高中數(shù)學(xué)5.5利用不等式求最大(小)值5.5.2利用柯西不等式求最大(小)值知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版選修4-5

1、利用柯西不等式求最大( 小) 值自主整理1.柯西不等式 :(a 2+b2)(c2+d2) (ac+bd) 2, 當(dāng)且僅當(dāng) _ 時(shí)取“ =”.2.柯西不等式一般形式 :() 2 , 當(dāng)且僅當(dāng) _ 時(shí)取“ =”.高手筆記1. 在n個(gè) 實(shí) 數(shù)a1,a 2, ,a n 的 和 為 定 值S時(shí) , 它 們 的 平 方 和 不 小 于, 即() 2=, 當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2= =an 時(shí)平方和取最小值.2. 利用柯西不等式求最值時(shí) , 注意“ =”成立的條件 , 并會(huì)構(gòu)造定值 , 學(xué)會(huì)拼湊 .名師解惑如何用柯西不等式求函數(shù)的最值?剖析 : 利用柯西不等式求函數(shù)的最值時(shí), 往往不能直接應(yīng)用, 而是需要對(duì)數(shù)學(xué)式

2、子的形式進(jìn)行改變 , 拼湊出與柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)才能應(yīng)用. 因而適當(dāng)變形是我們應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵, 也是難點(diǎn) . 我們要注意在數(shù)學(xué)式子中 , 數(shù)或字母的順序要對(duì)比柯西不等式中的數(shù)或字母順序, 以便能使其形式一致起來 , 然后應(yīng)用 .講練互動(dòng)【例 1】已知 |x| 1,|y|1, 求的最大值 .分析 : 本題中的數(shù)學(xué)式子為, 而 (1-y 2) 與 y2 和為 1,(1-x2) 與 x2 和為 1,可用柯西不等式求得 .解: () 2 x2+(1-x2) y2+(1-y2) =1,最大值為 1.綠色通道通過觀察式子結(jié)構(gòu)與柯西不等式相對(duì)照構(gòu)造定值, 弄清誰是 a,b,c,d. 若用 x2 與

3、y2 合并就不易求出 .變式訓(xùn)練1. 設(shè) a、 b、 c>0 且 acos2+bsin2=c, 求cos 2+sin 2 的最大值 .解: (2+sin22cos· cos+bsin · sin 2cos)=222222(cos) +(sin ) (cos +sin )=acos +bsin=c,cos 2+sin 2, 最大值為.【例 2】求 y=的最大值 .分析 : 本題中出現(xiàn)的都是根式, 可由柯西不等式轉(zhuǎn)為平方把根號(hào)去掉, 但要注意構(gòu)造定值 .1 / 3解: (22) =() 12+() 2 () 2+() 2 =3(4x+3+2-4x)=15,maxy =.綠

4、色通道利用柯西不等式求函數(shù)的最值時(shí)要注意構(gòu)造定值, 特別是系數(shù)如何確定, 需要仔細(xì)體會(huì) .變式訓(xùn)練2. 求函數(shù) f(x)=的最大值 .解: () 2(1 2+12)(x-6+12-x)=12,f(x) 的最大值為.【例 3】已知 a、b R+,a+b=2, 求的最小值 .分析 : 觀察不等式的結(jié)構(gòu), 求函數(shù)的最小值 , 需出現(xiàn) (a 2+b2)(c 2+d2), 而且還必須使ac+bd 為定值, 可以把看作“a2+b2”, 那么“c2+d2”就可以為 (2-a)+(2-b).解: a、b R+ ,a+b=2,2-a>0,2-b>0且 2-a+2-b=2. (2-a)+(2-b)()

5、 2=(a+b) 2=4,2. 的最小值為2.綠色通道注意柯西不等式的方向問題, 若求的最小值 , 這時(shí)需要看作一個(gè)因子, 再找另一個(gè)因子 , 使構(gòu)造為定值 .變式訓(xùn)練3. 設(shè) x+y=1,x 0,y 0, 求x2+y 2 的最小值 .解: (x 2+y2)(1 2+12 ) (x+y) 2=1,22 .x+y22的最小值為.x+y【例 4】已知 2x+3y+4z=10, 求 x2+y 2+z2 的最小值 .分析 : 本題構(gòu)造 (x 2+y2+z2) ·(2 2+32+42), 用柯西不等式解答.2 / 3解: (2x+3y+4z) 2(x 2+y2+z2)(2 2+32+42) 且 2x+3y+4z=10,222x+y+z .222.x+y +z 的最小值為變式訓(xùn)練4. 已知 a、b、 c、d R+, 且 a+b+c+d=7,求的最大值 .解:() 2 (2a+1)+(2b+3)+(2c+5)+(