小波變換與小波濾波

1、 匯報(bào)人：匯報(bào)人：*指導(dǎo)老師：指導(dǎo)老師：* 匯報(bào)日期：匯報(bào)日期：2014.4.212基本思想： 將信號(hào)分解成一系列不同頻率的連續(xù)正弦波的疊加。缺陷：丟掉了時(shí)間信息，無法根據(jù)變換結(jié)果判斷一個(gè)特定的信號(hào)是在什么時(shí)候發(fā)生的。傅立葉變換傅立葉變換FT變換適于分析平穩(wěn)信號(hào)。實(shí)際中大多數(shù)信號(hào)含有大量的非平穩(wěn)信號(hào)，例如：突變，奇異，事件的起始與終止等情況。這些情況反映了信號(hào)的重要特征，是分析的對(duì)象。例如下圖：典型的地震信號(hào)。3典型的地震記錄 4實(shí)際采集的地震信號(hào)實(shí)際采集的地震信號(hào)它們的頻域特性都隨時(shí)間而變化。分析它需要提取某一時(shí)間段的頻域信息或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息如何完成只分析數(shù)據(jù)中的一小部分?5基本

2、思想： 給信號(hào)加一個(gè)小窗，主要集中在對(duì)小窗內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行變換，因此反映了信號(hào)的局部特征。6缺陷： 其窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無關(guān)，保持固定不變，對(duì)于分析時(shí)變信號(hào)不利。（高頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間短，低頻長(zhǎng)。我們希望對(duì)于高頻采用小的時(shí)間窗，低頻使用大時(shí)間窗進(jìn)行分析。）STFT無能為力了！ 不能構(gòu)成不能構(gòu)成正交基正交基，給數(shù)值計(jì)算帶來不便，給數(shù)值計(jì)算帶來不便。 7登場(chǎng)原因： （1）繼承和發(fā)展了STFT的局部化思想。 （2）克服了窗口大小不隨頻率變化、缺乏離散正交基的缺點(diǎn)。8若一物體可用顏色和大小表示，我們稱顏色和大小為特征基，構(gòu)成此物體特征描述空間。大小和顏色是互不相干的2種描述，我們稱其為正交。 同

3、時(shí)若這些基能夠完全表示所有物體，我們稱其為完備特征基。 因?yàn)樘卣骰憩F(xiàn)了物體特征，因而可以用更簡(jiǎn)潔的描述表示物體。 91984年法國(guó)的年輕的地球物理學(xué)家Jean Morlet在進(jìn)行石油勘探的地震數(shù)據(jù)處理分析時(shí)與法國(guó)理論物理學(xué)家A.Grossman一起提出了小波變換(wavelet transform, WT)的概念 10小波（小波（WaveletWavelet），），即小區(qū)域的波，是一種特殊的即小區(qū)域的波，是一種特殊的長(zhǎng)度有限、平均值為長(zhǎng)度有限、平均值為0 0的波形。的波形。特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1 1）“小小”，即在時(shí)域都具有緊支集或近似緊支集，即在時(shí)域都具有緊支集或近似緊支集 （2 2）正負(fù)交替的

4、）正負(fù)交替的“波動(dòng)性波動(dòng)性”，也即直流分量為零，也即直流分量為零1112傅立葉分析所用的正弦波在時(shí)間上沒有限制，從負(fù)無窮傅立葉分析所用的正弦波在時(shí)間上沒有限制，從負(fù)無窮到正無窮，但小波傾向于不規(guī)則與不對(duì)稱。到正無窮，但小波傾向于不規(guī)則與不對(duì)稱。FTFT將信號(hào)分解成一系列不同頻率正弦波的疊加將信號(hào)分解成一系列不同頻率正弦波的疊加，小波分小波分析是將信號(hào)分解成一系列小波函數(shù)的疊加析是將信號(hào)分解成一系列小波函數(shù)的疊加。而這些小波。而這些小波函數(shù)都是由一個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)過平移與尺度伸縮得來的。函數(shù)都是由一個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)過平移與尺度伸縮得來的。用不規(guī)則的小波函數(shù)來逼近尖銳變化的信號(hào)顯然要比光用不規(guī)則的小波

