三角函數(shù)中確定角的范圍的七種方法

1、三角函數(shù)中確定角的范圍的七種方法姓名：指導:日期：、根據(jù)所繪角的范®確定例1己知兀<& + 0<彳，一兀<</一0<-?，求2a-0的范國解：設 2a - 0 二 m(a + 0) + n(a - 0),則 2a - 0 二(m + n)tz+(m - n)0 °1m =比較兩邊系數(shù)得m + n = 2，解得 2。所以2a_£=_L(a + 0) + ?(a-0)°m-n二一 1322n =2而 7r<a + /? < ,且一；rva-/?v- 蘭，可得一;rv2a-/?v。336評析：木題通過待定系數(shù)，

2、結合整體思想，用a + 0與a-0整體表示2a-0, 很據(jù)不等式性質(zhì)，正確求出2a-p的范H；|c若通過已知條件分別求u、3的范圍， 然后再求2d 卩的范圍，這樣所求得的2a-卩范圍比實際范用要大，則產(chǎn)I錯解。二、根據(jù)三篦製值確定例 2 己知 crw(O, 7r) > 且 sin a + cosg 二一，求 cos2。的值。2解：由sma + cosa二丄，可得sin 2a = -,可知a不能是銳角或直角,24所以fes。由條件易得. r JT3兀 nr-i、TC ifplsin a >1 cos a、 hJ 丿汨v a v , l、|丿 tt v 2q < ,占攵 cos

3、2a 2424評析：如圖所示，0<a <,貝ijl<sina + cosdf <V2 ；若<a<,224則 0Wsina + cosa 51 ；若一<a <7r 9 PW-lssina + cosasO；4若卍必乎，則"3汰+沖£一1;若耳"耳,則一 1 < sin a + cos a <0 ；若<a <2tt 9 則 0 < sin a + cos a 1 °4三.根倨三角色瓠的單調(diào)世碎定例 3 己知 a, 0(0,彳)，Hsina-sin0 = -£,cosQ c

4、os0 = ¥",求 aB 的值。a 1解:由條件知2sincr sin p =r兩式平方相加得l + l-2cos(a-0)J, c 3 cos a cos p =2所以cos(a-/?)=*。因a, /?(0,彳)，所以一彳 <儀一0<扌。又sina-sin0 = -£<O,知sina<sin0,所以a<0,即一 <a-/7<0 o 由上可得a -/? = - o2 、評析:本題根據(jù)已知條件,得號誇。若到此為止,則產(chǎn)生錯解a-p = 土2。因此應進一步利用正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得a<0， 從而將a 7的范圍縮小

5、為送<-3<0,問題就迎刃而解了。西、豬合三金形彳色的范(8確定例4在銳角AABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A. B、C所對應的邊，若C=2B.則£的范圍是 bA. (0, 2)B. (J2, 2)C(J2, Vi) D. (h 3)解：因C=2B,由止弦定理知上二竺二里型 = 2cosB,b sin B sin B所以把求?的范用轉(zhuǎn)化為求2cosB的范圉，進而轉(zhuǎn)化為求B的范圍。b由ZSABC為銳角三角形，知OvBv蘭,而0<C = 2B<->2 2nO<A = -r 3B<-o 解得-<B<-« 故選 C°26

6、4評析：本題若僅右慮0 <B<?,則借選A。2因而應根據(jù)條件全血考慮A、B、C均為饒角，從而確定B的范|制。五、利用命的相呈制址行略定例 5 已知ZXABC 中,4sin A + 2cosB = L4cosA + 2sinB = 3>/3 ,求 C 的大小。解：由已知 4sinA + 2cosB l,4cos A + 2sin B二 3館，平方相加得sinC =丄，2所以 C=30° 或 C=150° o由 4sinA = l-2cosB>0,得 cosEv 丄，可知 B>60°2在AABC 中，0° <C<12

7、03 ,故 C30。評析：本題由sinC = -,知C的值不唯因此判斷C的范圍就成了解決問題的關鍵。 2而己知條件中僅含有A、B.因此可判斷其中某-個角（例如B）的范圍，從而間接求得C的范圍。失、利用方程解的情況確定例 6 已知方程 /+4ax+3a + l 二 0 (a>l)的兩根為 tana , tanB,c z 71 71 . IX Ct (3 r, +且a, , 求tan的值。2 2 2解：由韋達定理可得 tan a + tan 0 = -4a, tan a tan /? = 3a + 1: tan(a + 0)=tan(Z + tan /?1 - tan a tan 0-4a_

8、 41 - (3a +1) 32 tana + pT解得tan " +卩=-2或Un2a p 12 2ITtanB同為負值，可知a, 0£（-亍,0）a + J3eC-石0)可得 tan < 0> 故 tan_£ = -22 2評析：本題根據(jù)a>l,結合韋達定理判斷兩根tana , tanE的符號, 從而得到a, 0的準確范圍。若不注意對角的范圍挖掘，易得出兩個答案，從而造成錯解。七、利用數(shù)彬癢合確建緇的范國例 7 若sin a + cos a = tan a (0 < a< ),則()2A. (0, ) B. (, )C. ( )D.(,)66 44 33 2分析：a的范圍是由已知三角方程確定，但解這個方程又超出了高中數(shù)學的范圍。 因此可利用a所在的范圍內(nèi)，有這樣的a值使得方程成立的這一原理， 通過估值選出正確答案，或利用數(shù)形結合的方法解決。解： 設 f(x) = sin x + cos x = 41 sin(x + )9 g(x) = tan x 4在(0,-)內(nèi)畫出它們的圖象,如圖所示。23顯然交點P的橫坐標