的坐標(biāo)，記

9、作a=xi + yj那么那么i =（ ， ） j =( ， )0 =（ ， ） 1 00 10 0平面向量基本定理2.3.2 平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示OxyijaA(x, y)a1以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作為起點(diǎn)作 ，點(diǎn)，點(diǎn)A的位置由誰(shuí)確定的位置由誰(shuí)確定?aOA 由由a 唯一確定唯一確定2點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)與向量a 的坐標(biāo)的關(guān)系？的坐標(biāo)的關(guān)系？?jī)烧呦嗤瑑烧呦嗤蛄肯蛄縜坐標(biāo)（坐標(biāo)（x ，y）一一 一一 對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng)概念理解概念理解3兩個(gè)向量相等的充要條件，利用坐標(biāo)如何表示？?jī)蓚€(gè)向量相等的充要條件，利用坐標(biāo)如何表示？2121yyxxba 且且平面向量基本定理2.3.2 平面向量的坐標(biāo)

10、表示平面向量的坐標(biāo)表示解：由圖可知解：由圖可知jiAAAAa3221 )3 , 2( a同理，同理，)3 , 2(32 jib)3, 2(32 jic)3, 2(32 jid例例1如圖，用基底如圖，用基底i ，j 分別表示向量分別表示向量a、b 、c 、d ，并，并求它們的坐標(biāo)求它們的坐標(biāo)AA2A1平面向量基本定理2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.已知已知a ， b ，求，求a+b，a-b),(11yx ),(22yx 解：解：a+b=( i + j ) + ( i + j )1x1y2x2y=（ + )i+（ + )j1x2x1y2y即即)

11、,(2121yyxx a + b同理可得同理可得a - b),(2121yyxx 兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差平面向量基本定理2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB ),(),(2211yxyx ),(1212yyxx 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo) 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)的向量的相實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)的向量的相應(yīng)坐標(biāo)應(yīng)坐標(biāo)),(yx a平面向量基本定理2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例例2已知已知a=（2，1），），b=（-3，4），求），求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo)的坐標(biāo)解：解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）平面向量基本定理2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例例3 已知已知 ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)