立體幾何中與球有關(guān)的“內(nèi)切”與“外接”問(wèn)題的研究

1、立體幾何中與球有關(guān)的“內(nèi)切”與“外接”問(wèn)題的研究縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，重點(diǎn)放在與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問(wèn)題上.要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答.從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，這部分知識(shí)是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類(lèi)題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒(méi)有形成解題的模式和套路，以至于遇 到類(lèi)似的題目便產(chǎn)生畏懼心理 .本文就高中階段出現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題加以類(lèi)型的總結(jié)和方法的探討1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié) 合，通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題1.1 球與正

2、方體如圖1所不，正方體h9cLi,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為& *日凡仃為彼的中點(diǎn)，。為球的球心.常見(jiàn)組合方式有三夷；一是球?yàn)檎嚼さ膬?nèi)切球,截面圖為正方形WFGH和其內(nèi)切圓,則|97| = r = ：二是與正方體各棱相切的球，威面圖為正方形5 5和其夕襁圓，則|g| 二 R=立口：三是球?yàn)檎襟w的外接球，裁面圖為 112長(zhǎng)方形AC4G和其外接圓，則二* 二 帶，通過(guò)這三種類(lèi)型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問(wèn)題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通 過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題例1 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD A1B

3、1clD1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，E, F分別是棱AA1 , DD1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF被王O截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為（）A. -B. 1C. 1 D. 2122解：由題意可知球?yàn)檎襟w的外接球.平面截面所得圓面的半徑我二 四二走即匚面44直愛(ài)所被球。截得的線(xiàn)段為球的截面圓的直徑2點(diǎn)二點(diǎn).22長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為a,b,c,其體對(duì)角線(xiàn)為l .當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓，和正方體的外接-2卜2 2球的道理是一樣的，故球的半徑r L 二abL221的球，任意擺動(dòng)此長(zhǎng)方體，則球經(jīng)過(guò)的空間例2在長(zhǎng)、寬、高分別為 2

4、, 2, 4的長(zhǎng)方體內(nèi)有一個(gè)半徑為部分的體積為（）A.105B.4 7t3八8兀 C.V34爐二2酎十3、剛正四棱柱的側(cè)面積：修，禾運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析在小球移動(dòng)的過(guò)程中，進(jìn)過(guò)部分的幾何體,因半徑為1的小球恰好為棱長(zhǎng)為2的正萬(wàn)件的內(nèi)切球，故小球經(jīng)過(guò)空間由上往下看為：半個(gè)小球、高為2的雌和半個(gè)小球，三部分的體積為：47r J 12_ 10xl31x2=一芟.3231.3 球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以接形態(tài)居多.下面以正三棱柱 為例，介紹本美題目的解法構(gòu)造直角三角形法.設(shè)正三棱柱 加C7-A約4的高為瓦底面邊長(zhǎng)為出，如圖2所示，口和馬分別為 上下底面的中心,中魏幾何體的特點(diǎn)，球心心落在高0馬

5、的中點(diǎn)。， C© = C,月。=艮金門(mén)且互借助直角三角形白。0的勾股定理，可23求K=十（日山，例3正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的各頂點(diǎn)都在半徑為 R的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值,為 .解；如圖3,截面圖為長(zhǎng)方形達(dá)C&G和其外接圖,球心為£耳的中點(diǎn)。， 叫尺=3.設(shè)正四梗柱的側(cè)犢長(zhǎng)為方，底面邊長(zhǎng)為則二缶二理SQE二士，咫二（走心七片2222§ 二 匕=e 2小星玉道（J十2戶(hù)）二4&爐,故四I面積有最大值，為4及M 當(dāng)且僅當(dāng)白二曲時(shí)等號(hào)成立.2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)

6、切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題.2.1球與正四面體正四面陣作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面年的棱長(zhǎng)的關(guān)系如圖心設(shè)正四面體3-WSC的植長(zhǎng)為口，內(nèi)切球半徑/ ； 為、外接球的半徑為五，取月B的中點(diǎn)對(duì)力，互為S在底面的射/ / A-沁.二聲二不不建就 連接2SQ毋為正四面體的高.在截面三焦形QC作T 缸、/、后/人才與邊SD和LC相切,圓心在高陽(yáng)上的圓,即為內(nèi)切球的截面,因?yàn)榛?、正四面棒本身的?duì)稱(chēng)ft可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為。.此時(shí)，囪1圖| 43=。

7、3;= RQH=r ££ =導(dǎo)二總二號(hào)鬼 則 有R r J2a, R2 r2 CE2二2，解得：R a,r 近a.這個(gè)解法是通過(guò)利用兩心合一的思路，建 V33412立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心。為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來(lái)極大的方便例4將半徑都為1的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為 （）.3 2 .62 62 64 3 2 63. + 3. + 3.3解;"容器四面體”中的這四個(gè)小球，以四個(gè)小球?yàn)榍蛐臑轫旤c(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)犢長(zhǎng)為2的偏球心正四面體'*這個(gè)四面體的高