5、函數(shù)來逼近尖銳變化的信號(hào)顯然要比光滑的正弦曲線要好滑的正弦曲線要好，同樣，信號(hào)局部的特性用小波函數(shù)，同樣，信號(hào)局部的特性用小波函數(shù)來逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)來逼近要好。來逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)來逼近要好。1314 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transform， CWTCWT）用下式表示）用下式表示： (,)( ) (, )scale positionf tscale positionCt dt表示小波變換是表示小波變換是信號(hào)信號(hào)f f( (x x) )與與被縮放和平移被縮放和平移的的小波函數(shù)小

6、波函數(shù)()()之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果。之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果。1.4 1.4 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換CWTCWT的的變換結(jié)果變換結(jié)果是許多是許多小波系數(shù)小波系數(shù)C C，這些系數(shù)是縮放因，這些系數(shù)是縮放因子（子（scalescale）和平移（）和平移（positionposition）的函數(shù)。）的函數(shù)。 15 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作 (1) (1) 縮放縮放。就是壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小，則小波越窄小波的縮放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)； scale 1f (t)(2t)； scale 0.5f (t)(4t)；

7、 scale 0.2516(2) (2) 平移平移。小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上, ,函數(shù)函數(shù)f f( (t t) )延延遲遲k k的表達(dá)式為的表達(dá)式為f f( (t-kt-k) )，小波的平移操作(a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作小波變換的步驟: 一 取一個(gè)小波與信號(hào)的最前面部分比較; 二 計(jì)算相關(guān)因子C,C代表小波和這段數(shù)據(jù)的相關(guān)性即:C越大,兩者越相似;17 三 移動(dòng)小波,重復(fù)步驟一和二,一直遍歷整個(gè)數(shù)據(jù);1819小波尺度和信號(hào)頻率的關(guān)系小波尺度和信號(hào)頻率的關(guān)系小尺度小尺度 信號(hào)的高頻信號(hào)的高頻大尺度大尺

8、度 信號(hào)的低頻信號(hào)的低頻20 在在每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)數(shù)，其計(jì)算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生，其計(jì)算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量驚人的數(shù)據(jù)量，而且有，而且有許多數(shù)據(jù)是無用許多數(shù)據(jù)是無用的。的。1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT）如果如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2 2j j（j j00且為且為整數(shù)）的倍數(shù)整數(shù)）的倍數(shù)， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進(jìn)行計(jì)算，來進(jìn)行計(jì)算， 就會(huì)使分析的就會(huì)使分析的數(shù)據(jù)量大大減少數(shù)據(jù)量大大減少。21使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變

9、換稱為使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換（雙尺度小波變換（Dyadic Wavelet TransformDyadic Wavelet Transform），它，它是是離散小波變換離散小波變換（Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform， DWTDWT）的一種形式。）的一種形式。1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT）通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。 22 執(zhí)行離散小波變換的執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器有效方法是使用濾波器， 該方法是該方法

10、是MallatMallat于于19881988年提出的，稱為年提出的，稱為MallatMallat算法算法( (馬馬拉拉) )。這種方法實(shí)際上是一種信號(hào)分解的方法，。這種方法實(shí)際上是一種信號(hào)分解的方法， 在數(shù)在數(shù)字信號(hào)處理中常稱為字信號(hào)處理中常稱為雙通道子帶編碼雙通道子帶編碼。1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT）23一個(gè)濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號(hào)的近似值A(chǔ)（Approximations）另一個(gè)為高通濾波器， 通過該濾波器可得到信號(hào)的細(xì)節(jié)值D（Detail）。1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT）24實(shí)際應(yīng)用中，實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)的低頻分量

