2020年山東省濟南市歷下區(qū)初三二輪復習學案13：動點問題

1、動點型問題一、中考專題詮釋所謂 動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜，靈活運用有關(guān)數(shù)學知識解決問題 .動點型問題”題型繁多、題意創(chuàng)新，考察學生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括 空間觀念、應用意識、推理能力等，是近幾年中考題的熱點和難點。 二、解題策略和解法精講解決動點問題的關(guān)鍵是 動中求靜” .從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和 合情推理。在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形

2、在不同位置的情況，做好計 算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學動點”探究題的基本思路，這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質(zhì)。 三、中考考點精講 考點一：建立動點問題的函數(shù)解析式（或函數(shù)圖像）函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律，是初中數(shù)學的重要內(nèi)容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想，由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化，引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系.例1 （2020?胡北黃岡，第8題3分）已知：在 4ABC中，BC=10, BC邊上的高h=5,點E在邊AB上，過點E作EF/BC,交AC邊于點F.點D為BC上一點，連接 DE、DF

3、.設點E到BC的距離為x,則4DEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）例2 （2020湖南邵陽第9題3分）如圖，在等腰 BBC中，直線l垂直底邊BC,現(xiàn)將直線l 沿線段BC從B點勻速平移至C點，直線l與四BC的邊相交于E、F兩點.設線段EF的長 度為y,平移時間為t,則下圖中能較好反映 y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）11對應訓練1. （2020年湖北黃石）（2020?湖北黃石，第10題3分）如圖，AB是半圓O的直徑，點P從點A出發(fā)，沿半圓弧 AB順時針方向勻速移動至點B,運動時間為t, AABP的面積為S,則卜列圖象能大致刻畫S與t之間的關(guān)系的是（）2. （2020湖北荊州第9題3分）如圖，正方

4、形ABCD的邊長為3cm,動點P從B點出發(fā)以3cm/s 的速度沿著邊 BC-CD-DA運動，到達A點停止運動；另一動點Q同時從B點出發(fā)，以1cm/s 的速度沿著邊 BA向A點運動，到達A點停止運動.設 P點運動時間為x （s）,4BPQ的面積 為y （cm2）,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）3. （2020也肅武威，第10題3分）如圖，矩形 ABCD中，AB=3, BC=5,點P是BC邊上的一 個動點（點P與點B、C都不重合），現(xiàn)將 PCD沿直線PD折疊，使點C落到點F處；過點P作/BPF的角平分線交 AB于點E.設BP=x, BE=y,則下列圖象中，能表示 y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）4.

5、（2020?四川資陽，第8題3分）如圖4, AD、BC是。的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發(fā)，沿。一C-D一。的路線勻速運動，設 /APB=y （單位：度），那么y與點P運動的時間x （單位：秒）的關(guān)系圖是考點二：動態(tài)幾何型題目點動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力動態(tài)幾何特點-問題背景是特殊圖形， 考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的

6、性質(zhì)、圖形的特殊位 置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。（一）點動問題.例 2（2020?可北）如圖，梯形 ABCD 中，AB/DC, DEXAB , CF ± AB ,且 AE=EF=FB=5 ,DE=12動點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個單位長的速度運動到點 B停止.設 運動時間為t秒，y=S4EPF,則y與t的函數(shù)圖象大致是（）A.B.C.D.1. （2020?四川省內(nèi)江市，第11題，3分）如圖，正方形 ABCD的面積為12, AABE是等邊三角形

7、，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線 AC上有一點P,使PD+PE最小，則這個最小值/C. 2/D.后（二）線動問題例3（2020?門）如右圖所示，已知等腰梯形ABCD , AD/BC,若動直線l垂直于BC ,且向右平移，設掃過的陰影部分的面積為S, BP為x,則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）對應訓練1 （2020麻州）如圖所示，在矩形 ABCD中，垂直于對角線 BD的直線1,從點B開始沿著線 段BD勻速平移到D.設直線1被矩形所截線段 EF的長度為V,運動時間為t,則y關(guān)于t的 函數(shù)的大致圖象是（）2. （2020?山東威海，第 11題3分）如圖，已知 4ABC為等邊三角形，AB=2,點D為邊A