8、是父單位正四面體R高（或）的z借即為41.七球心正匹面體”的底面到“容器正四 面體”的地面為小球半徑L而打球心正四面體”頂點(diǎn)至1| .容器正四面體用的頂點(diǎn)的距離為3 （小球半徑的3倍），干是“容器正四面體"的高為叱+3+1選擇CJ這個(gè).小球半程的3倍用是這樣想的；做一個(gè)小 3球的外切正四面體，這個(gè)小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問(wèn)題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球 法，即把三棱鍍補(bǔ)形成正萬(wàn)年或?qū)ｉL(zhǎng)方體,常見(jiàn)兩種形式 一是三棱轅的三條側(cè)梗互相垂直并且相等，則可以補(bǔ)股

9、為一個(gè)正方張，它的 外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心,如圖5,三棱鍍司-達(dá)司馬的外 接球的球心和正方體ABCD - 4瓦G4的外接球的球心重合.設(shè)44產(chǎn)- 期我二立.二是如果三棱哇的三條側(cè)?；ハ啻怪辈⑶也幌嗟?則可以補(bǔ)形2為一個(gè)長(zhǎng)方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球? 二 2 工心.L為長(zhǎng)方體的體對(duì)焦線(xiàn)長(zhǎng)）.44例5在正三棱錐S ABC中，M、N分別是棱SG BC的中點(diǎn)，且AM.解決的基本方法是補(bǔ)形MN，若側(cè)棱SA 2, 3則正三棱轅S-A5O夕曲球的表面積是.解：加圖6,正三棱錐對(duì)棱相互垂百，m AC ±S8, XIl wMN LAC.又迎 1AM,:.加 _L 平面W

10、CT于是陽(yáng)，平面&4cL. SB_L&a.SB_LS，從而 &4_L£C.此時(shí)正三棱鍵S-ABC的三條側(cè)接互相垂直升且相等，故將 正三錯(cuò)錐補(bǔ)形為正方體,球的半徑汽=近期衣3-8=4不&；=36兀22.3 球與正棱錐是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根球與正棱錐的組合，常見(jiàn)的有兩類(lèi)，據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑R .這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體

11、積 例6在三麴隹P ABC中，PA=PB=PC= J3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60° ,則該三棱錐外接球的體積為（）4A . B. C. 4 D.解,如圖7所示，過(guò)戶(hù)點(diǎn).作底面3c的垂境，垂是為設(shè)區(qū)為外接球的球心，連接月用*。,因ZPAO = 60PA = 故上。=立2產(chǎn)。=工又兒¥。為_(kāi)用三角形，12963二產(chǎn)出二八二 AH2 = AO1 +0吟4 彳 4r = I./. fz = -7TXl3 = -332.4球與若跺的揍集球馬一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住接錐的幾何性質(zhì)，可綜合 利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.例如，四個(gè)面,誕直角三角形用三棱錐, 可利用直角

12、三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置如圖8,三犢錐 SA5C謫足£4 _L瓦西。忿_L 5。取SC的中點(diǎn)為。,由直角三角形的性質(zhì)可得;GA= 0S=。5 =式.所以。點(diǎn)為三棱錐S月5c的外SC接球的球心，則R SC2B AC D,則四面體例7矩形ABCD中，AB 4, BC 3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角ABCD的外接球的體積是（）125A./b.您C./d.解：由題意分析可知，四面體如CO的外接球的球心落在衛(wèi)C的中點(diǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足。4 = 0。=。刁=0。,TH/ J*必=3125兀6半：r.2a .43球與球?qū)€(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問(wèn)題，要求有豐富的空間想

13、象能力，解決本類(lèi)問(wèn)題需 掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化 平面問(wèn)題求解例7在半徑為R的球內(nèi)放人大小相等的4個(gè)小球，則小球半役r的最大值為（）C.占？口裊43解.要使得小球的聿徑最大，需便得4個(gè)小球的球心為一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，如圖g所示，此時(shí)正匹面體/-£UD的外接球的球心為0,即為半徑為R的球的球心，則上。九又因（9為金的四分煮，故 4二（我-r）百，在 RtLABQ 中 ,的=2F那q =羨衣一/一產(chǎn)）乂芻* =（匕尸一（1百尸尸333圖 9二"祓-2）及4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問(wèn)題，關(guān)

14、鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過(guò)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一例8把一個(gè)皮球放入如圖 10所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn).則皮球的半徑為A. lOctnU 10-72*31B. 10-cin!>. 3口汕圖10解：如圖”所示,由題意球心在初上？球心為a逅。作印的垂線(xiàn)0N垂足為N, ON=F, OJ1=R1醫(yī)為各個(gè)棱都為20,所以AM=W, HF=20/M=l AB= 1D0,設(shè)Z5F/二由在上A BPM中.BP=BM2+PM t所UA尸好二10君.在跳A P4 中，PM2 = AM2十且產(chǎn),所以-2后五小 531久逝丑 E圖"ON R 工PA 1 0 J上.在 R1L. ABP 中 j £1/出=-,在 ONP 中 Sill & -= 所以BP 202OP 。尸D 萬(wàn)一 =-+所以。?=0乩在&必0阿卬，。暇口 =。*+總現(xiàn)：所以，R* = （1D0-曲+100,解得 R = 10或3。（舍），所以，2?