11、往往是最重要的信號(hào)的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只，而高頻分量只起一個(gè)修飾的作用。如同一個(gè)人的聲音一樣，起一個(gè)修飾的作用。如同一個(gè)人的聲音一樣， 把高頻分量去掉把高頻分量去掉后，聽起來聲音會(huì)發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但后，聽起來聲音會(huì)發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會(huì)什么內(nèi)容也聽不出來了。如果把低頻分量刪除后，就會(huì)什么內(nèi)容也聽不出來了。 1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT）25圖圖 多級(jí)信號(hào)分解示意圖多級(jí)信號(hào)分解示意圖（a a） 信號(hào)分解；信號(hào)分解； (b) (b) 小波分樹；小波分樹； （c c）小波分解樹）小波分解樹 26

12、在使用濾波器對(duì)真實(shí)的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行變換時(shí)，在使用濾波器對(duì)真實(shí)的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行變換時(shí)，得到的數(shù)據(jù)將是得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍原始數(shù)據(jù)的兩倍。 根據(jù)根據(jù)尼奎斯特尼奎斯特(Nyquist)(Nyquist)采樣定理就采樣定理就提出了降采樣的方提出了降采樣的方法，即在每個(gè)通道中每?jī)蓚€(gè)樣本數(shù)據(jù)取一個(gè)，得到的法，即在每個(gè)通道中每?jī)蓚€(gè)樣本數(shù)據(jù)取一個(gè)，得到的離散小波變換的系數(shù)離散小波變換的系數(shù)(coefficient)(coefficient)分別用分別用cDcD和和cAcA表示表示 1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT）27 將信號(hào)的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要將信號(hào)的小波分解的分

13、量進(jìn)行處理后，一般還要根據(jù)需要把根據(jù)需要把信號(hào)恢復(fù)出來信號(hào)恢復(fù)出來，也就是利用信號(hào)的小波分，也就是利用信號(hào)的小波分解的系數(shù)還原出原始信號(hào)，這一過程稱為解的系數(shù)還原出原始信號(hào)，這一過程稱為小波重構(gòu)小波重構(gòu)（Wavelet ReconstructionWavelet Reconstruction）或叫做小波合成或叫做小波合成（Wavelet SynthesisWavelet Synthesis）。）。1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 這一合成過程的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做這一合成過程的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做逆離散小波變換逆離散小波變換（Inverse Discrete Wavelet TransformInverse

14、Discrete Wavelet Transform，IDWTIDWT）。）。 28小波重構(gòu)算法示意圖 SHLHL1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 29 (1) (1) 重構(gòu)近似信號(hào)與細(xì)節(jié)信號(hào)重構(gòu)近似信號(hào)與細(xì)節(jié)信號(hào)由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號(hào)。始信號(hào)。同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號(hào)同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號(hào)的的近似值近似值或或細(xì)節(jié)值細(xì)節(jié)值，這時(shí)只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置，這時(shí)只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置為零即可。為零即可。 1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 30重構(gòu)近似和細(xì)節(jié)信號(hào)示意（a） 重構(gòu)近似信號(hào)； (b

15、) 重構(gòu)細(xì)節(jié)信號(hào) A1HL1000個(gè) 樣 點(diǎn)0約 500個(gè) 0cA1約 500個(gè) 近 似 分 量(a)D1HL1000個(gè) 樣 點(diǎn)(b)約 500個(gè) 0約 500個(gè) 近 似 分 量0cD11.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 31 (2)多層重構(gòu)重構(gòu)出信號(hào)的近似值A(chǔ)1與細(xì)節(jié)值D1之后，則原信號(hào)可用A1D1S重構(gòu)出來。對(duì)應(yīng)于信號(hào)的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)圖: 1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 32重構(gòu)過程為：A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S。A3D3A2D2SA1D11.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 心電信號(hào)的噪聲特點(diǎn)小波分析與傳統(tǒng)信號(hào)處理方法的比較小波去噪的基本原理小波去噪的基本步驟小波