8、B上一點，過點D作DE / AC,交BC于E點；過E點作EF，DE,交AB的延長線于F點.設D.（三）面動問題例4（2020批丹江）如圖所示：邊長分別為 1和2的兩個正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設穿過的時間為t,大正方形內(nèi)去掉小正方形后的面積為 s,那么s與t的大致圖象應為（）2. （2020深圳，第1 f對應訓練考點三：雙動點問題動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學的熱點題型.這類試題信息量大，其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為中考試題的熱點中的熱點，雙動點問題對同學們獲取信息和處理信息的能 力要求更高高；解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題

9、，挖掘運動、變化的全過程，并特別關(guān)注運動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，動中取靜，靜中求動.例5 (2020型枝花)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形 ABCD是梯形，AB / CD ,點B(10, 0) , C (7, 4).直線l經(jīng)過A, D兩點，且sin /DAB= g .動點P在線段 AB上從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點 B運動，同時動點Q從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度 沿B-8D的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線 A-DfC 相交于點M, 當P, Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.設點 P, Q運動的時間為t秒(t >0), AMPQ的面積為

10、S.(1 )點A的坐標為 ,直線l的解析式為 ;(2)試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的t的取值范圍；(3)試求(2)中當t為何值時，S的值最大，并求出 S的最大值；(4)隨著P, Q兩點的運動，當點 M在線段DC上運動時，設 PM的延長線與直線l相交于 點N,試探究：當t為何值時， QMN為等腰三角形？請直接寫出 t的值.考點四：幾何動點問題PD若AB=4,則四邊形AOPD的最大面積為1. (2020河南，第17題9分)如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點 A、B重合的一個動點，延長 BP到點C,使PC=PB, D是AC的中點，連接PD, PO.(1)求證：CDPs

11、pob；(2)填空:連接OD,當ZPBA的度數(shù)為 時，四邊形BPDO是菱形AOB第17題2. (2020山東省德州市，11, 3分)如圖，AD是4ABC的角平分線，DE , DF分另是 ABD和4ACD的高，得到下面四個結(jié)論：OA=OD;AD，EF;當/A=90。時，四邊形AEDF是正方形；A. B.C.D.AE2+DF2=AF2+DE2 其中正確的是()3. (2020怙島，第24題12分)已知：如圖，菱形 ABCD中，對角線 AC, BD相交于點 O, 且AC=12cm , BD=16cm .點P從點B出發(fā)，沿 BA方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，直 線EF從點D出發(fā)，沿DB方向勻

12、速運動，速度為 1cm/s, EFBD ,且與AD , BD , CD分別 交于點E, Q, F;當直線EF停止運動時，點P也停止運動.連接 PF,設運動時間為t (s) (0 vt<8).解答下列問題：(1)當t為何值時，四邊形 APFD是平行四邊形？(2)設四邊形 APFE的面積為y (cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形apfe： S菱形abcd=17： 40?若存在，求出t的值，并求出 此時P, E兩點間的距離；若不存在，請說明理由.考點五：函數(shù)動點問題1. (2020?四川甘孜、阿壩，第 28題12分)如圖，已知拋物線 y=ax25ax+2

13、(awQ與y軸 交于點C,與x軸交于點A (1, 0)和點B .(1)求拋物線的解析式；(2)求直線BC的解析式；(3)若點N是拋物線上的動點，過點 N作NHx軸，垂足為H,以B, N, H為頂點的三角 形是否能夠與OBC相似？若能，請求出所有符合條件的點 N的坐標；若不能，請說明理由.2. (2020?山東威海，第25題12分)已知：拋物線li： y= - x2+bx+3交x軸于點A, B,(點A 在點B的左側(cè))，交y軸于點C,其對稱軸為x=1 ,拋物線12經(jīng)過點A,與x軸的另一個交點 為 E (5, 0),交 y 軸于點 D (0,-=).(1)求拋物線12的函數(shù)表達式；(2) P為直線x