16、去噪中的閾值函數(shù)和閾值的選取小波去噪中小波函數(shù)的選擇去噪效果的評(píng)價(jià)程序說明總結(jié)心電信號(hào)（ECG）是典型的強(qiáng)噪聲的非平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)。正常心電信號(hào)的頻率范圍在0.01Hz-100Hz之間，而90%的ECG頻譜能量又集中在0.25Hz-35Hz之間。在心電信號(hào)的采集和A/D轉(zhuǎn)換過程中,心電信號(hào)不可避免地受到各種類型的噪聲干擾,概括起來主要包括以下三類噪聲:一、心電信號(hào)的噪聲特點(diǎn)一、心電信號(hào)的噪聲特點(diǎn)（1）由于電源磁場(chǎng)作用于心電圖機(jī)與人體之間的環(huán)形電路所致的50Hz/60Hz工頻干擾;（2）由于病人肌肉緊張產(chǎn)生的肌電干擾;（3）由于病人呼吸運(yùn)動(dòng)或者由電極電極皮膚之間界面阻抗所致的頻響,一般小于1Hz的

17、基線漂移； 這些噪聲干擾與心電信號(hào)混雜,引起心電信號(hào)的畸變,使整個(gè)心電信號(hào)波形模糊不清,對(duì)隨后的信號(hào)分析處理,尤其是計(jì)算機(jī)自動(dòng)識(shí)別診斷造成誤判和漏判,因此,心電信號(hào)的消噪有重要的意義。00.511.522.533.544.55-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8128 1111111811111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111Time / sVoltage / mVECG signal 100.dat)(*)()(tetfts

18、1_, 1 , 0nt在實(shí)際工程應(yīng)用中，通常所分析的信號(hào)具有非線性，非平穩(wěn),并且奇異點(diǎn)較多的特點(diǎn)。含噪的一維信號(hào)模型可表示為：其中，f(t)為真實(shí)信號(hào)，s(t)為含噪信號(hào)，e(t)為噪聲， 為噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差。 有用信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻信號(hào)或是相對(duì)比較平穩(wěn)。而噪聲信號(hào)通常表現(xiàn)為高頻分解后，含噪部分主要集中在高頻小波系數(shù)中，并且，包含有用信號(hào)的小波系數(shù)幅值較大，但數(shù)目少；而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)幅值小，數(shù)目較多。 基于上述特點(diǎn)，可以應(yīng)用門限閾值法對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理。（即對(duì)較小的小波系數(shù)置為，較大的保留或削弱），然后對(duì)信號(hào)重構(gòu)即可達(dá)到消噪的目的。CD3CD2CA3CA2sCA1CD1小波分解的結(jié)構(gòu)示意圖小波

19、分解系數(shù)示意圖三、小波分解示意圖：1.小波變換去噪的流程示意圖：預(yù)處理小波變換多尺度分解各尺度小波系數(shù)除噪小波逆變換重構(gòu)信號(hào)除噪后的信號(hào)含噪信號(hào)小波除噪的具體步驟：(1) 對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理,并進(jìn)行小波分解。選擇小波確定分解的層數(shù)N,然后對(duì)信號(hào)s進(jìn)行N層分解。(2) 小波分解的高頻系數(shù)的閾值量化。對(duì)第一層到第N層高頻系數(shù)，選擇軟閾值或硬閾值量化處理。() 一維小波重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層低頻系數(shù)和第一層到第N層的高頻系數(shù)，進(jìn)行一維重構(gòu)。 在上面的步驟中，最為關(guān)鍵的就是如何選取閾值和如何閾值量化，從某種意義上講，它直接影響信號(hào)去噪的質(zhì)量。為閾值。閾值后的小波系數(shù)，為小波系數(shù)，設(shè)ww閾值函數(shù)閾

20、值函數(shù)分為軟閾值和硬閾值兩種。(1).硬閾值(hard threshol ding)當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值大于等于給定閾值時(shí)，保持不變，而小于時(shí)，令其為。即：(2).軟閾值(soft threshol ding)當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值大于等于給定的閾值時(shí)，令其值為減去閾值；而小于時(shí)，令其為即：采用這種閾值方法去噪在實(shí)際應(yīng)用中，已取得了較好的效果，但也存在著一些潛在的缺點(diǎn)，如硬閾值在閾值點(diǎn)不連續(xù)，重構(gòu)可能產(chǎn)生一些震蕩；軟閾值連續(xù)，但估計(jì)的小波系數(shù)和分解的小波系數(shù)有恒定的偏差，直接影響重構(gòu)信號(hào)對(duì)真實(shí)信號(hào)的逼近程度閾值的選取 閾值的選擇是小波去噪和收縮最關(guān)鍵的一步，在去噪過程中閾值起著決定性的作用：如果太小

21、，施加閾值后小波系數(shù)包含太多的噪聲分量，達(dá)不到去噪效果；反之，則去除了有用部分，使信號(hào)失真。閾值選擇方案及對(duì)應(yīng)的MATLAB命令(1) 固定閾值(sqtwolog)選取的算法是： (2) Stein無偏似然估計(jì)閾值(rigrsure)對(duì)于給定一個(gè)閾值t，得到它的似然估計(jì)，再將非似然的t最小化，就得到了所選的閾值。(3) 啟發(fā)式閾值(heursure)它是前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預(yù)測(cè)變量閾值選擇，如果信噪比很小時(shí)，無偏似然估計(jì)的誤差較大，此時(shí)，采用固定閾值。令：進(jìn)行比較，如果時(shí)采用固定閾值，反之，選擇無偏似然估計(jì)。(4) 極大極小閾值(minimaxi)它的原理是令估計(jì)的最大風(fēng)險(xiǎn)最小化，其閾值選

22、取的算法是：小波變換不像傅里葉變換是由正弦函數(shù)唯一決定的，小波基可以有很多種，不同的小波適合不同的信號(hào)去噪，對(duì)于確定的信號(hào)，如果小波選擇不當(dāng)，去噪結(jié)果可能相差很遠(yuǎn)，還有可能丟失有用的信息。面對(duì)各種小波，到底選擇哪一種來處理心電信號(hào)才能滿足醫(yī)療上的需要，必須經(jīng)過大量的仿真研究結(jié)果來進(jìn)行篩選 。根據(jù)大量文獻(xiàn)記錄B樣條函數(shù)適合心電去噪：樣條函數(shù)是一種非緊支撐正交的對(duì)稱小波，有較高的光滑性，頻率特性好，分頻能力強(qiáng)，頻帶相干小的特性。在信號(hào)處理中小波的作用是帶通濾波器，且對(duì)稱和反對(duì)稱性分別等價(jià)為線性相位和廣義線性相位。當(dāng)一個(gè)帶通濾波器不是線性相位或廣義線性相位時(shí)，它將使通過的信號(hào)產(chǎn)生畸變。從理論和實(shí)際應(yīng)

23、用的觀點(diǎn)出發(fā)，具有緊支集的小波是最富吸引力的。 B樣條是一類基本的樣條函數(shù)，而它的支撐區(qū)是最小的所以，B樣條小波是一種合適的選擇。式中yi表示標(biāo)準(zhǔn)原始信號(hào), xi 表示經(jīng)處理后的估計(jì)信號(hào)。其中，SNR越大越好, MSE 越小越好。輸出評(píng)價(jià)結(jié)果及去噪后的心電信號(hào)去噪效果的評(píng)價(jià)根據(jù)選取的閾值去噪及重構(gòu)求各層的閾值提取各尺度小波系數(shù)對(duì)被選的心電信號(hào)進(jìn)行小波分解選取其中一個(gè)導(dǎo)聯(lián)的數(shù)據(jù)調(diào)用心電數(shù)據(jù)開始去噪程序流程圖八、小波去噪程序%應(yīng) 用 db5作 為 小 波 函 數(shù) 進(jìn) 行 3層 分 解%利 用 無 偏 似 然 估 計(jì) 閾 值%對(duì) 100.dat from MIT-BIH-DB的 單 導(dǎo) 聯(lián) 數(shù) 據(jù) 進(jìn) 行 去 噪 處 理clear;clcload(D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat);E=M(:,2);E=E;n=size(E);s=E(1:2000);%小 波 分 解C L=wavedec(E,3,db5);% 從 c中 提 取 尺 度 3下 的 近 似 小 波 系 數(shù)cA3=appcoef(C,L,db5,3);%從 信 號(hào) c中 提 取 尺 度 1,2,3下 的 細(xì) 節(jié) 小 波 系 數(shù)cD1=detcoef(C,