14、=1上一動點，連接 PA, PC,當PA=PC時，求點P的坐標；(3) M為拋物線12上一動點，過點 M作直線MN /y軸，交拋物線11于點N,求點M自點A 運動至點E的過程中，線段 MN長度的最大值.圖13. (2020?山東日照，第22題14分)如圖，拋物線 y=x2+mx+n與直線y=-,x+3交于A, B兩點，交x軸與D, C兩點，連接AC, BC,已知A (0, 3), C (3, 0).(I )求拋物線的解析式和 tan / BAC的值;(n )在(I )條件下:(1) P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接 PA,過點P作PQLPA交y軸于點Q,問：是否存在點P使得以A, P, Q為頂

15、點的三角形與 4ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.(2)設E為線段AC上一點(不含端點)，連接DE, 一動點M從點D出發(fā)，沿線段 DE以每秒一個單位速度運動到 E點，再沿線段 EA以每秒 a個單位的速度運動到 A后停止，當點E的坐標是多少時，點 M在整個運動中用時最少?4. (2020?山東聊城，第25題12分)如圖，在直角坐標系中，RtOAB的直角頂點A在x軸上， OA=4, AB=3.動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿 AO向終點O移動；同 時點N從點O出發(fā)，以每秒1.25個單位長度的速度，沿 OB向終點B移動.當兩個動點運動 了 x秒(

16、0VXV4)時，解答下列問題：(1)求點N的坐標(用含x的代數(shù)式表示)；(2)設4OMN的面積是S,求S與x之間的函數(shù)表達式；當 x為何值時，S有最大值？最大 值是多少？(3)在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使 4OMN是直角三角形？若存在，求出 x的值；若不存在，請說明理由.5. (2020?萊蕪，第24題12分)如圖，過A (1, 0)、B (3, 0)彳x軸的垂線，分別交直線 y=4 - x于C、D兩點.拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過0、C、D三點.(1)求拋物線的表達式；(2)點M為直線0D上的一個動點，過 M作x軸的垂線交拋物線于點 N,問是否存在這樣 的點M,使得以A、C

17、、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時點M的橫坐標；若不存在，請說明理由；(3)若4AOC沿CD方向平移(點C在線段CD上，且不與點D重合)，在平移的過程中4AOC 與OBD重疊部分的面積記為 S,試求S的最大值.四、中考真題演練1. （2020 南疆）如圖，Rt ABC 中，/ACB=90° , / ABC=60° , BC=2cm , D 為 BC 的中點， 若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿著 ZB-A的方向運動，設 E點的運動時間為t 秒（0WK6）,連接DE,當 BDE是直角三角形時，t的值為（）A. 2B. 2.5 或 3.5C. 3.5 或

18、4.5D. 2 或 3.5 或 4.52. （2020汝徽）圖1所示矩形ABCD中，BC=x , CD=y , y與x滿足的反比例函數(shù)關(guān)系如圖2所示，等腰直角三角形 AEF的斜邊EF過C點，M為EF的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.當 x=3 時，ECvEMB.當 y=9 時，EOEMC.當x增大時，EC?CF的值增大D .當y增大時，BE?DF的值不變143. （2020碗錦）如圖，將邊長為 4的正方形 ABCD的一邊BC與直角邊分別是 2和4的Rt GEF的一邊GF重合.正方形 ABCD以每秒1個單位長度的速度沿 GE向右勻速運動，當點A和點E重合時正方形停止運動.設正方形的運動時間為t秒，正方形ABCD與RtGEF重疊部分面積為s,則s關(guān)于t的函數(shù)圖象為（）0 12 3 45 6?B. oTTTTsfi? C . 0125456? D. 0 1 2 3 4 5 S?4. （2020洸巖）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A （0, 2）,